積分中值定理

積分中值定理數學定理01積分第一中值定理內容幾何意義定理應用積分第二中值定理推廣形式目錄03050204基本信息積分中值定理，是一種數學定律。分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個公式。其中，積分第二中值定理還包含三個常用的推論。積分中值定理揭示了一種將積分化為函數值，或者是將復雜函數的積分化為簡單函數的積分的方法，是數學分析的基本定理和重要手段，在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面應用廣泛。積分第一中值定理內容積分第一中值定理內容若函數在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立其中，a、b、滿足：。

二重積分的中值定理設f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，是D的面積，則在D內至少存在一點，使得:定理證明設在上連續(xù)，因為閉區(qū)間上連續(xù)函數必有最大最小值，不妨設最大值為，最小值為，最大值和最小值可相等。對兩邊同時積分可得：同除以從而得到：由連續(xù)函數的介值定理可知，必定，使得，即：命題得證。積分第二中值定理證明形式積分第二中值定理形式設在上可積，考慮下列兩種情況：（1）在上單調遞減且在時，，那么存在使得.（2）在上單調遞增且在時，，那么存在使得.

證明只需證明第一種情況，第二種情況與此類似.設.是一個連續(xù)函數,故在上有最小值和最大值設由單調性知道,.設.因為在上是單調的,故可積,所以對任意,存在分割,其中為在上的振幅.因在上黎曼可積,故有界,記為則這里用到阿貝爾變換,同理有原式由上述證明知道得,從而所以從而.

幾何意義幾何意義這個定理的幾何意義為：若，，則由軸、、及曲線圍成的曲邊梯形的面積等于一個長為，寬為的矩形的面積。推廣形式第二定理第一定理推廣形式第一定理如果函數、在閉區(qū)間上連續(xù)，且在上不變號，則在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立：第二定理一、如果函數,在閉區(qū)間上可積，且為單調函數，則在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立：二、如果函數、在閉區(qū)間[a,b]上可積，并且是單調遞減函數，則在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立：三、如果函數、在閉區(qū)間上可積，且并是單調遞增函數，則在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立：定理應用求極限問題運用運用估計不等式證明定理應用求極限在函數極限的計算中,如果含有定積分式,常常可以運用定積分的相關知識,比如積分中值定理等,把積分號去掉。例題1問題運用某些帶積分式的函數,常常會有要求判定某些性質的點的存在的問題,有時運用積分中值定理能使問題迎刃而解。

例題2運用估計在大多數的積分式中,能找到其被積函數的原函數再進行求值的積分簡直是鳳毛麟角,當被積函數“積不出”或者原函數很復雜時,可用各種方法來估計積分。對于乘積型的被積函數,將變化緩慢的部分或積分困難的部分進行估計,可積的部分積分之。積分中值定理和各種不等式就是其中常用的方法,

例題3不等式證明積分不等式是指不等式中含有兩個以上積分的不等式,當積分區(qū)間相同時,先合并同一積分區(qū)間上的不同積分,根據被積函數所滿足的條件,靈靈活運用積分中值定理,以達到證明不等式成立的目的。在證明定積分不等式時,常?？紤]運用積分中值定理,以便去掉積分符號,如果被積函數是兩個函數之積時,可考慮用積分第一或者第二中值定理。對于某些不等式的證明,運用原積分中值定