二節(jié)相似矩陣

二節(jié)相似矩陣第一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六一、相似矩陣的概念和性質(zhì)定義4.2設(shè)A,B為n階矩陣。如果存在一個n階可逆矩陣P,使得(4.7)則稱矩陣A與B相似，記作“相似”是矩陣間的一種關(guān)系，它具有如下性質(zhì)：(1)反身性：對任意方陣A,都有。因為(2)對稱性：若，則。因(3)傳遞性：若，則第二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六相似矩陣的特征值相同。相似矩陣具有如下重要性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2若，且A可逆，則B也可逆，且性質(zhì)3若，則，其中m是正整數(shù)。性質(zhì)4性質(zhì)6性質(zhì)5相似矩陣的行列式相等。相似矩陣的秩相等。相似矩陣的跡相等。第三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六例2已知矩陣如果A與B相似，求x,y的值。解法1因為，所以A,B有相同的行列式和跡。于是tr(A)=tr(B),即①又可得解得代入①得第四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六解法2相似矩陣有相當(dāng)?shù)奶卣鞫囗検?。由有即計算兩個行列式，得到比較等式兩邊同次冪的系數(shù)，得解得第五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六二、矩陣可相似對角化的條件如果矩陣A可以與一個對角矩陣相似，則稱矩陣A可相似對角化(可對角化)。定理4.7

n階矩陣A相似于對角矩陣的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。推論若n階矩陣A有n個不同的特征值，則矩陣A可與對角矩陣相似。第六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六例3在4.1例6中，我們已經(jīng)求得矩陣的特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為而特征值對應(yīng)的特征向量為且線性無關(guān)。第七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六令則例4設(shè)矩陣判斷A是否可對角化？解矩陣A的特征多項式第八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六(第2、3列加到第1列上)由此得A的特征值第九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六對于特征值解齊次線性方程組得A的對應(yīng)于的一個特征向量對于特征值解齊次線性方程組可得其基礎(chǔ)解系由于2是A的二重特征值，對應(yīng)于的特征向量僅有一個。對于矩陣A，不能求出三個線性無關(guān)的特征向量，因此A不能相似對角化。第十頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六定理4.8

n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是對于A的每一個重特征值特征矩陣的秩為例5判斷下列矩陣A是否相似于對角矩陣，如能，則求出P，使解由于第十一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六可得A的特征值為(三重)。對于，齊次線性方程組的系數(shù)矩陣因此A不可相似對角化。可以看出：所以齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有2個線性無關(guān)的向量。第十二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六(2)A的特征多項式因此，A

的特征值為(二重)，對于解齊次線性方程組可求得其基礎(chǔ)解系為對于解齊次線性方程組第十三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六可求得基礎(chǔ)解系為由于A有三個線性無關(guān)的特征向量，故A可對角化。令則第十四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六例6設(shè)試問A是否可與對角矩陣相似，并求解A的特征多項式所以A的特征值為(二重)。第十五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六對于，解齊次線性方程組可得基礎(chǔ)解系對于，解齊次線性方程組可得基礎(chǔ)解系由于A有三個線性無關(guān)的特征向量，故A可與對角矩陣相似。令第十六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六則所以由此得易求因此第十七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六例7設(shè)矩陣的特征方程有一個一個二重根，求的值，并討論A是否可相似對角化。解矩陣A的特征多項式第十八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六若是特征方程的二重根，則有解得當(dāng)時，A的特征值為2,2,6，矩陣的秩為1，第十九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六故對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有兩個，從而A可相似對角化。若不是特征方程的二重根，則