線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性演示文稿

線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性演示文稿當(dāng)前第1頁\共有22頁\編于星期二\13點（優(yōu)選）線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性當(dāng)前第2頁\共有22頁\編于星期二\13點結(jié)論3：對零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，令初始時刻t0=0,則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：真或嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的所有極點均具有負實部。定義：稱連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)在t0為內(nèi)部穩(wěn)定，是指由時刻t0任意非零初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)Xou(t)對t∈[t0,+∞)有界，并滿足漸近屬性，即：結(jié)論4：設(shè)n維連續(xù)時間線性時變自治系統(tǒng)系統(tǒng)在t0時刻內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Ф(t,t0)對所有t∈[t0,+∞]為有界，并滿足：結(jié)論5：對n維連續(xù)時間線性時不變自治系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為或矩陣A所有特征值均具有負實部，即：Re{λi(A)}<0。3/4,3/18當(dāng)前第3頁\共有22頁\編于星期二\13點內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系結(jié)論6：對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定→BIBO穩(wěn)定，反之不成立。若系統(tǒng)能控且能觀測，則內(nèi)部穩(wěn)定←→BIBO穩(wěn)定。4/4,4/18當(dāng)前第4頁\共有22頁\編于星期二\13點1/3,1/5李雅普諾夫---Lyapunov當(dāng)前第5頁\共有22頁\編于星期二\13點李雅普諾夫是俄國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。1857年6月6日生于雅羅斯拉夫爾，1918年11月3日卒于敖德薩。1880年大學(xué)畢業(yè)后留校工作，1892年獲博士學(xué)位并成為教授。1893年起任哈爾科夫大學(xué)教授，1900年初當(dāng)選為圣彼得堡科學(xué)院通訊院士，1901年又當(dāng)選為院士，兼任應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)部主席。1909年當(dāng)選為意大利國立琴科學(xué)院外籍院士，1916年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院外籍院士。當(dāng)前第6頁\共有22頁\編于星期二\13點簡介1876年中學(xué)畢業(yè)時，因成績優(yōu)秀獲金質(zhì)獎?wù)?，同年考入圣彼得堡大學(xué)物理數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，被著名數(shù)學(xué)家切比雪夫淵博的學(xué)識深深吸引，從而轉(zhuǎn)到切比雪夫所在的數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影響下，他在大學(xué)四年級時就寫出具有創(chuàng)見的論文，而獲得金質(zhì)獎?wù)隆．?dāng)前第7頁\共有22頁\編于星期二\13點學(xué)術(shù)成就切比雪夫創(chuàng)立的彼得堡學(xué)派的杰出代表李雅普諾夫是切比雪夫創(chuàng)立的彼得堡學(xué)派的杰出代表，他的建樹涉及到多個領(lǐng)域，尤以概率論、微分方程和數(shù)學(xué)物理最有名.當(dāng)前第8頁\共有22頁\編于星期二\13點創(chuàng)立了特征函數(shù)法在概率論中，他創(chuàng)立了特征函數(shù)法，實現(xiàn)了概率論極限定理在研究方法上的突破，這個方法的特點在于能保留隨機變量分布規(guī)律的全部信息，提供了特征函數(shù)的收斂性質(zhì)與分布函數(shù)的收斂性質(zhì)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，給出了比切比雪夫、馬爾可夫關(guān)于中心極限定理更簡單而嚴(yán)密的證明，他還利用這一定理第一次科學(xué)地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量近似服從正態(tài)分布.他對概率論的建樹主要發(fā)表在其1900年的《概率論的一個定理》和1901年的《概率論極限定理的新形式》論文中.他的方法已在現(xiàn)代概率論中得到廣泛的應(yīng)用.當(dāng)前第9頁\共有22頁\編于星期二\13點常微分方程運動穩(wěn)定性理論的創(chuàng)始人李雅普諾夫是常微分方程運動穩(wěn)定性理論的創(chuàng)始人，他1884年完成了《論一個旋轉(zhuǎn)液體平衡之橢球面形狀的穩(wěn)定性》一文，1888年，他發(fā)表了《關(guān)于具有有限個自由度的力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性》.特別是他1892年的博士論文《運動穩(wěn)定性的一般問題》是經(jīng)典名著，在其中開創(chuàng)性地提出求解非線性常微分方程的李雅普諾夫函數(shù)法，亦稱直接法，它把解的穩(wěn)定性與否同具有特殊性質(zhì)的函數(shù)（現(xiàn)稱為李雅普諾夫函數(shù)）的存在性聯(lián)系起來，這個函數(shù)沿著軌線關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)具有某些確定的性質(zhì).正是由于這個方法的明顯的幾何直觀和簡明的分析技巧，所以易于為實際和理論工作者所掌握，從而在科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中得到廣泛地應(yīng)用和發(fā)展，并奠定了常微分方程穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)，也是常微分方程定性理論的重要手段.當(dāng)前第10頁\共有22頁\編于星期二\13點為數(shù)學(xué)物理方法的發(fā)展開辟了新的途徑李雅普諾夫?qū)ξ粍堇碚摰难芯繛閿?shù)學(xué)物理方法的發(fā)展開辟了新的途徑.他1898年發(fā)表的論文《關(guān)于狄利克雷問題的某些研究》也是一篇重要論文.該文首次對單層位勢、雙層位勢的若干基本性質(zhì)進行了嚴(yán)謹?shù)奶接?，指出了給定范圍內(nèi)的本問題有解的若干充要條件.他的研究成果奠定了解邊值問題經(jīng)典方法的基礎(chǔ).當(dāng)前第11頁\共有22頁\編于星期二\13點以其姓氏命名的數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)中以他的姓氏命名的有：李雅普諾夫第一方法，李雅普諾夫第二方法，李雅普諾夫定理，李雅普諾夫函數(shù)，李雅普諾夫變換，李雅普諾夫曲線，李雅普諾夫曲面，李雅普諾夫球面，李雅普諾夫數(shù)，李雅普諾夫隨機函數(shù)，李雅普諾夫隨機算子，李雅普諾夫特征指數(shù)，李雅普諾夫維數(shù)，李雅普諾夫系統(tǒng)，李雅普諾夫分式，李雅普諾夫穩(wěn)定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、條件有多種.當(dāng)前第12頁\共有22頁\編于星期二\13點5．2李亞普諾夫意義下運動的穩(wěn)定性的一些基本概念

李亞普諾夫第一方法：間接法李亞普諾夫第二方法：直接法自治系統(tǒng)：沒有輸入作用的一類動態(tài)系統(tǒng)平衡狀態(tài)：狀態(tài)空間中滿足的一個狀態(tài)李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定稱自治系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時刻t0為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定，如果對任給一個實數(shù)ε>0，都對應(yīng)存在另一位賴于ε和t0的實數(shù)δ(ε,t0)>0，使得滿足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運動Φ(t；x0,t0)都滿足不等式：‖Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε⑴穩(wěn)定的幾何解釋⑵李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定⑶時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定屬性⑷李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的實質(zhì)1/2,5/18當(dāng)前第13頁\共有22頁\編于星期二\13點漸近穩(wěn)定稱自治系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時刻t0為漸近穩(wěn)定，如果ⅰ)Xe=0在時刻t0為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定，ⅱ）對實數(shù)δ(ε,t0)>0和任給實數(shù)μ>0，都存在實數(shù)T(μ,δ,t0)>0使得滿足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運動Φ(t；x0,t0)滿足不等式‖Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤μ，不穩(wěn)定

稱自治系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時刻t0為不穩(wěn)定，如果不管取實數(shù)ε>0為多么大，都不存在對應(yīng)一個實數(shù)δ(ε,t0)>0，使得滿足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運動Φ(t；x0,t0)滿足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)。為了滿足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定2/2,6/18當(dāng)前第14頁\共有22頁\編于星期二\13點5．3李亞普諾夫第二方法的主要定理

結(jié)論7：對連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)X=0為系統(tǒng)平衡狀態(tài)，若可構(gòu)造對x和t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，且對狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)X滿足如下條件：?。￢(x,t)正定且有界，即存在兩個連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù)α(‖x‖)和β(‖x‖)，α(0)＝0，β(0)＝0，使對所有t∈[t0,∞)有：β(‖x‖)≥V(x,t)≥α(‖x‖)＞0ⅱ)V(x,t)對時間t的導(dǎo)數(shù)負定且有界。ⅲ)當(dāng)‖x‖→∞，有V(x,t)→∞則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)x=0為大范圍一致漸近穩(wěn)定。結(jié)論8：對連續(xù)時間非線性時不變自治系統(tǒng)X=0為系統(tǒng)平衡狀態(tài)，若可構(gòu)造對x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，V(0)=0，且對狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)X滿足如下條件：?。￢(x)為正定ⅱ)為負定ⅲ)當(dāng)‖x‖→∞，有V(x)→∞則系統(tǒng)原點的平衡狀態(tài)x=0為大范圍一致漸近穩(wěn)定。1/4,7/18當(dāng)前第15頁\共有22頁\編于星期二\13點例設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為坐標(biāo)原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性解取一正定的標(biāo)量函數(shù)為一負定的標(biāo)量函數(shù)，且系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。2/4,8/18當(dāng)前第16頁\共有22頁\編于星期二\13點結(jié)論9[小范圍漸近穩(wěn)定性定理]對連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對x和t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x,t),V(0,t)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)Ω，使對所有非零狀態(tài)x∈Ω和所有t∈[t0,∞)滿足如下條件：V(x,t)為正定且有界；為負定且有界；則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)x=0在Ω域內(nèi)為一致漸近穩(wěn)定。結(jié)論10[小范圍漸近穩(wěn)定性定理]對連續(xù)時間非線性時不變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x),V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)Ω，使對所有非零狀態(tài)x∈Ω滿足如下條件：V(x)為正定；為負定則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)x=0在Ω域內(nèi)為漸近穩(wěn)定3/4,9/18當(dāng)前第17頁\共有22頁\編于星期二\13點結(jié)論11[小范圍漸近穩(wěn)定性定理]對連續(xù)時間非線性時不變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x),V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)Ω，使對所有非零狀態(tài)x∈Ω滿足如下條件：V(x)為正定；為負半定對任意非零x0∈Ω則原點平衡狀態(tài)x=0在Ω域內(nèi)為漸近穩(wěn)定結(jié)論12[不穩(wěn)定性定理]對連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對x和t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x,t),V(0,t)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)域Ω，使對所有非零狀態(tài)x∈Ω和所有t∈[t0,∞)滿足如下條件：（?。￢(x,t)為正定且有界；（ⅱ）為正定且有界；則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)x=0為不穩(wěn)定。4/4,10/18當(dāng)前第18頁\共有22頁\編于星期二\13點5．4構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法變量梯度法設(shè)連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng)Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)，(1)設(shè)V(x)的梯度為(2)設(shè)梯度▽V(x)對應(yīng)于有勢場，則旋度rot▽V(x)=0，即(3)由(4)由(2),(3)定出▽V(x)(5)1/3,11/18當(dāng)前第19頁\共有22頁\編于星期二\13點(6)判斷V(x)計算結(jié)果的正定性克拉索夫斯基方法設(shè)連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng)Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)，系統(tǒng)雅可比矩陣克拉索夫斯基指出：如果存在一個對稱正定矩陣B，使對稱陣S（x）=BF(x)+[BF(x)]T是負定的，那么平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：V（x）=f(x)TBf(x)如果則平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。結(jié)論13：對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),矩陣A為非奇異，若A+AT為負定，則原點平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。2/3,12/18當(dāng)前第20頁\共有22頁\編于星期二\13點例確定平衡狀態(tài)x=0的穩(wěn)定性解取B=I為對稱負定陣，所以平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的3/3,13/18當(dāng)前第21頁\共有22頁\編于星期二\13點5．5連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)運動穩(wěn)定性判據(jù)

線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)結(jié)論14[特征值判據(jù)]對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，原點平衡狀態(tài)即x=0是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件為，矩陣A的特征值均具有非正實部即實部為零或負，且零實部特征值只能為A的最小多項式的單根。結(jié)論15[特征值判據(jù)]對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，原點平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為，矩陣A的特征值均具有負實部結(jié)論16[李亞普諾夫判據(jù)]對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，原點平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為，對任