混沌理論 綜述 很全課件

混沌與分岔

Content混沌與分岔的起源與發(fā)展混沌的概念混沌的特點(diǎn)混沌現(xiàn)象舉例分岔的概念混沌的研究方法分岔的研究方法混沌在現(xiàn)代科技領(lǐng)域的應(yīng)用2可編輯課件混沌與分岔的起源與發(fā)展公認(rèn)的最早發(fā)現(xiàn)混沌的是偉大的法國數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家—龐加萊，他是在研究天體力學(xué)，特別是在研究三體問題時(shí)發(fā)現(xiàn)混沌的。他發(fā)現(xiàn)三體引力相互作用能產(chǎn)生驚人的復(fù)雜行為，確定性動(dòng)力學(xué)方程的某些解有不可預(yù)見性。直到20世紀(jì)六十年代后，混沌現(xiàn)象才引起學(xué)術(shù)界的廣泛注意，到七十年代才誕生了還不大成熟的“混沌學(xué)”。其后，“混沌學(xué)”得到了迅速發(fā)展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌現(xiàn)象研究的熱潮。3可編輯課件三體問題的進(jìn)展16世紀(jì)以來科學(xué)家就在尋找這一問題的簡單特解即特殊情況下的簡單穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)軌道。歐拉三個(gè)質(zhì)量相同的物體呈直線等距離排列，兩端物體繞中間物體做圓周運(yùn)動(dòng)。4可編輯課件拉格朗日三個(gè)等質(zhì)量的物體，排成等邊三角形繞三角形的中心做圓周運(yùn)動(dòng)。5可編輯課件近代計(jì)算機(jī)運(yùn)算三個(gè)等質(zhì)量的物體在一條“8”字形軌道上運(yùn)動(dòng)。------宇宙中還沒找到。6可編輯課件混沌與分岔的起源與發(fā)展混沌現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)以后，關(guān)于分岔與混沌之間聯(lián)系的研究得到迅速發(fā)展，如：Rulle和Takens發(fā)現(xiàn)環(huán)面分岔通向混沌；Feigenbaum發(fā)現(xiàn)倍周期分岔通向混沌；Pomeou等發(fā)現(xiàn)伴隨鞍結(jié)分岔的陣發(fā)性通向混沌。7可編輯課件混沌的概念混沌，英文為chaos，意思是混亂，紊亂。混沌是指發(fā)生在確定系統(tǒng)中貌似隨機(jī)的無規(guī)則或不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。然而混沌作為一門科學(xué)發(fā)展至今，仍沒有一個(gè)準(zhǔn)確、完整、科學(xué)的定義，不同領(lǐng)域的科學(xué)家往往對(duì)其有不同的理解。混沌一詞由李天巖（Tian-yanLi）和約克（Yorke）于1975年首先提出?；煦绲亩ㄐ悦枋?，“混沌是確定性非線性系統(tǒng)的有界的敏感初始條件的非周期行為”。8可編輯課件混沌的概念n周期點(diǎn)的定義：如果對(duì)于某x0，有f(n)(x0)=x0，但對(duì)于小于n的自然數(shù)k，有f(k)(x0)≠x0，則稱x0為f的一個(gè)n周期點(diǎn)。n周期軌道的定義：當(dāng)x0為f的一個(gè)n周期點(diǎn)時(shí)，稱{x0,f(1)(x0),f(2)(x0),…,f(n-1)(x0)}為f的n周期軌道。Li-Yorke定理：設(shè)連續(xù)自映射，I是R的一個(gè)閉區(qū)間，如果：①存在一切周期的周期點(diǎn)；②存在不可數(shù)子集S，S不含周期點(diǎn)，使得118則稱f在S上是混沌的。9可編輯課件混沌的概念Li-Yorke定理給出了混沌數(shù)學(xué)上的定義，它說明混沌系統(tǒng)應(yīng)該具有三種性質(zhì)：存在所有周期的周期軌道；存在一個(gè)不可數(shù)集，此集只含有混沌軌道，任意兩個(gè)軌道既不趨向遠(yuǎn)離也不趨向接近，兩種狀態(tài)交替出現(xiàn)；任一混沌軌道不趨于任一周期軌道。10可編輯課件混沌的特點(diǎn)對(duì)初值的敏感性

混沌對(duì)初值具有敏感依賴性，初值的微小差別會(huì)導(dǎo)致未來的混沌軌道的巨大差別,正是所謂“失之毫厘，謬以千里”。1963年，荷蘭科學(xué)家洛倫茲(Hendrik

AntoonLorenz)在《大氣科學(xué)》雜志上發(fā)表了“決定性的非周期流”的著名論文。該論文以一個(gè)底部加熱、頂部冷卻的兩維運(yùn)動(dòng)流體塊中的對(duì)流為模型，提出了著名的Lorenz方程。Lorenz用數(shù)值方法揭示了該模型中存在混沌運(yùn)動(dòng)，并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)初值的微小變化會(huì)導(dǎo)致軌道在長時(shí)間以后完全不同，即解對(duì)初值的極端敏感性，就是著名的蝴蝶效應(yīng)。11可編輯課件混沌的特點(diǎn)內(nèi)在隨機(jī)性

確定性行為一定產(chǎn)生于確定性方程，而隨機(jī)行為卻產(chǎn)生于兩類方程：一類是隨機(jī)微分方程，一類是確定性方程。隨機(jī)微分方程表現(xiàn)出來的隨機(jī)性是由隨機(jī)參數(shù)、隨機(jī)初始條件或隨機(jī)外界強(qiáng)迫所產(chǎn)生，常稱為外在隨機(jī)性。確定性方程本身不包含任何隨機(jī)因素，但在一定的參數(shù)范圍卻能產(chǎn)生出看起來很混亂的結(jié)果，把這種由確定性方程產(chǎn)生的隨機(jī)性稱之為內(nèi)在隨機(jī)性?；煦缡谴_定性非線性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性，這是混沌的重要特征之一。12可編輯課件混沌的特點(diǎn)長期不可預(yù)測性由于初始條件僅限于某個(gè)有限精度，而初始條件的微小差異可能對(duì)以后的時(shí)間演化產(chǎn)生巨大的影響，因此不可能長期預(yù)測將來某一時(shí)刻之外的動(dòng)力學(xué)特性，即混沌系統(tǒng)的長期演化行為是不可預(yù)測的。

13可編輯課件混沌的特點(diǎn)分形性分形(Fractal)這個(gè)詞是由曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)在70年代創(chuàng)立分形幾何學(xué)時(shí)所使用的一個(gè)新詞。所謂分形是指n維空間一個(gè)點(diǎn)集的一種幾何性質(zhì)，它們具有無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)，在任何尺度下都有自相似部分和整體相似性質(zhì)，具有小于所在空間維數(shù)的非整數(shù)維數(shù)，這種點(diǎn)集叫分形體。分維就是用非整數(shù)維-分?jǐn)?shù)維來定量地描述分形的基本特性。14可編輯課件混沌的特點(diǎn)普適性普適性包括兩種，即結(jié)構(gòu)的普適性和測度的普適性。當(dāng)系統(tǒng)趨于混沌時(shí)，所表現(xiàn)出的特征具有普適意義，其特征不因具體系統(tǒng)的不同和系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的差異而變化。

15可編輯課件混沌的特點(diǎn)遍歷性

遍歷性也稱為混雜性，混沌運(yùn)動(dòng)在有限時(shí)間內(nèi)能夠到達(dá)混沌區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)。

16可編輯課件混沌的特點(diǎn)奇怪吸引子相對(duì)于簡單吸引子（不動(dòng)點(diǎn)、極限環(huán)、環(huán)面）相空間的子集合又稱混沌吸引子。由無限層的條帶經(jīng)過伸長和折疊的幾何圖像。它表示系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間呈無規(guī)則的非周期變化;具有混沌的一切特征，對(duì)初始條件的敏感性，具有非整數(shù)的維數(shù)，即使原來的微分方程連續(xù)的依賴于參數(shù)，奇怪吸引子的結(jié)構(gòu)也不是連續(xù)隨參數(shù)變化，而往往是在參數(shù)變化的過程中其整體結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生突變，奇怪吸引子具有無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)。17可編輯課件

正如我們前面所說的，系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)在相空間中無窮地纏繞、折疊和扭結(jié)，構(gòu)成了具有無窮層次的自相似結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)稱為奇異吸引子。典型的有：

一、奇異Lorenz吸引子考慮Lorenz非線性微分方程組

18可編輯課件通常，人們用常數(shù)，另一組是。有時(shí)稱為Prandtl數(shù)，為Rayleigh（雷利）數(shù)。系統(tǒng)既不能形成極限環(huán)（一個(gè)吸引集，它的軌道或軌線收斂且軌線具有周期性）也不能達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，代之的是一個(gè)確定性的混沌。像其他混沌系統(tǒng)一樣，Lorenz系統(tǒng)對(duì)初值很敏感，不管兩個(gè)初始狀態(tài)如何地挨近，它終將還是離散。盡管方程組看起來是足夠地簡單，但它還是引出了令人驚異的軌道，即奇異吸引子。19可編輯課件二、奇異Rossler(羅斯洛)吸引子Rossler非線性微分方程組來源于化學(xué)動(dòng)力學(xué)的研究，該方程組如下：其中。系統(tǒng)也不能形成極限環(huán)，更不能達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，得到的只是一個(gè)確定性的混沌。也像其他混沌系統(tǒng)一樣，Rossler系統(tǒng)對(duì)初值非常敏感。不管兩個(gè)初始狀態(tài)如何地接近，最終還是發(fā)20可編輯課件散。盡管方程組看起來并不復(fù)雜，但它還是產(chǎn)生出令人眼花繚亂和奇異的軌道，即奇異吸引子。21可編輯課件混沌的特點(diǎn)幾種典型的混沌吸引子Chen’s吸引子

Lorenz吸引子

Rossler吸引子

22可編輯課件混沌現(xiàn)象舉例機(jī)床切削金屬時(shí)或打印機(jī)機(jī)頭因沖擊而引起的混沌振動(dòng)正常的腦電波則近乎隨機(jī)訊號(hào)，其腦電圖曲線代表的就是典型的混沌現(xiàn)象單擺是我們熟知的確定性運(yùn)動(dòng)的典型，但當(dāng)角度大到一定程度并有驅(qū)動(dòng)力和阻力時(shí)也居然能夠進(jìn)入混沌狀態(tài)湍流、三體問題、蝴蝶效應(yīng)、昆蟲繁衍23可編輯課件混沌現(xiàn)象舉例--蝴蝶效應(yīng)

1961年美國氣象學(xué)家洛倫茲利用他的一臺(tái)老爺計(jì)算機(jī)，根據(jù)他導(dǎo)出的描述氣象演變的非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行長期氣象預(yù)報(bào)的模擬數(shù)值計(jì)算，探討準(zhǔn)確進(jìn)行長期天氣預(yù)報(bào)的可能性。有一次，洛倫茲為了檢驗(yàn)上一次的計(jì)算結(jié)果，決定再算一遍。但他不是從上一次計(jì)算時(shí)的最初輸入的數(shù)據(jù)開始驗(yàn)算，而是以一個(gè)中間結(jié)果作為驗(yàn)算的輸入數(shù)據(jù)。他發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過一段重復(fù)過程后，計(jì)算開始偏離上次的結(jié)果，甚至大相徑庭。就好比一個(gè)計(jì)算結(jié)果預(yù)報(bào)幾個(gè)月后的某天是晴空萬里，另一個(gè)計(jì)算結(jié)果則告訴你這一天將電閃雷鳴！后來洛倫茲發(fā)現(xiàn)兩次計(jì)算的差別只是第二次輸入中間數(shù)據(jù)時(shí)將原來的0.506127省略為0.506。洛倫茲意識(shí)到，因?yàn)樗姆匠淌欠蔷€性的，非線性方程不同于線性方程，線性方程對(duì)初值的依賴不敏感，而非線性方程對(duì)初值的依賴極其敏感。正是初始條件的微小誤差導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的巨大偏離。由此洛倫茲斷言：準(zhǔn)確地作出長期天氣預(yù)報(bào)是不可能的。對(duì)此，洛倫茲作了個(gè)形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)一下翅膀會(huì)在美國的得克薩斯州引起一場龍卷風(fēng)，這就是蝴蝶效應(yīng)。24可編輯課件25可編輯課件混沌現(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍

假定有某種昆蟲，在不存在世代交疊的情況下，即每年夏天成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個(gè)蟲卵孵化為蟲。很顯然，若產(chǎn)卵數(shù)大于1，則蟲口就會(huì)迅速增加，“蟲滿為患”。但在蟲口數(shù)目增大的同時(shí)又由于爭奪有限的食物和生存空間而不斷發(fā)生咬斗事件，也可能因接觸感染而導(dǎo)致疾病蔓延，這些又會(huì)使蟲口減少。綜合考慮正增長和負(fù)增長，即鼓勵(lì)和抑制這兩種因素的作用，經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)抽象和變換后，在1976年生物學(xué)家羅伯特.梅最終得到蟲口方程如下：Xn+1=λXn(1—Xn)式中各量的取值范圍為n：1，2，3，···∞；Xn：[0，1]；λ：[0，4]26可編輯課件混沌現(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍

假定蟲口環(huán)境所能支撐和供應(yīng)的最大蟲口限額為N0，且N0>>1。第n代蟲口數(shù)為Nn，則Xn=Nn/N0，是為第n代的相對(duì)蟲口數(shù)。顯然，1就是最大蟲口數(shù)目，故Xn的值不能超過1。λ是控制參量，蟲口模型要求λ取值[0，4]，這是因?yàn)樵讦?gt;4時(shí)會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，方程就將失去意義。如對(duì)Xn+1=5Xn(1—Xn)，當(dāng)代入Xn=0.5后會(huì)得到Xn+1=1.25，而最大相對(duì)蟲口數(shù)只能為1，Xn+1=1.25顯然沒有意義。27可編輯課件混沌現(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍下面取λ為不同值對(duì)蟲口方程進(jìn)行迭代求解：取λ：0—1迭代容易驗(yàn)證，λ在0—1之間時(shí)，無認(rèn)初始值取多少，對(duì)方程Xn+1=λXn(1—Xn)迭代歸宿均為確定值零。這是一個(gè)最平凡的1周期解，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定態(tài)。取λ：1—3迭代迭代也是收斂的，迭代結(jié)果總是趨向于一個(gè)穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，這是一個(gè)非零的1周期解，同樣對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)方程Xn+1=2Xn(1—Xn)作迭代，取X1=0.1則有X2=0.18，X3=0.2952，X4=0.416111392，X5=0.485924299，X6=0.4999604721，X7=0.499999687，X8=0.499999999······可見很快收斂于X*=0.5。又對(duì)方程Xn+1=2.5Xn(1—Xn)作迭代，取X1=0.1也只須十幾次迭代就收斂于X*=0.6了。不過與上一迭代趨近方式有所不同，幾次迭代后結(jié)果就在X*值上下產(chǎn)生小幅振蕩，并最終收斂于X*=0.6。28可編輯課件混沌現(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍取λ：3—3.569迭代迭代結(jié)果開始出現(xiàn)跳躍情況，倍周期分岔開始。其中在3—3.449之間為2周期，在3.449—3.544間為4周期······隨著λ的增加，分岔越來越密，混沌程度越來越高，直至λ=3.569時(shí)分岔周期變?yōu)椤?，最后“歸宿”可取無窮多的不同值，表現(xiàn)出極大的隨機(jī)性。而周期無窮大就等于沒有周期，此時(shí)系統(tǒng)開始進(jìn)入完全的混沌狀態(tài)?；煦鐓^(qū)對(duì)應(yīng)λ取值3.569—4。29可編輯課件分岔的概念

分岔(bifurcation)是非線性領(lǐng)域的重要理論。分岔是指動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，控制參量改變時(shí)，其各自的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生突然變化。分岔現(xiàn)象是非線性問題中所特有現(xiàn)象，失穩(wěn)是其發(fā)生的前提。分岔之后，系統(tǒng)不同狀態(tài)間便發(fā)生不連續(xù)的過渡，這就是突變。然后經(jīng)過不斷地分岔，最后達(dá)到的終態(tài)即混沌。由此可見分岔在許多非線性現(xiàn)象中起著橋梁作用。分岔問題可以分成靜態(tài)分岔和動(dòng)態(tài)分岔。靜態(tài)分岔指系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性在分岔值附近發(fā)生變化，如鞍結(jié)分岔、跨臨界分岔、叉形分岔等；動(dòng)態(tài)分岔是相軌跡的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也發(fā)生變化，如Hopf分岔、環(huán)面分岔、同宿或異宿分岔等。叉形分岔、Hopf分岔和鞍結(jié)分岔為三種分岔原型。30可編輯課件分岔的概念叉形分岔77其典型方程為：方程的平衡點(diǎn)有三個(gè)：x=0和平衡態(tài)的穩(wěn)定性由雅可比矩陣的特征值決定：對(duì)于平衡點(diǎn)x=0，雅可比矩陣的特征值為μ。當(dāng)μ<0時(shí)，平衡點(diǎn)x=0是穩(wěn)定的；當(dāng)μ>0時(shí)，它是不穩(wěn)定的。對(duì)于平衡點(diǎn)，雅可比矩陣的特征值為-2μ。此時(shí)μ取正值，這兩個(gè)平衡點(diǎn)都是穩(wěn)定的。這就是叉形分岔，又稱為倍周期分岔。

31可編輯課件分岔的概念Hopf分岔在動(dòng)態(tài)分岔中，比較重要的是由于平衡點(diǎn)穩(wěn)定性突然變化而出現(xiàn)極限環(huán)的霍普分岔。Hopf分岔是指從平衡點(diǎn)的失穩(wěn)分岔出極限環(huán)，即產(chǎn)生周期性振蕩的現(xiàn)象。其典型的方程為引入極坐標(biāo)(r,θ)，其中32可編輯課件分岔的概念代入典型方程并化簡得方程組的第二式，說明了軌線以一常角速度旋轉(zhuǎn)，而第一式，則說明了極坐標(biāo)系在μ>0時(shí)還存在另一平衡點(diǎn)由此看到，與叉形分岔非常相似。由分析得知，當(dāng)μ<0時(shí)，r=0為穩(wěn)定的，而當(dāng)μ>0時(shí)，r=0就變的不穩(wěn)定了，從而分岔出半徑為的極限環(huán)，這種由于失穩(wěn)后出現(xiàn)極限環(huán)的分岔通常稱為Hopf分岔，此時(shí)的分岔點(diǎn)為x=0，y=0，μ=0。33可編輯課件分岔的概念鞍結(jié)分岔又稱折疊分岔。試考察單變量非線性方程很明顯，當(dāng)μ>0時(shí)則存在兩平衡點(diǎn)：根據(jù)雅可比矩陣計(jì)算得知，x1是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，x2是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。μ=0是分岔點(diǎn)，此分岔稱為鞍結(jié)分岔。

34可編輯課件混沌的研究方法

針對(duì)混沌現(xiàn)象目前主要采用的方法有：定性分析法和定量分析法。定性分析法有龐加萊截面法，功率譜法等；定量分析法有飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法和李亞普諾夫指數(shù)法等。龐加萊截面法：在多維相空間中適當(dāng)（要有利于觀察系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征和變化，如截面不能與軌線相切，更不能包含軌線面）選取一個(gè)截面，這個(gè)截面可以是平面也可以是曲面，然后考慮連續(xù)的動(dòng)力學(xué)軌道與此截面相交的一系列點(diǎn)的變化規(guī)律，這樣就可以拋開相空間的軌道，借助計(jì)算機(jī)畫出龐加萊截面上的截點(diǎn)，由此得到關(guān)于運(yùn)動(dòng)特征的信息。不同的運(yùn)動(dòng)形式通過截面時(shí)，與截面的交點(diǎn)有不同的分布特征：

170①周期運(yùn)動(dòng)在此截面上留下有限個(gè)離散的點(diǎn)；②準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)在截面上留下一條閉合曲線；③混沌運(yùn)動(dòng)在龐加萊截面上是沿一條線段或一曲線弧分布的點(diǎn)集，而且具有自相似的分形結(jié)構(gòu)。35可編輯課件混沌的研究方法功率譜法：譜分析是識(shí)別混沌的一個(gè)重要手段。根據(jù)傅立葉變換分析得到周期運(yùn)動(dòng)的頻譜是離散的譜線，而對(duì)非周期運(yùn)動(dòng)，其不能展開成傅立葉級(jí)數(shù)只能展開成傅立葉積分，故非周期運(yùn)動(dòng)的頻譜是連續(xù)的。也就是說，若譜圖具有單峰或幾個(gè)峰，則對(duì)應(yīng)于周期序列，若無明顯的峰值且頻譜是連續(xù)的，則可確定該系統(tǒng)可能存在混沌解。飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法：根據(jù)傳統(tǒng)的定義，維數(shù)是整數(shù)的，而混沌軌道在相空間內(nèi)由于無限次的拉伸、壓縮和折疊，構(gòu)成了無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)，形成混沌奇怪吸引子。這奇怪吸引子的形狀極為復(fù)雜，既像線又像面，在維數(shù)上表現(xiàn)為非整數(shù)維數(shù)，即分?jǐn)?shù)維。36可編輯課件混沌的研究方法李亞普諾夫指數(shù)法：李亞譜諾夫指數(shù)是用來刻畫混沌行為對(duì)初始條件的高度敏感性，是用來度量從兩個(gè)相鄰初始點(diǎn)出發(fā)的兩條軌道，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，他們之間的距離隨時(shí)間按指數(shù)形式吸引或分離的程度?？梢詤^(qū)分奇怪吸引子和其他的吸引子。1983年，格里波基證明只要最大李指大于0，就可以肯定混沌性的存在。37可編輯課件分岔的研究方法

目前在研究分岔時(shí)主要用到的方法有：狀態(tài)空間平均法、頻閃映射法和采樣數(shù)據(jù)法。狀態(tài)空間平均法：狀態(tài)空間平均法就是先分別寫出各系統(tǒng)工作在各模態(tài)的狀態(tài)空間模型，然后進(jìn)行平均。頻閃映射法：頻閃映射的主要思路是確定一個(gè)初值，以此初值為變量求解下一周期的解，如此不斷的反復(fù)，最終得到所需精度解Xn+1。只要求得Xn+1和Xn之間的關(guān)系，就能采用連續(xù)代入的方法求出Xn+1。38可編輯課件分岔的研究方法采樣數(shù)據(jù)法：通過列寫出系統(tǒng)在不同工作階段的微分方程得出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)迭代方程，這就是采樣數(shù)據(jù)法。以上3種建模方法各有特點(diǎn)：狀態(tài)空間平均法計(jì)算簡便，但只能分析低頻性能；頻閃映射法適用于數(shù)值求解；采樣數(shù)據(jù)法能夠得到解析解，是一種系統(tǒng)而準(zhǔn)確的模型。

39可編輯課件混沌在現(xiàn)代科技領(lǐng)域的應(yīng)用舉例

在通信領(lǐng)域的使用通信在我們的生活中的作用越來越重要，尤其是電子商務(wù)的興起，對(duì)保密通信提出了更高的要求。混沌信號(hào)最本質(zhì)的特征是對(duì)初始條件極為敏感，并導(dǎo)致了混沌信號(hào)的類隨機(jī)特性。用它作為載波調(diào)制出來的信號(hào)當(dāng)然也具有類隨機(jī)特性。因而，調(diào)制混沌信號(hào)即使被敵方截獲，也很難被破譯，這就為混沌應(yīng)用于保密通信提供了有利條件。因此利用混沌進(jìn)行保密通信是目前十分熱門的研究課題。40可編輯課件混沌在現(xiàn)代科技領(lǐng)域的應(yīng)用舉例

在氣象學(xué)中的應(yīng)用在近年的