隨機(jī)變量的數(shù)字特征詳解演示文稿

隨機(jī)變量的數(shù)字特征詳解演示文稿當(dāng)前第1頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)優(yōu)選隨機(jī)變量的數(shù)字特征當(dāng)前第2頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（一）4.2隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（二）4.3隨機(jī)變量的方差（一）4.4隨機(jī)變量的方差（二）4.5協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.6其它特征數(shù)當(dāng)前第3頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（一）

（Mathematicalexpectationofrandomvariable）

4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念“期望”在我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｖ赣懈鶕?jù)的希望，在概率論中，它源于歷史上一個(gè)著名的分賭本問(wèn)題：

例4.1.1（分賭本問(wèn)題）17世紀(jì)中葉，一位賭徒向法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）提出一個(gè)使他苦惱很久的分賭本問(wèn)題：甲、乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50法郎，每局中無(wú)平局.他們約定，誰(shuí)先贏三局則得到全部100法郎的賭本.當(dāng)甲贏了兩局，乙贏了一局時(shí)，因故要中止賭博，現(xiàn)問(wèn)這100法郎如何分才算公平？當(dāng)前第4頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)分析第一種分法：甲得1001/2=50(法郎)乙得1001/2=50(法郎)第二種分法:甲得1002/367(法郎)乙得1001/333(法郎)這兩種方法都沒(méi)有考慮到如果繼續(xù)比下去會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果，沒(méi)有照顧到兩人在現(xiàn)有基礎(chǔ)下對(duì)比賽結(jié)果的一種期待，雙方均不滿意.首席數(shù)學(xué)家帕斯卡，帕斯卡認(rèn)為甲的最終所得可能為：0或100再賭兩局比賽必定結(jié)束，其結(jié)果不外乎以下四種：(甲贏甲贏)(甲贏乙贏)(乙贏甲贏)(乙贏乙贏)于是，他們?nèi)デ笾▏?guó)的當(dāng)前第5頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)于是甲贏得法郎數(shù)X的分布列為帕斯卡認(rèn)為甲的“期望”所得應(yīng)為01/4+1003/4=75(法郎)乙的“期望”所得應(yīng)為100-75=25法郎.這種方法照顧到了已賭局?jǐn)?shù)，又包括了再賭下去的一種“期望”，它比前兩種方法都更為合理.這就是數(shù)學(xué)期望這個(gè)名稱的由來(lái)，其實(shí)這個(gè)名稱稱為“均值”更形象易懂一些，對(duì)上例而言，也就是再賭下去的話，甲“平均”可以贏75法郎.X0100P1/43/4當(dāng)前第6頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)

引例（射擊問(wèn)題）設(shè)某射擊手在同樣的條件下,相繼射擊90了次，擊中情況如下(命中的環(huán)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量).試問(wèn):該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?命中環(huán)數(shù)k

命中次數(shù)nk

012345

21315102030

當(dāng)前第7頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)解平均擊中環(huán)數(shù)當(dāng)前第8頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)平均擊中環(huán)數(shù)頻率隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值“平均擊中環(huán)數(shù)”趨向于“擊中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加”

當(dāng)前第9頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為如果那么稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation)或該分布的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值.若級(jí)數(shù)不收斂,則稱X的期望不存在.當(dāng)前第10頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

f(x),如果則稱為X的數(shù)學(xué)期望，或該分布的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值.若不收斂，則稱X的期望不存在.當(dāng)前第11頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)某車站每天8:009:00,9:0010:00都恰好有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立.其規(guī)律是一旅客8:20到車站，求他的平均候車時(shí)間.1/6

3/6

2/68:108:308:509:109:309:50概率到站時(shí)刻當(dāng)前第12頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)

解設(shè)X=“該旅客的候車時(shí)間”(以分鐘計(jì))則于是該旅客的平均候車時(shí)間為1/6

3/6

2/68:108:308:509:109:309:50概率到站時(shí)刻

1030507090XP當(dāng)前第13頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)若Xb(n,p)，則E(X)=np.

證明因?yàn)閄b(n,p)，所以于是當(dāng)前第14頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)當(dāng)前第15頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)

例4.1.4若XP()，則E(X)=.

證明因?yàn)閄P()，所以于是當(dāng)前第16頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)在一個(gè)人數(shù)為N的人群中普查某種疾病，為此要抽驗(yàn)N個(gè)人的血。如果將每個(gè)人的血分別檢驗(yàn)，則共需檢驗(yàn)N次，為了能減少工作量，一位統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出一種方法：按k個(gè)人一組進(jìn)行分組，把同組人的血樣混合后檢驗(yàn)，如果這種混合血樣呈現(xiàn)陰性反應(yīng)，說(shuō)明這k個(gè)人只需要檢驗(yàn)一次就夠了；如果這種混合血樣呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)，說(shuō)明這k個(gè)人中至少有一個(gè)人的血呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)，則再對(duì)此k個(gè)分別進(jìn)行檢驗(yàn).假設(shè)該疾病的的發(fā)病率為p，且每人是否得此疾病相互獨(dú)立.試問(wèn)這種方法能否實(shí)現(xiàn)減少平均檢驗(yàn)次數(shù)？當(dāng)前第17頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)

解令X=“該人群中每個(gè)人需要驗(yàn)血的次數(shù)”，則所以每人的平均驗(yàn)血次數(shù)為X1/k1+1/kP(1-p)k1-(1-p)k當(dāng)前第18頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)只要適當(dāng)選擇k，就可使驗(yàn)血次數(shù)達(dá)到最小.譬如，當(dāng)p=0.1時(shí)，有對(duì)不同的發(fā)病率p，計(jì)算出最佳得分組人數(shù)k，見(jiàn)下表0.6900.6040.5940.6100.6950.7510.9910.9941.001623458103033340.6970.5940.5340.4660.3840.2740.205344568110.140.100.080.060.040.020.01當(dāng)前第19頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)有兩個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命X1,X2服從同一指數(shù)分布，其密度函數(shù)如下

若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)組成一個(gè)整機(jī)，求整機(jī)壽命Y的數(shù)學(xué)期望.當(dāng)前第20頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)解因?yàn)閄iExp()(i=1,2)，所以Xi的分布函數(shù)為于是Y=min{X1,X2}的分布函數(shù)為故Y=min{X1,X2}的密度函數(shù)為當(dāng)前第21頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)所以當(dāng)前第22頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)作業(yè)當(dāng)前第23頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)4.2隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（二）設(shè)XU(a,b)，求E(X).

解因?yàn)閄U(a,b)，所以當(dāng)前第24頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)設(shè)XN(,2)，則E(X)=.證明因?yàn)閄N(,2)，所以當(dāng)前第25頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)設(shè)X(,)，則E(X)=/.證明因?yàn)閄(,)，所以于是當(dāng)前第26頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)若隨機(jī)變量X的分布用分布列p(xi)或用密度函數(shù)f(x)表示，則X的某一函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望為推廣:當(dāng)前第27頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)已知隨機(jī)變量的分布列如下求Y=X2的數(shù)學(xué)期望.

解

Y=X2的分布列為X-2-1012P0.20.10.10.30.3X-2-1012Y=X241014P0.20.10.10.30.3當(dāng)前第28頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)對(duì)相同的值合并，并把對(duì)應(yīng)的概率相加，可得所以E(Y)=E(X2)=00.1+10.4+40.5=2.4或

E(Y)=E(X2)

=(-2)20.2+(-1)20.1+020.1+120.3+220.3=2.4Y014P0.10.40.5當(dāng)前第29頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)數(shù)學(xué)期望的常用性質(zhì)（1）若c是常數(shù)，則E(c)=c；（2）對(duì)任意的常數(shù)a，有E(aX)=aE(X)；（3）對(duì)任意的兩個(gè)變量X,Y，有

E(XY)=E(X)E(Y)推廣：對(duì)任意的隨機(jī)變量X,Y，有E[g1(X)

g2(Y)]=E[g1(X)

]E[g2(Y)]（4）若隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)當(dāng)前第30頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)某公司經(jīng)銷某種原料，歷史資料表明：該原料的市場(chǎng)需求量X(單位:噸)服從(300,500)上的均勻分布.每出售一頓該原料，公司可獲利潤(rùn)1.5(萬(wàn)元)；若積壓1噸，則公司損失0.5(萬(wàn)元).問(wèn)公司應(yīng)該組織多少貨源，可使平均收益最大？

一、模型假設(shè)：市場(chǎng)需求量XU(300,500).二、模型建立：公司收益Y(萬(wàn)元)與市場(chǎng)需求量X和組織的貨源a噸有關(guān)，即當(dāng)前第31頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)公司收益Y=g(X)也是隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為則故公司組織450噸貨源，可使平均收益最大.令f(a)三、模型求解：當(dāng)前第32頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)

一民航客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出旅客有10車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求該客車的平均停車次數(shù).（假設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）解令Xi=“第i個(gè)車站停車的次數(shù)”，i=1,2,…,10.則Xib(1,

1-0.920),(i=1,2,…,10)，且

X=X1+X2+…+X10.于是E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)

+E(X2)

+…+E(X10)=(1-0.920)

+(1-0.920)

+…+(1-0.920)

=10(1-0.920)8.784當(dāng)前第33頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)作業(yè)當(dāng)前第34頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)4.3隨機(jī)變量的方差（一）

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是一種位置特征數(shù)，它反應(yīng)了X取值的集中位置，但它無(wú)法反映出X取值的“波動(dòng)”程度.譬如，已知X與Y的分布列分別為則E(X)=0=E(Y).但顯然Y的取值要比X的取值波動(dòng)大。為了用數(shù)值來(lái)反映出隨機(jī)變量取值的“波動(dòng)”大小，引入了方差與標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)特征數(shù)。X-101P1/31/31/3Y-1000100P1/31/31/3當(dāng)前第35頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)設(shè)X為隨機(jī)變量，若E[X-E(X)]2存在，則稱其隨機(jī)變量X的方差(Variance)或該分布的方差，記為D(X)或Var(X).即稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為(X)或X.方差和標(biāo)準(zhǔn)差的取值都是非負(fù)數(shù)，它們都是用來(lái)描述隨機(jī)變量取值集中（或分散）程度的特征數(shù).由于標(biāo)準(zhǔn)差與所討論的隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望有相同的量綱，所以在實(shí)際中，人們比較樂(lè)意選用標(biāo)準(zhǔn)差.當(dāng)前第36頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)某人有一筆資金，可投入房地產(chǎn)和商業(yè)，其收益都與市場(chǎng)狀態(tài)有關(guān).若把未來(lái)市場(chǎng)分為好、中、差三個(gè)等級(jí)，其發(fā)生的概率分別為0.2,0.7,0.1.通過(guò)調(diào)查該投資者認(rèn)為投資于房地產(chǎn)的收益X(萬(wàn)元)和投資于商業(yè)的收益Y(萬(wàn)元)的分布分別為試問(wèn)該投資者投資哪個(gè)項(xiàng)目為好？X113-3P0.20.70.1Y64-1P0.20.70.1當(dāng)前第37頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)解

E(X)=110.2+30.7+(-3)0.1=4.0(萬(wàn)元)E(Y)=60.2+40.7+(-1)0.1=3.9(萬(wàn)元)從平均收益看，投資房地產(chǎn)比投資商業(yè)更劃算.所以因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差越大收益的波動(dòng)就越大，從而風(fēng)險(xiǎn)也越大.若綜合權(quán)衡收益和風(fēng)險(xiǎn)，選擇投資房地產(chǎn)的平均收益相對(duì)投資商業(yè)多了0.1萬(wàn)元，僅僅多出1/39，但風(fēng)險(xiǎn)卻提高了一倍還多，故投資商業(yè)比較劃算.由于當(dāng)前第38頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)方差的常用性質(zhì)（1）D(X)=E(X2)-E2(X)；（2）對(duì)任意的常數(shù)c，有D(c)=0；（3）若a,b為常數(shù)，則D(aX+b)=a2D(X)；（4）若隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，則

D(X+Y)=

D(X)+D(Y)（5）D(X)=0P(X=c)=1.當(dāng)前第39頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=,方差D(X)=20，令則于是稱X*為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.當(dāng)前第40頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)常見(jiàn)分布的方差(1)兩點(diǎn)分布設(shè)Xb(1,p)，則E(X)=p,D(X)=pq=p(1-p).證明因?yàn)閄b(1,p)，所以P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q.故E(X)=pE(X2)=12p+02q=p所以D(X)=E(X2)-E2(X)=p-p2=p(1-p)=pq.當(dāng)前第41頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)(2)二項(xiàng)分布若Xb(n,p)，則E(X)=np,D(X)=npq.證明令Xib(1,p)

(i=1,2,…

,n)，且相互獨(dú)立.則D(Xi)=pq(i=1,2,…

,n)，X=X1+X2+…+Xn.所以當(dāng)前第42頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)(3)泊松分布若XP()，則E(X)=

,D(X)=.證明因?yàn)閄P()，所以故D(X)=E(X2)-E2(X)=2+-2=.當(dāng)前第43頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)（4）幾何分布(Geometrydistribution)若XGe(p)，則E(X)=1/p

,D(X)=q/p2

.證明

略

（5）超幾何分布若Xh(n,N,M)，則證明

略

(6)巴斯卡(Pascal)分布若XNb(r,p)，則E(X)=r/p

,D(X)=rq/p2.證明

略當(dāng)前第44頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)

(1)均勻分布若XU(a,b)，則

證明因?yàn)閄U(a,b)，所以故D(X)=E(X2)-E2(X)當(dāng)前第45頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)(2)伽瑪分布若X(,)，則E(X)=/

,D(X)=/2

.證明因?yàn)閄(,)，所以于是D(X)=E(X2)-E2(X)當(dāng)前第46頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)(3)正態(tài)分布若XN(,2)，則E(X)=

,D(X)=2.

證明因?yàn)閄N(,2)，所以當(dāng)前第47頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)推廣若XiN(i,i2),i=1,2,…,n，且相互獨(dú)立,則存在不全為零的常數(shù)k1,k2,…,kn，使得常用分布表當(dāng)前第48頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)若XN(1,3),YN(2,4)，且X,Y相互獨(dú)立求證Z=2X-3YN(-4,48).證明因?yàn)閄N(1,3),YN(2,4),且X,Y相互獨(dú)立所以Z=2X-3Y服從正態(tài)分布,且E(X)=1,D(X)=3,E(Y)=2,D(Y)=4于是E(Z)=E(2X-3Y)=2E(X)-3E(Y)=21-32=-4D(Z)=D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)=43+94=48故Z=2X-3YN(-4,48).當(dāng)前第49頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)設(shè)活塞的直徑XN(22.4,0.032),氣缸的直徑Y(jié)N(22.5,0.042),且X,Y相互獨(dú)立，任取一只活塞，一只氣缸，求活塞能裝入氣缸的概率.

解因?yàn)閄N(22.4,0.032)

,YN(22.5,0.042)且X,Y相互獨(dú)立.所以X-YN(-0.1,0.0025)

故當(dāng)前第50頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)

定理4.4.1(Chebyshev不等式)設(shè)隨機(jī)變量X滿足E(X)=，方差D(X)=2，則對(duì)于任意正數(shù)，有證明（1）因?yàn)镋(X)=,D(X)=2，所以當(dāng)前第51頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)（2）因?yàn)镋(X)=,D(X)=2，所以當(dāng)前第52頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)作業(yè)當(dāng)前第53頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)4.5協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

二維聯(lián)合分布中除含有各分量的邊際分布外，還含有兩個(gè)分量間相互關(guān)聯(lián)的信息，協(xié)方差就是描述這種關(guān)聯(lián)程度的一個(gè)特征數(shù)，其定義如下:設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，如果數(shù)學(xué)期望E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，則稱此期望為X與Y的協(xié)方差(Covariance)，記為Cov(X,Y)，即

特別地，Cov(X,X)=D(X).當(dāng)前第54頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)從協(xié)方差的定義可以看出，它是X的偏差[X-E(X)]與Y的偏差[Y-E(Y)]乘積的數(shù)學(xué)期望.由于偏差可正可負(fù)也可以為零，故協(xié)方差可正可負(fù)，也可以為零，其具體表現(xiàn)如下：(1)當(dāng)Cov(X,Y)0時(shí)，稱X與Y正相關(guān).此時(shí)兩個(gè)偏差[X-E(X)]與[Y-E(Y)]同時(shí)增大或減小，而兩個(gè)數(shù)學(xué)期望E(X)與E(Y)都是常數(shù)，所以X與Y同時(shí)增加或同時(shí)減少.當(dāng)前第55頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)(2)當(dāng)Cov(X,Y)0時(shí)，稱X與Y負(fù)相關(guān).此時(shí)兩個(gè)偏差[X-E(X)]與[Y-E(Y)]一個(gè)增大，另一個(gè)減??；而兩個(gè)數(shù)學(xué)期望E(X)與E(Y)都是常數(shù)，所以X與Y一個(gè)增大，另一個(gè)減小.(3)當(dāng)Cov(X,Y)=0時(shí)，稱X與Y不(線性)相關(guān).當(dāng)前第56頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)協(xié)方差的性質(zhì)(1)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(2)對(duì)任意的常數(shù)c，有Cov(X,c)=0.(3)若有X,Y相互獨(dú)立，則Cov(X,Y)=0；反之不然.(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).(5)a,bR，有Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(6)Cov(XY,Z)=Cov(X,Z)Cov(Y,Z).(7)a,b,c,dR，有Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y).(8)D(XY)=D(X)D(Y)2Cov(X,Y).當(dāng)前第57頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)相關(guān)系數(shù)(Correlation)

協(xié)方差Cov(X,Y)是有量綱的量，譬如X表示人的身高，單位是米(m)，Y表示人的體重，單位是公斤(kg)，則協(xié)方差Cov(X,Y)帶有量綱(mkg).為了消除量綱的影響，現(xiàn)對(duì)協(xié)方差除以相同量綱的量，就得到一個(gè)新的概念——相關(guān)系數(shù).設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，且D(X)0

D(Y)0，則稱為X與Y的(線性)相關(guān)系數(shù)(Correlation).當(dāng)前第58頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)（1）X與Y的相關(guān)系數(shù)(X,Y)是個(gè)無(wú)量綱的量.（2）Cov(X,Y)與(X,Y)同符號(hào)，故從它的取值也可反應(yīng)出X與Y的正相關(guān)，負(fù)相關(guān)和不相關(guān).（3）相關(guān)系數(shù)(X,Y)的另一個(gè)解釋是：它是X與Y相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化變量X*與Y*的協(xié)方差Cov(X*,Y*).當(dāng)前第59頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)定理4.5.1(相關(guān)系數(shù)的性質(zhì))（1）|XY|1；（2）|XY|=1常數(shù)a,b，使得

P(Y=aX+b)=1.

X,Y幾乎處處線性相關(guān).當(dāng)前第60頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)說(shuō)明（1）若XY=0，稱X與Y不（線性）相關(guān)，但它們之間可能有其他的關(guān)系.譬如:平方關(guān)系，對(duì)數(shù)關(guān)系等.（2）若XY=1，則稱X與Y完全正相關(guān)；若XY=-1，則稱X與Y完全負(fù)相關(guān).（3）若0

<|XY|<1，則稱X與Y有“一定程度”的線性關(guān)系

|XY|越接近于1，則X與Y的線性相關(guān)程度越高；

|XY|越接近于0，X與Y的線性相關(guān)程度越低.但協(xié)方差看不出這一點(diǎn).若協(xié)方差很小，而其兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差X,Y也很小，則其比值就不一定很小.當(dāng)前第61頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為試求X與Y的相關(guān)系數(shù)XY.當(dāng)前第62頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)解當(dāng)前第63頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)于是當(dāng)前第64頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)本題的協(xié)方差很小，可是相關(guān)系數(shù)并不小.從相關(guān)系數(shù)XY

=0.8243看，X與Y有相當(dāng)程度的正相關(guān)；當(dāng)從相應(yīng)的協(xié)方差Cov(X,Y)=0.0471看，X與Y的相關(guān)性很微弱，幾乎可以忽略不計(jì).造成這種錯(cuò)覺(jué)的原因在于是沒(méi)有考慮標(biāo)準(zhǔn)差.若兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差都很小，即使是協(xié)方差小一些，相關(guān)系數(shù)也能顯示一定程度的相關(guān)性.由此可見(jiàn)，在協(xié)方差的基礎(chǔ)上加工形成的相關(guān)系數(shù)是更為重要的相關(guān)性的特征數(shù).當(dāng)前第65頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)若(X,Y)N(1,2,12,

22,)，求證XY=.證明一

當(dāng)前第66頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)故當(dāng)前第67頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)證明二令

當(dāng)前第68頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)則于是故當(dāng)前第69頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)一般場(chǎng)合，獨(dú)立必然導(dǎo)致不相關(guān)，不相關(guān)推不出獨(dú)立.但也有例外，如下面的例子.若(X,Y)N(1,12,

2,22,)，則X與Y相互獨(dú)立X與Y不相關(guān)=0.證明由以前的結(jié)論知XY=

，故只需證明X與Y不相關(guān)=0（1）必要性因?yàn)閄N(1,12,

2,22,0)，所以當(dāng)前第70頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)且XN(1,12),XN(2,22)，于是故所以X與Y相互獨(dú)立.當(dāng)前第71頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)（2）充分性因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y)即所以=0.當(dāng)前第72頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)作業(yè)當(dāng)前第73頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)4.6分布的其它特征數(shù)(FigureCharacteristic)數(shù)學(xué)期望和方差是隨機(jī)變量最重要的兩個(gè)特征數(shù)，此外，隨機(jī)變量還有一些其他的特征數(shù)。4.6.1K階矩設(shè)X為隨機(jī)變量，k為正整數(shù).如果以下的數(shù)學(xué)期望都成存在，則(1)X的k階原點(diǎn)矩：(2)X的k階中心矩：當(dāng)前第74頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)(3)X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩：(4)X與Y的k+l階混合中心矩：

由于|X|k-1

|X|k+1，所以若X的k階矩存在，則X的k-1階矩也存在，進(jìn)而低于k階的各階矩都存在.當(dāng)前第75頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)

4.6.3協(xié)方差矩陣二維隨機(jī)變量(X1,X2)有四個(gè)二階中心矩(假設(shè)它們都存在)，它們分別為于是(X1,X2)的協(xié)方差矩陣為當(dāng)前第76頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)設(shè)(X1,X2,…,Xn)的二階混合中心矩都存在，令則(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣為因而上述矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣.當(dāng)前第77頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)

n維正態(tài)隨機(jī)變量具有四條重要性質(zhì)：(1)n維正態(tài)隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的每一個(gè)分量都是正態(tài)變量;反之,若(X1,X2,…,Xn)的每一個(gè)分量都是正態(tài)隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立,則是(X1,X2,…,Xn)

n維正態(tài)隨機(jī)變量。(2)n隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)分布的充要條件是它的任意線性組合：a1X1+a2X2+…+anXn+a0(其中，a12+a22+…+an20)都服從一維正態(tài)分布.當(dāng)前第78頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)（3）若(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布，Y1,Y2,…,Ym是X1,X2,…,Xn的線性函數(shù)，則(Y1,Y2,…,Ym)也服從正態(tài)分布.上述性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性變換不變性.（4）設(shè)(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布，則“X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立”“X1,X2,…,Xn兩兩不相關(guān)”.當(dāng)前第79頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)作業(yè)沒(méi)有當(dāng)前第80頁(yè)\共有100頁(yè)\編于星期二\15點(diǎn)證明

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