2023學(xué)年完整公開課版《基本不等式》

3.4基本不等式：學(xué)科網(wǎng)第24屆國際數(shù)學(xué)家大會

會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客．1.你能在這個圖案中找出面積間的一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？BACDEFGH探究點(diǎn)1探究基本不等式BACDEFGH則正方形ABCD的面積是________，這4個直角三角形的面積之和是_________，設(shè)AE=a,BE=b,a2+b22ab>Z.x.x.K有可能相等嗎？？？又什么時候取等于號呢？ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。ABCDE(FGH)ab一般地，對于任意實(shí)數(shù)a，b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.2.你能給出它的證明嗎？特別地，我們用,分別代替可得構(gòu)造條件二、應(yīng)用例1、若,求的最小值.變3:若,求的最小值.變1:若求的最小值變2:若,求的最小值.發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式問:在結(jié)論成立的基礎(chǔ)上,條件“a>0,b>0”可以變化嗎？三、應(yīng)用例2、已知,求函數(shù)的最大值.變式:已知,求函數(shù)的最大值.發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式均值定理：已知x,y都是正數(shù)，（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值；（2）如果和x+y是定值S，那么當(dāng)x=y時，積xy有最大值條件說明：1、函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù).2、函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須都是常值（定值）.3、等號成立條件必須存在.“一正二定三等”，這三個條件缺一不可.應(yīng)用基本不等式求最值的條件：

a與b為正實(shí)數(shù)若等號成立，a與b必須能夠相等一正二定三相等積定和最小和定積最大（a＞0，b＞0）分析：設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，面積確定，則xy=100，籬笆的長為2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.例1(1)用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短.最短的籬笆是多少？解：設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，則xy=100，籬笆的長為2（x+y）m.等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立，此時x=y=10.因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用籬笆最短，最短籬笆是40m.分析：設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，周長確定，則2（x+y）=36，籬笆的面積為xym2.即求xy的最大值.例1(2)一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大.最大面積是多少？解：設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，則2(x+y)=36,x+y=18，矩形菜園的面積為xym2.當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即x=y=9時，等號成立.因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面積是81m2.練習(xí)4.已知x>0,y>0,且2x+y=1,求的最小值？

2、(04重慶）已知則xy的最大值是

。高考方向標(biāo)：1、當(dāng)x>0時，的最小值為

，此時x=

。21

3、若實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（）A、10B、C、D、4、在下列函數(shù)中，最小值為2