高中數(shù)學(xué)-楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(一)教學(xué)課件設(shè)計(jì)

1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)人教A版選修2-3

一般地，對(duì)于nN*有二項(xiàng)定理:一、新課引入二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是哪些？共有多少個(gè)？

下面我們來研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

………………二項(xiàng)式系數(shù)(a+b)1………11(a+b)2…121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………遞推法二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)第5行

1551第0行

1楊輝三角第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

141第6行

161561第n-1行

11第n行11………………………………

1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34楊輝三角《九章算術(shù)》楊輝

這個(gè)表稱為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書里，還說明了表里“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖》算書，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過它。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（BlaisePascal,1623年—1662年）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當(dāng)時(shí)，其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對(duì)稱軸：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由于：所以相對(duì)于的增減情況由決定．

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由：

二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。

可知，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時(shí)由于，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式．

一般地，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：

（1）

（2）

（3）當(dāng)時(shí)，

（4）

當(dāng)時(shí)，典例精析例1．證明：（1）(a+b)n的展開式中,各二項(xiàng)式系數(shù)的和

啟示：在二項(xiàng)式定理中a,b可以取任意實(shí)數(shù)，因此我們可以通過對(duì)a,b賦予一些特定的值，是解決二項(xiàng)式有關(guān)問題的一種重要方法——賦值法。令a=b=1，則繼續(xù)思考:（2）試證明在(a+b)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.即證：證明：在展開式中令a=1，b=－1得

小結(jié)：賦值法在二項(xiàng)式定理中，常對(duì)a,b賦予一些特定的值1，-1等來整體得到所求。練習(xí)：證明（n是偶數(shù)）例2（賦值法）例2練習(xí)：求的值1.當(dāng)n10時(shí)常用楊輝三角處理二項(xiàng)式系數(shù)問題;2.利用楊輝三角和函數(shù)圖象可得二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性、增減性和最大值;3.常用賦值法解決二項(xiàng)式系數(shù)問題.當(dāng)堂檢測(cè)：1）已知，那么=

；2）的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是