五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)思維導(dǎo)圖-五下數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖總復(fù)習(xí)借鑒

五年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總（數(shù)學(xué)）

目錄（按住ctrl并單擊鼠標(biāo)直接轉(zhuǎn)到相應(yīng)單元）TOC\o\h\z\u第一單元圖形的變換 1第二單元因數(shù)與倍數(shù) 3第三單元長(zhǎng)方體和正方體 8第四單元分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì) 14第五單元分?jǐn)?shù)的加法和減法（簡(jiǎn)略，具體詳見另文“分?jǐn)?shù)加減法常見題型解析”） 24第六單元統(tǒng)計(jì) 25第七單元數(shù)學(xué)廣角 27

第一單元圖形的變換圖形的變換：本單元所說(shuō)的“圖形的變換”包括圖形的平移、對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)三種。對(duì)應(yīng)點(diǎn)：圖形中的某一點(diǎn)通過變換后形成的新的點(diǎn)，叫做這點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。如三角形ABC關(guān)于直線a的對(duì)稱圖形是三角形A’B’C’，其中A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A’，以此類推。軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后左右兩側(cè)能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形。這條直線就是這個(gè)軸對(duì)稱圖形的一條對(duì)稱軸。常見軸對(duì)稱圖形及其對(duì)稱軸的數(shù)量：常見的對(duì)稱圖形有：正方形（4條），長(zhǎng)方形（2條），等腰三角形（1條），等邊三角形（3條），正五邊形和五角星（5條），圓形（無(wú)數(shù)條）。漢字、字母及其他常見圖形中的軸對(duì)稱圖形：除了我們所學(xué)過的規(guī)則的多邊形外，還有許多圖形也是軸對(duì)稱圖形，如某些漢字、字母和特殊的圖形。注意它們的對(duì)稱軸也可以是橫著的或是傾斜的，但只要滿足軸對(duì)稱圖形的條件，就是軸對(duì)稱圖形。軸對(duì)稱圖形的特征：軸對(duì)稱圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等。也就是說(shuō)，一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（如A和A’）到對(duì)稱軸所作的垂直線段的長(zhǎng)度是相等的。作對(duì)稱圖形的方法：我們可以利用軸對(duì)稱圖形的特征來(lái)作一個(gè)圖形的對(duì)稱圖形。如要作四邊形ABCD關(guān)于直線a的對(duì)稱圖形，步驟如下：（1）選取關(guān)鍵點(diǎn)因?yàn)椤皟牲c(diǎn)可以確定一條直線”，四邊形ABCD只需要四個(gè)頂點(diǎn)就能確定，所以選擇四個(gè)頂點(diǎn)ABCD作為作圖的關(guān)鍵點(diǎn)。一般來(lái)說(shuō)，多邊形的關(guān)鍵點(diǎn)是其頂點(diǎn)，其他圖形的關(guān)鍵點(diǎn)是線段的交點(diǎn)。（2）作關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)（對(duì)應(yīng)點(diǎn)）因?yàn)閷?duì)稱圖形A’B’C’D’中四對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸（直線a）的距離都分別相等，可以分別作ABCD四點(diǎn)到直線a的垂線段，再分別延長(zhǎng)一倍，得到的點(diǎn)就是ABCD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A’B’C’D’。（3）連結(jié)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)照原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)，將對(duì)稱圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別連結(jié)，形成對(duì)稱圖形四邊形A’B’C’D’。旋轉(zhuǎn)：一個(gè)物體繞著某一點(diǎn)或軸運(yùn)動(dòng)的方式叫做旋轉(zhuǎn)。如鐘面中，時(shí)針、分針、秒針都繞著同一個(gè)中心旋轉(zhuǎn)；又如風(fēng)車、電風(fēng)扇的葉片繞著中心軸旋轉(zhuǎn)。鐘面指針旋轉(zhuǎn)問題：鐘面被平均分為12個(gè)點(diǎn)鐘，因此每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)鐘之間的角度是360°÷12＝30°。如指針（時(shí)針、分針或秒針）從3點(diǎn)繞鐘面中心O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到5點(diǎn)，從5點(diǎn)繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到9點(diǎn)。而逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)類似，同一結(jié)果如方法不同那么角度相加得360°，如順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°相當(dāng)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°相當(dāng)于順時(shí)針旋轉(zhuǎn)210°結(jié)合相應(yīng)的鐘面時(shí)間，可以考察不同指針的變化。如從4:30到5:30，時(shí)針繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了30°，分針繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了360°。作旋轉(zhuǎn)圖形的方法：要作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)中心）旋轉(zhuǎn)一定角度后的圖形，相當(dāng)于有若干個(gè)指向每個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的指針同時(shí)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果。如要作四邊形ABCD繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形，則作圖步驟如下：（1）選取關(guān)鍵點(diǎn)因?yàn)椤皟牲c(diǎn)可以確定一條直線”，四邊形ABCD只需要四個(gè)頂點(diǎn)就能確定，所以選擇四個(gè)頂點(diǎn)ABCD作為作圖的關(guān)鍵點(diǎn)。一般來(lái)說(shuō)，多邊形的關(guān)鍵點(diǎn)是其頂點(diǎn)，其他圖形的關(guān)鍵點(diǎn)是線段的交點(diǎn)。（2）連結(jié)關(guān)鍵點(diǎn)和對(duì)稱中心，形成“指針”，旋轉(zhuǎn)后確定各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)因?yàn)樾D(zhuǎn)前后圖形中四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)到對(duì)稱中心的距離都不變，可以分別連結(jié)ABCD四點(diǎn)和對(duì)稱中心，再分別繞O點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到的點(diǎn)就是ABCD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A’B’C’D’。注意，需要選擇其中一個(gè)“指針”形成的夾角，標(biāo)上角度，以表示整個(gè)圖形的旋轉(zhuǎn)角度。（3）連結(jié)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)照原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)，將對(duì)稱圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別連結(jié)，形成對(duì)稱圖形四邊形A’B’C’D’。旋轉(zhuǎn)“元件“與旋轉(zhuǎn)角度利用旋轉(zhuǎn)可以作出許多美麗的圖形。由基本圖形“元件”通過旋轉(zhuǎn)形成中心對(duì)稱圖形時(shí)，要注意旋轉(zhuǎn)角度的確定（轉(zhuǎn)的角度＝360°÷單元件個(gè)數(shù)）和旋轉(zhuǎn)“元件”的多樣性。如紫荊花，有5個(gè)花瓣，旋轉(zhuǎn)角度是360°÷5＝72°，既可以看成是由一個(gè)花瓣旋轉(zhuǎn)而成的，也可以看成是、、甚至是旋轉(zhuǎn)而成的。旋轉(zhuǎn)角度和次數(shù)可以是72°轉(zhuǎn)5次，也可以是144°、216°、288°甚至是360°轉(zhuǎn)4、3、2次，等等。再如，既可以看成是由旋轉(zhuǎn)360°÷8＝45°或135°、225°、315°等，也可以看成是繞著圖形中心旋轉(zhuǎn)45°或其倍數(shù)若干次形成的。元件不止一種。軸對(duì)稱與剪紙剪紙技巧中常運(yùn)用對(duì)折的手法剪出軸對(duì)稱圖形，我們也可以根據(jù)折痕（對(duì)稱軸）的先后次序推導(dǎo)出裁剪前圖形與展開后圖形的聯(lián)系。例題，課本P9第5題：答案就是第一行中間的那個(gè)。其它的怎樣剪成？自己嘗試吧！設(shè)計(jì)鑲嵌圖案參考課本P11，可以利用可平鋪圖形進(jìn)行改造，設(shè)計(jì)出其它也可以平鋪的不規(guī)則圖形。原理：拆東補(bǔ)西，在有限范圍內(nèi)肯定不能鋪滿，但在數(shù)學(xué)理想的無(wú)限狀態(tài)下可以“平鋪”。第二單元因數(shù)與倍數(shù)因數(shù)與倍數(shù)“因數(shù)”與“倍數(shù)”是一對(duì)相互的概念，是在整數(shù)乘法或除法算式中兩個(gè)整數(shù)之間的關(guān)系。注意：為了方便，在研究因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候，我們所說(shuō)的數(shù)指的是整數(shù)（一般不包括0）。例如：2×6＝12，我們就可以說(shuō)，12是2和6的倍數(shù)，2和6是12的因數(shù)。24÷3＝8，我們就可以說(shuō)，24是3和8的倍數(shù)，3和8是24的因數(shù)。概念辨析及要點(diǎn)：倍數(shù)與“倍”倍數(shù)是與因數(shù)相對(duì)應(yīng)的概念，是在整數(shù)乘法算式中才有的概念，而“倍”是乘法算式當(dāng)中的概念，只要有乘法算式，積就是其中一個(gè)因數(shù)的若干“倍”（另一個(gè)因數(shù)一般要大于等于1）。例如：3.2×5＝16，我們可以說(shuō)16是3.2的5倍，或者說(shuō)16是5的3.2倍，但不能說(shuō)16是3.2或5的倍數(shù)！0是任何數(shù)的倍數(shù)嗎？因?yàn)?乘以任何數(shù)（包括0本身）都得0，那么是否可以說(shuō)0是任何整數(shù)的倍數(shù)呢？上面已經(jīng)說(shuō)到了，為了方便研究，簡(jiǎn)化問題，在研究因數(shù)和倍數(shù)問題的時(shí)候，一般不包括0，也就是說(shuō)，這時(shí)候0已經(jīng)被排除在外，不考慮了。類似“除數(shù)不能是0”的情況。一個(gè)數(shù)的因數(shù)一個(gè)數(shù)的因數(shù)中，最小的是1，最大的是它本身，因?yàn)?乘以任何數(shù)本身等于它本身。因此，一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。一個(gè)數(shù)的因數(shù)的求法：以18為例乘法算式法：將一個(gè)數(shù)寫成兩個(gè)整數(shù)相乘的形式。18＝1×18,18＝2×9,18＝3×6，因此18的因數(shù)有1,2,3,6,9,18這6個(gè)。分解質(zhì)因數(shù)法（詳見后面“分解質(zhì)因數(shù)”說(shuō)明）：18＝2×3×3因此，18＝2×（3×3）＝2×918＝3×（2×3）＝3×6將18的所有質(zhì)因數(shù)及它們的積的形式從小到大排列，就能求出所有的因數(shù)了。當(dāng)然，1和18本身也是18的因數(shù)，不要忘記掉。方法比較：乘法算式法比較容易理解，分解因數(shù)法掌握后求因數(shù)比較全面，各有千秋，關(guān)鍵都是要對(duì)數(shù)字比較了解，培養(yǎng)數(shù)感。這需要一定的練習(xí)。一個(gè)數(shù)的因數(shù)的表示方法：集合圈（韋恩圖）將所有因數(shù)寫在一個(gè)橢圓形或圓形的集合圈內(nèi)。集合用大括號(hào)的形式列出所有因數(shù)。如18的因數(shù)＝{1,2,3,6,9,18}簡(jiǎn)記（常用于草稿）用一條橫線將相乘積是18的兩個(gè)數(shù)分開，簡(jiǎn)單記錄。如注意：如36、49、81等平方數(shù)，由于它們可以由兩個(gè)相同的數(shù)相乘得來(lái)，因此它們的因數(shù)不是一對(duì)一對(duì)出現(xiàn)的（因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)）。平方數(shù)：1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400，…一個(gè)數(shù)的倍數(shù)一個(gè)數(shù)的倍數(shù)中，最小的是它本身（即它的1倍），沒有最大的倍數(shù)。因此，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的求法：以12為例將12分別乘以除0以外的自然數(shù)1,2,3，…可以得到12的倍數(shù)12×1＝12,12×2＝24,12×3＝36,…，因此12的倍數(shù)有12,24,36,48，…一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的表示方法：集合圈（韋恩圖）將所有因數(shù)寫在一個(gè)橢圓形或圓形的集合圈內(nèi)。集合用大括號(hào)的形式列出所有倍數(shù)。如12的倍數(shù)＝{12,24,36，…}注意：在一個(gè)數(shù)的所有倍數(shù)中，最小的是它本身，沒有最大的倍數(shù)，因此表示一個(gè)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，一般都要用小省略號(hào)“…”表示個(gè)數(shù)是無(wú)限的（除非說(shuō)明了所要求的倍數(shù)的范圍）。附：“倍數(shù)的范圍”因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，所以在求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，常會(huì)要求寫出這個(gè)數(shù)在一定范圍內(nèi)的倍數(shù)即可。如24的倍數(shù)（100以內(nèi)）是24,48,72,96。請(qǐng)比較下列兩題，體會(huì)“以內(nèi)”和“包含”的用法50以內(nèi)10的倍數(shù)有：10、20、30、4050以內(nèi)（含50）10的倍數(shù)有：10、20、30、40、50因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系（1）一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身（2）一個(gè)數(shù)，是它所有因數(shù)的倍數(shù)（3）一個(gè)數(shù)，是它所有倍數(shù)的因數(shù)（4）一個(gè)數(shù)，幾個(gè)它的倍數(shù)的和仍然是它的倍數(shù)（5）“含有因數(shù)3”也可以說(shuō)成“是3的倍數(shù)”，還可以說(shuō)成是“可以被3整除”（6）一個(gè)數(shù)，是兩個(gè)數(shù)乘積的倍數(shù)，那么它分別是這兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)（如84是2和3的倍數(shù)，那么84也會(huì)是2×3＝6的倍數(shù)，再如15的倍數(shù)肯定也是3和5的倍數(shù)）（7）1是任何非0整數(shù)的因數(shù)，因數(shù)只含有1的數(shù)就是1本身完全數(shù)與相親數(shù)完全數(shù)：如果一個(gè)非0整數(shù)除去它本身之外的所有因數(shù)之和正好是它本身，那么這樣的數(shù)叫做完全數(shù)。如6的因數(shù)有1,2,3,6,除去6以外的因數(shù)之和1＋2＋3＝6。再如28的因數(shù)有1,2,4,7,14,28，除去28以外的因數(shù)之和1＋2＋4＋7＋14＝28。此外還有496、8128等相親數(shù)：如果有兩個(gè)非0整數(shù)，其中一個(gè)數(shù)除去它本身之外的所有因數(shù)之和正好是另一個(gè)數(shù)，另一個(gè)數(shù)除去它本身之外的所有因數(shù)之和也正好是第一個(gè)數(shù)，那么這樣的兩個(gè)數(shù)叫做相親數(shù)。如220和284是最小的一對(duì)相親數(shù)。220的因數(shù)有1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,220而1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284，而284的因數(shù)有1,2,4,71，142，284，而1＋2＋4＋71＋142＝220。數(shù)字倍數(shù)的特征（快速判斷方法）（1）2的倍數(shù)個(gè)位上是0,2,4,6,8的數(shù)都是2的倍數(shù)。如24,308,790都是2的倍數(shù)。自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)（0也是偶數(shù)），不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做數(shù)。0是自然數(shù)中最小的偶數(shù)，2是非0自然數(shù)中最小的偶數(shù)，1是自然書中最小的奇數(shù)。因?yàn)樽匀粩?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，因此沒有最大的偶數(shù)或奇數(shù)。（2）5的倍數(shù)個(gè)位上是0或5的數(shù)，是5的倍數(shù)。如25，980,7065都是5的倍數(shù)。既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，這樣的數(shù)個(gè)位上只可能是0。（3）3的倍數(shù)一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。如12（1＋2＝3）,741（7＋4＋1＝12,1＋2＝3）,3078（3＋7＋8＝18,1＋8＝9）都是3的倍數(shù)?？焖倥袛喾椒ǎ阂?yàn)?、6、9本身都是3的倍數(shù)，而任何數(shù)加上0還是本身，因此只要計(jì)算其他數(shù)字的和就可以了，此外2和7、5和4、1和8搭配都是9，也可以不用算。要判斷算出的和是否是3的倍數(shù)，可以繼續(xù)用這種方法。如判斷94835027是不是3的倍數(shù)，9、3、0不看，4、5、2、7不看，得8，不是3的倍數(shù)。既是2和5的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，就一定是2×3×5＝30的倍數(shù)，即個(gè)位要是0而且能被3整除的數(shù)。（4）9的倍數(shù)一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是9的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是9的倍數(shù)。如27（2＋7＝9），126（1＋2＋6＝9），8073（8＋0＋7＋3＝18,1＋8＝9）都是9的倍數(shù)。原理證明：設(shè)一個(gè)兩位數(shù)十位和個(gè)位上的數(shù)字是a和b，那么它的數(shù)值大小是a×10＋b，而a×10＋b＝9a＋a＋b，9a一定是9的倍數(shù)，只要a＋b是9的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是9的倍數(shù)了，因此兩位數(shù)十位和個(gè)位數(shù)字之和是9的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是9的倍數(shù)。以此類推，請(qǐng)自己證明三位數(shù)、四位數(shù)等情況?？焖倥袛喾椒ǎ阂?yàn)?本身是9的倍數(shù)，而任何數(shù)加上0還是本身，因此只要計(jì)算其他數(shù)字的和就可以了，此外3和6、2和7、5和4、1和8搭配都是9，也可以不用算。要判斷算出的和是否是9的倍數(shù)，可以繼續(xù)用這種方法。如判斷3518264702889是不是9的倍數(shù)，9、0不看，4和5、2和7、3和6、1和8兩兩不看，剩下2、8、8加起來(lái)是18，18中1＋8＝9，是9的倍數(shù)，所以剛才那個(gè)數(shù)就是9的倍數(shù)。（5）4的倍數(shù)后兩位能被4整除的數(shù)，是4的倍數(shù)。如224，732，84908等。快速判斷方法：100÷4＝25，因此百位及更高位的數(shù)字都不用看，而20÷4＝5，因此被20整除的部分也不用看?？梢韵瓤春髢晌粩?shù)字，然后除以20，剩下的余數(shù)再看能否被4整除。如判斷289042762是不是4的倍數(shù)，直接看后兩位62，再除以20，余2，不是4的倍數(shù)。（6）6的倍數(shù)同時(shí)是2和3的倍數(shù)的數(shù)，是6的倍數(shù)。如324，6744,75048等快速判斷方法：先看個(gè)位是否是偶數(shù)，再看是否是3的倍數(shù)。（7）8的倍數(shù)百位上是奇數(shù)，后兩位加4（或百位上是偶數(shù)，后兩位）能被8整除的數(shù)，是8的倍數(shù)。如648,952,3336等快速判斷方法：1000÷8＝125，因此千位及更高位的數(shù)字都不用看，而200÷8＝25，因此被200整除的部分也不用看，又有40÷8＝5，因此可以先看后三位數(shù)字，然后除以200，剩下的余數(shù)再除以40，再看余數(shù)能否被8整除。如判斷234242784是不是8的倍數(shù)，直接看后三位784，再除以200，余184，再除以40，余24，是8的倍數(shù)。也可以先除以2，然后再看得數(shù)是否是4的倍數(shù)。（8）7的倍數(shù)7的倍數(shù)不好找，不用硬記，可以除以7看能否整除。（9）其它數(shù)的倍數(shù)常考的一般是2、3、5、6、9、10、15等的倍數(shù)（同時(shí)是2和5的倍數(shù)的數(shù)就是10的倍數(shù)，同時(shí)是3和5的倍數(shù)的數(shù)就是15的倍數(shù)），其它的如11、13、17的倍數(shù)都不用硬記，可以用與7類似的方法，分別除以這些數(shù)看能否整除就可以了。平時(shí)在做計(jì)算題的時(shí)候留個(gè)心眼，看看數(shù)字相乘的得數(shù)，把一些好玩有趣的記一下（如37×9＝333等），有助于培養(yǎng)對(duì)數(shù)字的感覺，對(duì)提高計(jì)算能力是有幫助的，有興趣的同學(xué)可以看看我寫的兩位數(shù)乘法口算方法的文章。偶數(shù)與奇數(shù)自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)（0也是偶數(shù)），不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。也就是說(shuō)，非0偶數(shù)都含有因數(shù)2，奇數(shù)都不含有因數(shù)2。因此，偶數(shù)與奇數(shù)有下列性質(zhì)：（1）偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)偶數(shù)＋奇數(shù)＝奇數(shù)奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)偶數(shù)－偶數(shù)＝偶數(shù)偶數(shù)－奇數(shù)＝奇數(shù)奇數(shù)－奇數(shù)＝偶數(shù)口訣：奇偶相加減，同性得偶數(shù)，異性得奇數(shù)。（2）偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)偶數(shù)×奇數(shù)＝偶數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)＝奇數(shù)口訣：奇偶相乘，有偶得偶，全奇得奇。例題：把36個(gè)小球放在13個(gè)盤子里，至少有一個(gè)盤子里放的是偶數(shù)，對(duì)嗎？解答：利用“反證法”，假設(shè)13個(gè)盤子里放的都是奇數(shù)個(gè)小球，那么奇數(shù)加奇數(shù)得偶數(shù)，12個(gè)盤子兩兩相加得偶數(shù)，最后一個(gè)盤子里放的是奇數(shù)，相加肯定也是奇數(shù)，不可能是36。因此“把36個(gè)小球放在13個(gè)盤子里，至少有一個(gè)盤子里放的是偶數(shù)”這句話是對(duì)的！質(zhì)數(shù)與合數(shù)在非0自然數(shù)中，按照因數(shù)個(gè)數(shù)的多少，分為1、質(zhì)數(shù)和合數(shù)。（以下所說(shuō)的數(shù)，都是非0自然數(shù)，因?yàn)檎劶啊耙驍?shù)”或“倍數(shù)”時(shí)都必須是非0整數(shù)）一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）。如2,3,5,7都是質(zhì)數(shù)。一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。如4,6,15,49都是合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。質(zhì)數(shù)與合數(shù)相關(guān)知識(shí)（1）100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。這些數(shù)必須記住。（2）最小的質(zhì)數(shù)是2，既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)（偶質(zhì)數(shù)）的也只有2。（3）最小的合數(shù)是4，既是奇數(shù)又是合數(shù)（奇合數(shù)）的最小的是9，20以內(nèi)的還有15。（4）連續(xù)的兩個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)的只有2和3。（5）20以內(nèi)的數(shù)中，連續(xù)三個(gè)數(shù)是合數(shù)的有8,9,10和14,15,16。（6）20以內(nèi)的數(shù)中，加上2還是質(zhì)數(shù)的質(zhì)數(shù)有3,5,11,17。分解質(zhì)因數(shù)分解質(zhì)因數(shù)就是將一個(gè)合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。如18＝2×3×3，每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，因此叫做“質(zhì)因數(shù)”。常用的表示方法：可以用乘法算式法，也可以用連線分解法，我推薦的是“短除法”。在后面學(xué)習(xí)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)，使用短除法非常簡(jiǎn)單。有空多練習(xí)吧。哥德巴赫猜想德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫最先提出：“所有大于2的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”，這就是“哥德巴赫猜想”，被稱為“數(shù)學(xué)王冠上的明珠”。中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)于1966年證明：“任何充分大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而后者可表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積?！蓖ǔ＿@個(gè)結(jié)果表示為“1+2”。這是目前解決“哥德巴赫猜想”問題的最佳結(jié)果。我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，也可以練習(xí)將一個(gè)大于2的偶數(shù)表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，以提高自己對(duì)質(zhì)數(shù)的熟悉程度。如：12＝5＋7，18＝5＋13＝7＋11，20＝7＋13，24＝5＋19＝7＋17＝11＋13。有些數(shù)還可以表示成三個(gè)質(zhì)數(shù)的和，這時(shí)要注意加數(shù)的奇偶，注意2是唯一的偶質(zhì)數(shù)。如：12＝2＋5＋5＝2＋3＋7，18＝2＋5＋11，23＝3＋7＋13＝5＋5＋13＝5＋7＋11。第三單元長(zhǎng)方體和正方體長(zhǎng)方體、正方體是立體形狀，長(zhǎng)方形、正方形是平面圖形，要區(qū)分開來(lái)。它們都是幾何圖形。生活中有許多物體的形狀可以近似地看成是長(zhǎng)方體或正方體。長(zhǎng)方體定義：長(zhǎng)方體是由6個(gè)長(zhǎng)方形圍成的立體圖形。特殊情況下，可以有2個(gè)相對(duì)的面是正方形。特征：在一個(gè)長(zhǎng)方體中，相對(duì)的面完全相同，相對(duì)的棱長(zhǎng)度相等。長(zhǎng)、寬、高：相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱（的長(zhǎng)度）分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。長(zhǎng)、寬、高各有4條，分別相互平行且相等。分別兩兩垂直。正方體定義：正方體是由6個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形。特征：在一個(gè)正方體中，6個(gè)面完全相同，12條棱長(zhǎng)度相等。正方體與長(zhǎng)方體的聯(lián)系正方體可以看成是長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體。其它異同點(diǎn)見下表：注意：（1）當(dāng)長(zhǎng)方體有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形時(shí)，另外4個(gè)面就一定是完全相同的長(zhǎng)方形。因此，長(zhǎng)方體最多有8條棱可以相等。已知：a＝24cmb＝12cm已知：a＝24cmb＝12cmh＝9cm求：C長(zhǎng)TC長(zhǎng)T＝4（a＋b＋h）＝4×（24＋12＋9）＝180（cm）答：紙巾盒棱長(zhǎng)總和180cm。長(zhǎng)方體與正方體的棱長(zhǎng)總和已知：a＝90mb＝55mh＝20m求：C長(zhǎng)TC長(zhǎng)T＝2a＋2b＋4h＝90×2＋55×2＋20×已知：a＝90mb＝55mh＝20m求：C長(zhǎng)TC長(zhǎng)T＝2a＋2b＋4h＝90×2＋55×2＋20×4＝370（m）答：工人叔叔至少需要370m長(zhǎng)的彩燈線。例，課本P31第1題：紙巾盒長(zhǎng)24cm，寬12cm，高9cm，求棱長(zhǎng)總和。例，課本P32第6題：為迎接“五一”國(guó)際勞動(dòng)節(jié)，工人叔叔要在工人俱樂部的四周裝上彩燈（地面的四邊不裝）。已知工人俱樂部的長(zhǎng)90m，寬55m，高20m，工人叔叔至少需要多長(zhǎng)的彩燈線？已知：a＝10cm求：C正TC正T＝12a＝12已知：a＝10cm求：C正TC正T＝12a＝12×10＝120（cm）答：它的棱長(zhǎng)總和是120cm。正方體有12條相等的棱，因此：正方體棱長(zhǎng)總和＝棱長(zhǎng)×12，用a表示棱長(zhǎng)，則字母表達(dá)式為C正T＝12a。例，課本P31第2題：棱長(zhǎng)為10cm的正方體粉筆盒，棱長(zhǎng)總和是多少？在求長(zhǎng)方體、正方體棱長(zhǎng)總和（以及后面的面積）時(shí)，要注意包含哪幾條棱（哪幾個(gè)面），用相應(yīng)的公式去計(jì)算。長(zhǎng)方體與正方體的表面積長(zhǎng)方體或正方體6個(gè)面的總面積，叫做它的表面積。因?yàn)殚L(zhǎng)方體（或正方體）相對(duì)的面完全相同，因此只要算出3個(gè)面（上或下、前或后、左或右）再擴(kuò)大到2倍就可以了。注意：長(zhǎng)方體每個(gè)面的面積構(gòu)成（請(qǐng)理解后記憶）情況一：假設(shè)長(zhǎng)面對(duì)著我們，則前面（后面）的面積是“長(zhǎng)×高”，左面（右面）的面積是“寬×高”，上面（下面）的面積是“長(zhǎng)×高”。情況二：假設(shè)寬面對(duì)著我們，則前面（后面）的面積是“寬×高”，左面（右面）的面積是“長(zhǎng)×高”，上面（下面）的面積是“長(zhǎng)×高”。因此，上、下面（底面）的面積都是“長(zhǎng)×寬”，側(cè)面四周都和“高”有關(guān)。長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2已知：a＝50cmb＝40cmh＝78cm求：S長(zhǎng)TS長(zhǎng)T＝2（ab＋ah＋bh）已知：a＝50cmb＝40cmh＝78cm求：S長(zhǎng)TS長(zhǎng)T＝2（ab＋ah＋bh）＝2×（50×40＋50×78＋40×78）＝2×（2000＋3900＋3120）＝18040（cm2）答：做郵箱至少需要18040平方厘米的鐵皮。例，課本P36第3題：光華街口裝了一個(gè)新的鐵皮郵箱，長(zhǎng)50cm，寬40cm，高78cm。做這個(gè)郵箱至少需要多少平方厘米的鐵皮？例，課本P34做一做：亮亮家要給一個(gè)長(zhǎng)0.75m，寬0.5m，高1.6m的簡(jiǎn)易衣柜換布罩（沒有底面）。至少需要用布多少平方米？已知：a＝0.75mb＝0.5mh＝1.6m求：S布罩S已知：a＝0.75mb＝0.5mh＝1.6m求：S布罩S布罩＝2（a＋b）h＋ab＝2×（0.75＋0.5）×1.6＋0.75×0.5＝2×1.25×1.6＋0.375＝4.375（m2）答：做布罩至少需要用布4.375平方米。附：不完全表面積公式只有側(cè)面四周，也叫煙囪（或者叫上下通風(fēng)管，還叫商標(biāo)紙）：S側(cè)＝2（a＋b）h沒有下面：S布罩＝2（a＋b）h＋ab沒有上面：S魚缸＝2（a＋b）h＋ab左右通風(fēng)管：S左右通＝2（b＋h）a前后通風(fēng)管：S前后通＝2（a＋h）b已知：a＝3dm求：S已知：a＝3dm求：S魚缸S魚缸＝5a2＝5×（3×3）＝45（m2）答：制作這個(gè)魚缸至少需要玻璃45平方米。正方體的表面積＝（棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)）×6字母表達(dá)式為S正T＝6a2。例，課本P35做一做：一個(gè)玻璃魚缸的形狀是正方體，棱長(zhǎng)3dm。制作這個(gè)魚缸時(shí)至少需要玻璃多少平方分米？（魚缸的上面沒有蓋。）此題當(dāng)中魚缸沒有蓋，只有5個(gè)面。注意：“平方”的運(yùn)算是第三級(jí)運(yùn)算，優(yōu)先于乘除法。但乘法有結(jié)合律，不影響計(jì)算結(jié)果。（長(zhǎng)方體、正方體）組合圖形的表面積由若干正方體、長(zhǎng)方體組合而成的立體圖形的表面積計(jì)算方法：根據(jù)五年級(jí)上冊(cè)第3單元“觀察物體”的原理（相對(duì)面看到的外形相等，面積相等），計(jì)算出3個(gè)面能看到的面積，再擴(kuò)大到2倍。例，叢書P21第3題，算出下列用1立方厘米的小正方體搭成的圖形的表面積。因?yàn)檫@個(gè)圖形是不規(guī)則圖形，要算出它的表面積比較困難，要數(shù)出有幾個(gè)面積是1平方厘米的小正方形?？梢杂谩坝^察物體”的方法：從正面可以看到6個(gè)面，從右面可以看到4個(gè)面，從上面可以看到5個(gè)面，因此總共可以看到15個(gè)面，而從反面、左面、下面三個(gè)相對(duì)的面看到的也分別相同，所以共有15×2＝30個(gè)面，表面積就是30平方厘米。竅門：因?yàn)楸緛?lái)看這個(gè)圖形就能看到3個(gè)面，只要數(shù)出能“看到”的面的個(gè)數(shù)，再擴(kuò)大到2倍即可——根本不用“觀察物體”那么麻煩！例，課本P37第9題：頒獎(jiǎng)臺(tái)如右圖，前后面涂黃色油漆，其它露出來(lái)的面涂紅色油漆，求涂?jī)煞N油漆的面積各是多少？求黃色油漆的面積略，求出3個(gè)長(zhǎng)方形的面積加起來(lái)，得數(shù)再擴(kuò)大到2倍（前后都有）即可。而計(jì)算紅色油漆的一般方法是一面面地算出面積，再進(jìn)行加和，比較麻煩?？梢赃\(yùn)用“觀察物體”的方法：已知：a＝120cmb＝40cm已知：a＝120cmb＝40cmh＝65cm求：S上左右S上左右＝ab＋2bh＝120×40＋2×40×65＝10000（cm2）答：涂紅色油漆的面積是10000平方厘米。規(guī)律：只要從某一方向看形狀不變，那么從那一方向上所看到的表面積也不變。長(zhǎng)方體和正方體的體積（一）體積物體所占空間的大小叫做物體的體積。（二）體積單位計(jì)量體積要用體積單位，常用的體積單位有立方厘米，立方分米和立方米，可以分別寫成cm3，dm3和m3。棱長(zhǎng)是1cm的正方體，體積是1cm3。一個(gè)手指尖的體積大約是1cm3。棱長(zhǎng)是1dm的正方體，體積是1dm3。一個(gè)粉筆盒的體積大約是1dm3。棱長(zhǎng)是1m的正方體，體積是1m3。1m3的空間大約能容納10個(gè)同學(xué)（是一個(gè)比較大的體積單位）。在工程上，“1m3”的土、沙、石等均簡(jiǎn)稱“1方”。棱長(zhǎng)是1mm的正方體，體積是1mm3。一粒砂子的體積大約是1mm3。附：身邊物體的體積及其單位橡皮的體積約是10cm3，課本的體積約為150cm3，魔方的體積約為1dm3，影碟機(jī)的體積約是4dm3，講臺(tái)桌的體積約為1.5m3，集裝箱的體積約是40m3，教室的體積約為134m3。（三）長(zhǎng)方體和正方體的體積可以用小正方體拼組成長(zhǎng)方體的方法來(lái)求長(zhǎng)方體的體積。如：用棱長(zhǎng)為1cm的小正方體拼成長(zhǎng)4cm，寬3cm，高2cm的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)需要4個(gè)，寬需要3個(gè)，高需要2個(gè)，共24個(gè)，因此推出：長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高V長(zhǎng)T＝abh而正方體可以看成是長(zhǎng)寬高都相等的長(zhǎng)方體，所以：正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)V正T＝a3例，課本P43做一做第一題，計(jì)算長(zhǎng)方體和正方體的體積。已知：a＝5dm求：已知：a＝5dm求：V正TV正T＝a3＝53＝5×5×5＝125（m3）答：正方體的體積是125立方米。已知：a＝8cmb＝3cmh＝4cm求：V長(zhǎng)TV長(zhǎng)T＝abh＝8×3×4＝96（m3）答：長(zhǎng)方體的體積是96立方米。注：一般“＝5×5×5”可以略去不寫。已知：a＝5mS已知：a＝5mS左＝0.06m2求：V長(zhǎng)TV長(zhǎng)T＝S左·a＝0.06×5＝0.3（m3）答：長(zhǎng)方體木料的體積是0.3立方米。長(zhǎng)方體（或正方體）的體積＝底面積×高用字母S表示底面積，公式可以寫成：V＝Sh而長(zhǎng)方體有3個(gè)不同的面，公式可推廣為V長(zhǎng)T＝S底h，V長(zhǎng)T＝S左a，V長(zhǎng)T＝S前b已知：S底＝4dm2已知：S底＝4dm2h＝6dm求：V長(zhǎng)TV長(zhǎng)T＝S底·h＝4×6＝24（dm3）答：這個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的體積是24立方分米。例，有一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，底面為4平方分米的正方形，高為6分米，求它的體積是多少？（四）用小正方體拼大正方體因?yàn)榇笳襟w的棱長(zhǎng)是小正方體的倍數(shù)，而V正T＝a3，體積的倍數(shù)等于棱長(zhǎng)的倍數(shù)的三次方，因此要拼成棱長(zhǎng)是2倍的大正方體就需要小正方體23個(gè)，即8個(gè)。所以，用小正方體拼大正方體時(shí)所需要的小正方體的個(gè)數(shù)分別是：23、33、43…，推薦記住10以內(nèi)（包括10）的數(shù)的立方：1,8,27,64,125,216,343,512,729，1000。例，把棱長(zhǎng)為8cm的正方體分割成棱長(zhǎng)為2cm的小正方體，可以分成幾個(gè)？解答，大正方體棱長(zhǎng)是小正方體的8÷2＝4倍，所以體積是43＝64倍，即可以分成64個(gè)小正方體。也可以直接寫出綜合算式：(EQ\F(8,2))3＝43＝64（五）體積單位間的進(jìn)率從正方體可以推出，1dm3的正方體可以分成10×10×10＝1000個(gè)1cm3的小正方體，以此類推，得出相鄰兩個(gè)體積單位間的進(jìn)率是1000。與長(zhǎng)度單位、面積單位的關(guān)系見下表：?jiǎn)挝活愋蛦挝幻Q相鄰兩個(gè)單位間的進(jìn)率長(zhǎng)度m、dm、cm10面積m2、dm2、cm2102＝100體積m3、dm3、cm3103＝1000圖形切割前后棱長(zhǎng)總和、表面積和體積的增減已知：a＝8m求：S已知：a＝8m求：S增、C增S增＝2a2C增＝8a＝2×（8×8）＝8×8＝128（m2）＝64（m）答：分割后表面積增加了128平方米，棱長(zhǎng)總和增加了64米。想象：“一刀切”長(zhǎng)方體（或正方體）為兩個(gè)長(zhǎng)方體（或正方體），多出了2個(gè)面,多出了4條邊（也就是棱）?？梢愿鶕?jù)切割的次數(shù)來(lái)計(jì)算增加的表面積和棱長(zhǎng)總和。例，把一個(gè)棱長(zhǎng)為8m的正方體分成兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體，問表面積和棱長(zhǎng)總和各增加了多少？例，課本P37第11題，將27個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的小正方體拼成一個(gè)大正方體，表面積減少了多少？已知：a＝1cm求：S增a已知：a＝1cm求：S增a’＝3a＝3（cm）S增＝12a’2＝12×（3×3）＝108（cm2）答：分割后表面積增加了108平方厘米。容積和容積單位（一）基本概念箱子、油桶、倉(cāng)庫(kù)等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。（容器所能容納物體的體積，叫做這個(gè)容器的容積。）計(jì)量容積，一般就用體積單位。計(jì)量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升，也可以寫成L和ml。1L＝1000ml1L＝1dm31ml＝1cm31m3＝1000dm3＝1000L＝1,000,000ml長(zhǎng)方體或正方體容器容積的計(jì)算方法，跟體積的計(jì)算方法相同，但要從容器里面量長(zhǎng)、寬、高。也就是說(shuō)，容積也是一種體積，容積單位也是體積單位，只不過當(dāng)容器容納的物體是液體時(shí)，一般使用液體的體積單位（L和ml）。（二）常見容器容積固體：粉筆盒1dm3，微波爐12dm3，集裝箱40m3液體：口服液10ml，礦泉水600ml，大瓶飲料2.5L，食用油5L（三）用“排水法”求不規(guī)則物體的體積形狀不規(guī)則的物體，可以用它們完全浸入水中時(shí)所排出的水的體積來(lái)計(jì)算它們的體積。V物體＝V排出的水，根據(jù)容器形狀的不同所采用的公式不同。一般考查長(zhǎng)方體容器，公式為物體體積＝排出的水的體積＝容器長(zhǎng)×容器寬×水面升高的高度V增＝abh增＝ab（h’－h(huán)）已知：a＝15cmb＝10cmh＝5cm已知：a＝15cmb＝10cmh＝5cmh’＝7cm求：V4個(gè)雞蛋V4個(gè)雞蛋＝ab（h’－h(huán)）＝15×10×（7－5）＝300（cm3）300÷4＝75（cm3）答：平均每個(gè)雞蛋的體積是75立方厘米。思考過程：先求四個(gè)雞蛋共排出水的體積（運(yùn)用長(zhǎng)方體），再求一個(gè)雞蛋平均排出水的體積，也就是一個(gè)雞蛋的體積。常考題（棱長(zhǎng)、棱長(zhǎng)總和、表面積與體積的轉(zhuǎn)換，等等）類型一：用鐵絲圍（棱長(zhǎng)總和不變）已知：a正已知：a正＝5ma＝6mb＝5m求：hC正＝12a正h＝C÷4－a－b＝12×5＝60÷4－6－5＝60（m）＝4（m）答：圍成的長(zhǎng)方體的高是4米。思考過程：同樣的鐵絲長(zhǎng)度相等，也就是棱長(zhǎng)總和相等，先算出正方體棱長(zhǎng)總和，再根據(jù)公式求長(zhǎng)方體的高的長(zhǎng)度。已知：a正＝9dm已知：a正＝9dma＝4dmb＝3dm求：hV正＝a正3h＝V÷a÷b＝93＝729÷4÷3＝729（dm3）＝60.75（dm）60.75dm＝6.075m答：鍛造成的鋼塊的高是6.075米。把一塊棱長(zhǎng)9dm的正方體鋼坯鍛造成一個(gè)長(zhǎng)為4dm，寬為3dm的長(zhǎng)方體鋼塊，則這個(gè)鋼塊的高是多少米？思考過程：鍛造不改變鋼材體積（不考慮鍛造損耗），所以先算出正方體體積，再根據(jù)公式求長(zhǎng)方體的高度。注意，這題當(dāng)中，問題問的是“多少米”，而給的條件是分米，所以在計(jì)算之后，要進(jìn)行單位轉(zhuǎn)化。已知：a＝10m已知：a＝10mb＝8mh＝30dm＝3m求：S教室S教室＝2（a＋b）h＋ab＝2×（10＋8）×3＋10×8＝108＋80＝188（m2）粉刷面積：188－23＝165（m2）粉刷價(jià)錢：165×4＝660（元）答：粉刷面積是165平方米，一共需要660元。類型三：局部粉刷求價(jià)錢（部分表面積）粉刷一間長(zhǎng)10m，寬8m，高30dm的教室，要求粉刷教室的屋頂和四面墻壁，除去們窗的黑板的面積23平方米，問粉刷的面積是多少平方米？如果每平方米的粉刷成本是4元，一共需要多少錢？思考過程：要先弄清楚粉刷的面積，也就是要明確粉刷表面積的哪幾個(gè)面，最后再計(jì)算價(jià)錢，注意單位不統(tǒng)一時(shí)要先化成同一單位才能計(jì)算。類型四：切割后成為正方體時(shí)的面積增減（增減了幾個(gè)面）一個(gè)長(zhǎng)方體，高減少5dm，正好成為一個(gè)正方體，這時(shí)表面積減少了200dm2，求原來(lái)的長(zhǎng)方體的體積是多少？已知：h變＝5dmS四個(gè)面＝200dm2已知：h變＝5dmS四個(gè)面＝200dm2求：V長(zhǎng)方體S變＝S四個(gè)面÷4＝200÷4＝50（dm2）a＝S變÷h變＝50÷5＝10（dm）h＝a＋h變＝10＋5＝15（dm）V長(zhǎng)T＝abh＝10×10×15＝1500（dm3）答：原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是1500立方分米。類型五：由長(zhǎng)方體的表面積求高一個(gè)游泳池表面積236m2，已知這個(gè)游泳池長(zhǎng)24m，寬5m，那么這個(gè)游泳池有幾分米深？已知：S游泳池＝236m已知：S游泳池＝236m2a＝24mb＝5m求：hS側(cè)＝S游泳池－S底h＝S側(cè)÷2÷（a＋b）＝S游泳池－ab＝116÷2÷（24＋5）＝236－24×5＝2（m）＝116（m2）＝20（dm）答：這個(gè)游泳池深20分米。最后注意單位轉(zhuǎn)換。第四單元分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生在進(jìn)行測(cè)量、分物或計(jì)算時(shí)，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，這時(shí)常用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。比較小數(shù)的概念：“當(dāng)測(cè)量物體時(shí)往往會(huì)得到的不是整數(shù)的數(shù)，就可以用小數(shù)來(lái)表示。”說(shuō)明分?jǐn)?shù)和小數(shù)是相互聯(lián)系的（詳見后面），都是用來(lái)補(bǔ)充整數(shù)的。分?jǐn)?shù)的意義、讀寫法和分?jǐn)?shù)單位一個(gè)物體、一些物體等都可以看做一個(gè)整體（可以用自然數(shù)1來(lái)表示，通常把它叫做單位“1”），把這個(gè)整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。這就是分?jǐn)?shù)的意義。分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線表示“平均分”，再寫分母表示總的分成幾份，最后寫分子表示取其中的幾份。分?jǐn)?shù)的讀法：先讀分母，然后把分?jǐn)?shù)線讀作“分之”，最后讀分子。如，EQ\F(3,10)讀作“十分之三”，EQ\F(2,3)讀作“三分之二”。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)單位。如EQ\F(2,3)的分?jǐn)?shù)單位就是EQ\F(1,3)，EQ\F(3,10)的分?jǐn)?shù)單位就是EQ\F(1,10)。最大的分?jǐn)?shù)單位是EQ\F(1,1)，沒有最小的分?jǐn)?shù)單位。在研究一個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，必須時(shí)刻注意分?jǐn)?shù)的意義，要結(jié)合實(shí)際情境來(lái)說(shuō)分?jǐn)?shù)的意義。而在說(shuō)分?jǐn)?shù)的意義的時(shí)候，特別要注意的是單位“1”，要明確分?jǐn)?shù)表示的單位“1”是哪個(gè)或哪些數(shù)量。例，說(shuō)出下面分?jǐn)?shù)的意義：課本P63第2、3題每個(gè)茶杯是這套茶杯的EQ\F(1,3)。單位“1”是“這套茶杯”，要求的分量是“每個(gè)茶杯”。分?jǐn)?shù)的意義：把這套茶杯平均分成3份，每個(gè)茶杯占其中的1份，是這套茶杯的EQ\F(1,3)。每塊月餅是這盒月餅的EQ\F(1,8)。單位“1”是“這盒月餅”，要求的分量是“每塊月餅”。分?jǐn)?shù)的意義：把這盒月餅平均分成8份，每塊月餅占其中的1份，是這盒月餅的EQ\F(1,8)。每袋粽子是這些粽子的EQ\F(1,4)。單位“1”是“這些粽子”，要求的分量是“每袋粽子”。分?jǐn)?shù)的意義：把這些粽子平均分成4份，每袋粽子占其中的1份，是這些粽子的EQ\F(1,4)。每種顏色的跳棋是這盒跳棋的EQ\F(1,6)。單位“1”是“這盒跳棋”，分量是“每種顏色的跳棋”。分?jǐn)?shù)的意義：把這盒跳棋（的跳棋棋子）平均分成6份，每種顏色的跳棋占其中的1份，是這盒跳棋（的跳棋棋子）的EQ\F(1,6)。課本P64第7題頭部的高度約占身高的EQ\F(1,8)。分?jǐn)?shù)的意義：把身高平均分成8份，頭部的高度占其中的1份，是身高的EQ\F(1,8)。長(zhǎng)江干流約EQ\F(1,5)的水體受到不同程度的污染。分?jǐn)?shù)的意義：把長(zhǎng)江干流（的水體）平均分成5份，受到不同程度污染的水體占其中的3份，是長(zhǎng)江干流（的水體）的EQ\F(1,5)。死海表層的水中含鹽量達(dá)到EQ\F(3,10)。分?jǐn)?shù)的意義：把死海表層的（鹽）水平均分成10份，鹽占其中的3份，是死海表層的（鹽）水的EQ\F(3,10)。課本P68第6題（分量有具體數(shù)量的要在最后說(shuō)明）先找準(zhǔn)單位“1”：“這盒橙子”、“這板電池”分?jǐn)?shù)的意義：把這盒橙子平均分成5份，每袋橙子占其中的1份，是這盒橙子的EQ\F(1,5)，有3個(gè)橙子。分?jǐn)?shù)的意義：把這板電池平均分成4份，每對(duì)電池占其中的1份，是這板電池的EQ\F(1,4)，有2個(gè)電池。分?jǐn)?shù)與除法根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義（將單位“1”平均分成若干份，取其中的一份或幾份），而平均分成幾份就是除以幾，取幾份就是乘以幾，因此發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：被除數(shù)÷除數(shù)＝EQ\F(被除數(shù),除數(shù))或a÷b＝EQ\F(a,b)（b≠0）因?yàn)樵诔ㄖ谐龜?shù)不能為0，因此分?jǐn)?shù)中分母也不能為0。根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可以有以下三方面的應(yīng)用：1、算出一個(gè)分?jǐn)?shù)的具體數(shù)值，將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)如，EQ\F(1,5)＝1÷5＝0.2，EQ\F(3,10)＝3÷10＝0.3，EQ\F(4,9)＝4÷9＝0.，EQ\F(18,6)＝3。2、將小數(shù)轉(zhuǎn)化成特殊的分?jǐn)?shù)，利用其進(jìn)行單位轉(zhuǎn)換例，課本P67第3題9cm＝dm將單位是cm的整數(shù)轉(zhuǎn)化成單位是dm的分?jǐn)?shù)，就要以“1dm”為單位“1”，將1dm平均分成10份（每份就是1cm），9cm占其中的9份，是1dm的EQ\F(9,10)，也就是EQ\F(9,10)dm。因此9cm＝EQ\F(9,10)dm79dm＝m將單位是dm的整數(shù)轉(zhuǎn)化成單位是m的分?jǐn)?shù)，就要以“1m”為單位“1”，將1m平均分成10份（每份就是1dm），79dm占其中的79份，是1m的EQ\F(79,10)，也就是EQ\F(79,10)m。因此79dm＝EQ\F(79,10)m比較以上題目，發(fā)現(xiàn)：將單位較小的整數(shù)數(shù)量，轉(zhuǎn)化成單位較大的分?jǐn)?shù)數(shù)量，分?jǐn)?shù)的分母就是這兩個(gè)單位的進(jìn)率，分?jǐn)?shù)的分子就是原來(lái)那個(gè)整數(shù)。這也可以由口訣“低聚高，除以進(jìn)率”得到（詳見“四年級(jí)知識(shí)點(diǎn)匯總”）——整數(shù)除以進(jìn)率，就是把這個(gè)整數(shù)當(dāng)做分子，把進(jìn)率當(dāng)做分母得到分?jǐn)?shù)。3、求一個(gè)數(shù)量是另一個(gè)數(shù)量的幾分之幾求一個(gè)數(shù)量是另一個(gè)數(shù)量的幾分之幾，就是把第二個(gè)數(shù)量當(dāng)做單位“1”，把它分成若干份，取其中第一個(gè)數(shù)量那幾份，也就是用第一個(gè)數(shù)量除以第二個(gè)數(shù)量。用字母表示：求A是B的幾分之幾，就是用A除以B，就是A÷B＝EQ\F(A,B)例，課本P68第9題求一張課桌的長(zhǎng)度是紡錘樹最粗直徑的幾分之幾，就是用一張課桌的長(zhǎng)度去除以紡錘樹最粗直徑的長(zhǎng)度。1÷5＝EQ\F(1,5)，一張課桌的長(zhǎng)度是紡錘樹最粗直徑的EQ\F(1,5)。注意：這里容易把一張課桌的長(zhǎng)度占紡錘樹最粗直徑的分?jǐn)?shù)EQ\F(1,5)和一張課桌的長(zhǎng)度的具體數(shù)值弄混，這是請(qǐng)參看此分?jǐn)?shù)的意義：將紡錘樹最粗直徑平均分成5份，一張課桌的長(zhǎng)度占其中的1份，是紡錘樹最粗直徑的EQ\F(1,5)，具體數(shù)值為5÷5＝EQ\F(5,5)或1（m）。將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)在后面比較分?jǐn)?shù)和小數(shù)的定義時(shí)說(shuō)到。真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)（一）概念分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。當(dāng)一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母確定時(shí)，真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)也隨之確定，而且總比分母少1。如，以9為分母的真分?jǐn)?shù)有9-1＝8個(gè)，分別是EQ\F(1,9)，EQ\F(2,9)，EQ\F(3,9)，EQ\F(4,9)，EQ\F(5,9)，EQ\F(6,9)，EQ\F(7,9)，EQ\F(8,9)。其中最小的那個(gè)就是這些分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位，即EQ\F(1,9)是這8個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。分?jǐn)?shù)單位都是真分?jǐn)?shù)。當(dāng)分母確定時(shí)，最大的真分?jǐn)?shù)的分子比分母少1，如，以9為分母的真分?jǐn)?shù)最大是EQ\F(8,9)。分子大于或等于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1。當(dāng)一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母確定時(shí)，有最小的假分?jǐn)?shù)，這時(shí)分子等于分母，分?jǐn)?shù)的數(shù)值等于1。如，以12為分母的分?jǐn)?shù)中，假分?jǐn)?shù)最小為EQ\F(12,12)。沒有最大的假分?jǐn)?shù)。也就是說(shuō)，當(dāng)分母確定時(shí)，真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是有限的，假分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。反之，當(dāng)分子確定時(shí)，真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，假分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是有限的（與分子相同）。由一個(gè)整數(shù)和一個(gè)真分?jǐn)?shù)合成的分?jǐn)?shù)叫做帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)都大于1。帶分?jǐn)?shù)的讀法是用“又”字連結(jié)整數(shù)和分?jǐn)?shù)部分，寫法是將整數(shù)與分?jǐn)?shù)部分緊靠。如，1EQ\F(1,5)讀作“一又五分之一”，12EQ\F(312,406)讀作“十二又四百零六分之三百一十二”因?yàn)閹Х謹(jǐn)?shù)都大于1，是假分?jǐn)?shù)（大于或等于1）的一部分，因此帶分?jǐn)?shù)是一部分（不能化成整數(shù)的）假分?jǐn)?shù)的特殊表現(xiàn)形式。真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的關(guān)系如右圖：（二）假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)和整數(shù)的互相轉(zhuǎn)化根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的聯(lián)系，可以將假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)和整數(shù)的互相轉(zhuǎn)化。將假分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)在假分?jǐn)?shù)中，當(dāng)分子是分母的倍數(shù)的時(shí)候，能化成整數(shù)，就是將分子除以分母所得到的商。如：EQ\F(18,9)＝18÷9＝2，EQ\F(13,13)＝13÷13＝1，EQ\F(90,15)＝90÷15＝6在假分?jǐn)?shù)中，當(dāng)分子不是分母的倍數(shù)的時(shí)候，能化成帶分?jǐn)?shù)，將分子除以分母所得的商作為帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分，余數(shù)作為分?jǐn)?shù)部分的分子，分母不變。如：EQ\F(16,9)＝16÷9，因?yàn)?6÷9＝1……7，所以EQ\F(16,9)＝1EQ\F(7,9)EQ\F(20,7)＝20÷7，因?yàn)?0÷7＝2……6，所以EQ\F(20,7)＝2EQ\F(6,7)注意：以上式子千萬(wàn)不能寫成連等式EQ\F(16,9)＝16÷9＝1……7，不能將整數(shù)與分?jǐn)?shù)混淆。聯(lián)系：將假分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)的區(qū)別就在于分子是否是分母的倍數(shù)。如果是帶分?jǐn)?shù)，可以看成是可以整除的部分加上不能整除的部分。如，EQ\F(40,9)＝EQ\F(36,9)＋EQ\F(4,9)＝4＋EQ\F(4,9)＝4EQ\F(4,9)此外，在解題當(dāng)中，為了便于查看和檢查，一般也要將假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)。（考試不要求，而且假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的意義也不相同，請(qǐng)自己理解。）將帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù)將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù)的方法與前面類似，分母不變，將帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分化成假分?jǐn)?shù)，再與分子相加得到新的分子。如，7EQ\F(4,9)＝EQ\F(7×9＋4,9)＝EQ\F(67,9)，9EQ\F(3,5)＝EQ\F(9×5＋3,5)＝EQ\F(48,5)將整數(shù)轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù)，就是讓假分?jǐn)?shù)的分子除以分母的商是這個(gè)整數(shù)，答案有無(wú)數(shù)個(gè)，題目一般會(huì)給定分子或分母。如，2＝EQ\F(10,5)＝EQ\F(24,12)＝EQ\F(154,77)，5＝EQ\F(35,7)＝EQ\F(75,15)＝EQ\F(145,29)又如，把7轉(zhuǎn)化成分子是28的分?jǐn)?shù)7＝EQ\F(28,4)，轉(zhuǎn)化成分母是9的分?jǐn)?shù)7＝EQ\F(63,9)。不規(guī)范的帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)和整數(shù)之間的轉(zhuǎn)化叢書P38第3大題中有一個(gè)小題5＝3帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分是3，分?jǐn)?shù)部分是，而這兩個(gè)部分之和是5，因此這題相當(dāng)于求＝5－3＝2，,6×2＝12，所以要填12。然而3EQ\F(12,6)的分?jǐn)?shù)部分是假分?jǐn)?shù)，不符合帶分?jǐn)?shù)的定義，因此是不規(guī)范的帶分?jǐn)?shù)。平時(shí)我們?cè)趯憥Х謹(jǐn)?shù)時(shí)一定不要這么寫，但如果題目有出到，我們要懂得它的意思并能解答即可。（三）圖形中的真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)在習(xí)題或考試當(dāng)中，常有給定圖形（陰影或空白部分）寫分?jǐn)?shù)或給定分?jǐn)?shù)涂色（陰影）的題目，關(guān)鍵是找到相應(yīng)的單位“1”。例，課本第63頁(yè)第1題單位“1”就是整個(gè)圖形，把整個(gè)圖形平均分成幾份，涂色部分占幾份，就是幾分之幾。答案分別是EQ\F(3,4),EQ\F(5,9),EQ\F(3,5)和EQ\F(2,4)。最后一題也可以看成是平均分成2份，答案也可以是EQ\F(1,2)。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。根據(jù)分?jǐn)?shù)和除法之間的聯(lián)系，也可以把分?jǐn)?shù)看成是用分子除以分母的除法算式，因此分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)也就是“把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變”即商不變性質(zhì)的另一種說(shuō)法。因此我們也可以將分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和商不變規(guī)律結(jié)合起來(lái)記憶。利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們可以將分?jǐn)?shù)化成給定分子或分母的等值分?jǐn)?shù)。例，＝＝，＝＝，＝＝＝＝最大公因數(shù)概念兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做它們的公因數(shù)。因?yàn)槊總€(gè)非0自然數(shù)都含有因數(shù)1，因此任意兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)都有1，它們的最小的公因數(shù)也就是1。兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)中，最大的公因數(shù)，叫做它們的最大公因數(shù)。兩個(gè)數(shù)的所有公因數(shù)也都是它們最大公因數(shù)的因數(shù)。求最大公因數(shù)的方法以求18和24的最大公因數(shù)為例，介紹3種主要的方法。枚舉法將兩個(gè)數(shù)的所有因數(shù)寫出來(lái)，找出相同的因數(shù)，即為公因數(shù)，其中最大的就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。18的因數(shù)有：1,2,3,6,9,1824的因數(shù)有：1,2,3,4,6,8,12,2418和24的公因數(shù)有：1,2,3,618和24的最大公因數(shù)是：6短除法要求出兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，可以先找出這兩個(gè)數(shù)有哪些公因數(shù)，將這兩個(gè)數(shù)同時(shí)除以相同的質(zhì)因數(shù)（是質(zhì)數(shù)的因數(shù)），能除以的質(zhì)因數(shù)的積就是最大公因數(shù)。如圖更相減損法《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)”可以用來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之?！薄俣劝倏啤案鄿p損術(shù)”簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，就是將兩個(gè)數(shù)大數(shù)減去小數(shù)，得到的差再和小數(shù)相減，如此反復(fù)多次，直到差和減數(shù)相等為止。24－18＝6,18－6＝12,12－6＝6，這時(shí)6就是18和24的最大公因數(shù)。更相減損法可以幫助我們檢驗(yàn)短除法等其它方法的結(jié)果。其他示例：36和4848－36＝1236－12＝2448－36＝1236－12＝2424－12＝1236的因數(shù)：1,2,3,4,6,9,12,18,3648的因數(shù)：1,2,3,4,6,8,12,16,24,4836和48的最大公因數(shù)：1298－70＝2870－28＝4298－70＝2870－28＝4242－28＝1428－14＝1498的因數(shù)：1,2,7,14,49,9870的因數(shù)：1,2,5,7,1014,35,7098的因數(shù)：1,2,7,14,49,9870的因數(shù)：1,2,5,7,1014,35,7098和70的最大公因數(shù)：14互質(zhì)數(shù)公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)互質(zhì)數(shù)只有公因數(shù)1，因此它們的最大公因數(shù)也是1。兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積。運(yùn)用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，除到最后剩下的結(jié)果一定是兩個(gè)互質(zhì)數(shù)（否則的話還可以繼續(xù)除以其它不是1的因數(shù)）。公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)的關(guān)系叫做“互質(zhì)”，如5和7是互質(zhì)數(shù)，或者說(shuō)5和7互質(zhì)。兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)的情況有以下幾種：結(jié)論舉例1和其他數(shù)字互質(zhì)1和9、1和26質(zhì)因數(shù)只有2的數(shù)和所有奇數(shù)互質(zhì)16和37、128和253兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)17和37、61和89無(wú)倍數(shù)關(guān)系的合數(shù)和質(zhì)數(shù)互質(zhì)7和22、17和86較大數(shù)是質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)（可以由上一條推理出來(lái)）4和19、18和97兩個(gè)連續(xù)的非0自然數(shù)互質(zhì)6和7、18和19相鄰的兩個(gè)奇數(shù)互質(zhì)3和5、13和15掌握了兩個(gè)數(shù)互質(zhì)的情況，可以幫助我們快速判斷短除法是否結(jié)束。約分（一）約分把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。約分的根據(jù)是“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”：將分子與分母同時(shí)除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），使得分子和分母都變得比較小的同時(shí)分?jǐn)?shù)的大小不變。約分可以先約一些較小的數(shù)，反復(fù)幾次完成，也可以一步到位（即同時(shí)除以分子和分母的最大公因數(shù)）。如EQEQ\F(24,30)可以在約分時(shí)這樣寫：（二）最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)分子和分母只有公因數(shù)1，像這樣的分?jǐn)?shù)叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子和分母互質(zhì)。如右上方圖，EQ\F(24,30)的分子和分母先同時(shí)除以2，得到EQEQ\F(12,15)，再同時(shí)除以3，得到EQ\F(4,5)，這時(shí)分子和分母只有公因數(shù)1（互質(zhì)），因此EQ\F(4,5)是一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。反復(fù)約分的最終結(jié)果是一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。在約分時(shí)，分子和分母同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)，得到的約分結(jié)果就是一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。（三）約分的注意事項(xiàng)1、約分一般要約到最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，除非題目要求約到給定的分子或分母時(shí)。2、要判斷是否約到了最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，要明確分子和分母是否還有共同因數(shù)，因此要使約分更加正確、高效，就必須對(duì)分子和分母（數(shù)字）的因數(shù)以及各個(gè)數(shù)字的倍數(shù)非常了解。常見易錯(cuò)數(shù)字的倍數(shù)：（請(qǐng)參考20×20乘積表，掌握400以內(nèi)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)）7的倍數(shù)：7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98,105,112,119,126,13312的倍數(shù)：12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,156,168,180,192,204,21613的倍數(shù)：13,26,39,52,65,78,91,104,117,130,143,156,169,182,195,208,221,23417的倍數(shù)：17,34,51,68,85,102,119,136,153,170,187,204,22119的倍數(shù)：19,38,57,76,95,114,133,152,171,190,20929的倍數(shù)：29,58,87,116,145,174,203,232,261最小公倍數(shù)概念兩個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做它們的公倍數(shù)。兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)中，最小的公倍數(shù)，叫做它們的最小公倍數(shù)。兩個(gè)數(shù)的所有公倍數(shù)也都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。求最小公倍數(shù)的方法以求18和24的最小公倍數(shù)為例，介紹2種主要的方法。大數(shù)翻倍法將較大的數(shù)乘以2，3,4，…，看看它的哪個(gè)倍數(shù)也是較小數(shù)的倍數(shù)，即是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。24的倍數(shù)有：24,48,72,96,120,144，…其中72、144也是18的倍數(shù)，因此18和24的最小公倍數(shù)就是72。短除法要求出兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，可以先找出這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，將這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)和它們公有的因數(shù)相乘，就得到它們的最小公倍數(shù)。如圖其他示例：36和4848的倍數(shù)：48,96,144,192,240，48的倍數(shù)：48,96,144,192,240，…36和48的最小公倍數(shù)：14498和7098的倍數(shù)：98,196,294,392,490，98的倍數(shù)：98,196,294,392,490，…98和70的最小公倍數(shù)：490（三）求多個(gè)數(shù)（三個(gè)及以上）的最小公倍數(shù)求多個(gè)數(shù)（三個(gè)及以上）的最小公倍數(shù)，如果其中有幾個(gè)數(shù)字有倍數(shù)關(guān)系，那么只要考慮較大的數(shù)字和其它數(shù)字的最小公倍數(shù)即可（因?yàn)檩^大數(shù)字的倍數(shù)這時(shí)肯定也是較小數(shù)字的倍數(shù)），如求10,12,20的最小公倍數(shù)就只要求20和12的最小公倍數(shù)即可，6、8、12的最小公倍數(shù)就是12和8的最小公倍數(shù)，7,20,28的最小公倍數(shù)也只是20和28的最小公倍數(shù)。三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的求法和兩個(gè)數(shù)的類似，只不過只要其中2個(gè)數(shù)有共同質(zhì)因數(shù)，就把它們除以這個(gè)相同的質(zhì)因數(shù)，第3個(gè)數(shù)字照抄，直到3個(gè)得數(shù)兩兩互質(zhì)為止（即把可能重復(fù)的質(zhì)因數(shù)都找出來(lái)為止）。如求12、15、20的最小公倍數(shù)，用短除法如下：其它示例：6、8、9以及16、24、30的最小公倍數(shù)通分（一）通分把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。通分的根據(jù)也是“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”：將分子與分母同時(shí)乘以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），使得分子和分母變成一樣的同時(shí)分?jǐn)?shù)的大小不變。通分一般要將異分母的分?jǐn)?shù)化成以異分母的最小公倍數(shù)為公分母的同分母分?jǐn)?shù)。（二）通分的應(yīng)用異分母分?jǐn)?shù)由于分母不同，分?jǐn)?shù)單位也不同，無(wú)法進(jìn)行直接的比較如右上方圖，EQ\F(24,30)的分子和分母先同時(shí)除以2，得到EQEQ\F(12,15)，再同時(shí)除以3，得到EQ\F(4,5)，這時(shí)分子和分母只有公因數(shù)1（互質(zhì)），因此EQ\F(4,5)是一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。反復(fù)約分的最終結(jié)果是一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。在約分時(shí)，分子和分母同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)，得到的約分結(jié)果就是一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。（三）約分的注意事項(xiàng)1、約分一般要約到最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，除非題目要求約到給定的分子或分母時(shí)。2、要判斷是否約到了最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，要明確分子和分母是否還有共同因數(shù)，因此要使約分更加正確、高效，就必須對(duì)分子和分母（數(shù)字）的因數(shù)以及各個(gè)數(shù)字的倍數(shù)非常了解。常見易錯(cuò)數(shù)字的倍數(shù)：（請(qǐng)參考20×20乘積表，掌握400以內(nèi)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)）7的倍數(shù)：7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98,105,112,119,126,13312的倍數(shù)：12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,156,168,180,192,204,21613的倍數(shù)：13,26,39,52,65,78,91,104,117,130,143,156,169,182,195,208,221,23417的倍數(shù)：17,34,51,68,85,102,119,136,153,170,187,204,22119的倍數(shù)：19,38,57,76,95,114,133,152,171,190,20929的倍數(shù)：29,58,87,116,145,174,203,232,261分?jǐn)?shù)的大小比較真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)真分?jǐn)?shù)都小于1，假分?jǐn)?shù)都大于或等于1，帶分?jǐn)?shù)都大于1，因此假分?jǐn)?shù)或帶分?jǐn)?shù)都大于真分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)的大小比較見后面（先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行比較）。例：EQ\F(4,7)＜1＜EQ\F(5,3)EQ\F(3,8)＜1＜2EQ\F(4,9)兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)兩個(gè)分母相同的分?jǐn)?shù)，說(shuō)明它們平均分成的份數(shù)相同，因此只要比較它們的分子就可以了。即“分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)大”。例：EQ\F(4,7)＜EQ\F(5,7)＜EQ\F(6,7)EQ\F(3,8)＜EQ\F(5,8)＜EQ\F(7,8)兩個(gè)同分子分?jǐn)?shù)兩個(gè)分子相同的分?jǐn)?shù)，說(shuō)明它們?nèi)〉姆輸?shù)相同，因此分得的份數(shù)越多，每份就越小，比較方法是“分子相同，分母大的數(shù)反而小”。例：EQ\F(4,9)＜EQ\F(4,7)＜EQ\F(4,5)EQ\F(7,17)＜EQ\F(7,15)＜EQ\F(7,13)分子、分母均不相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)分子、分母均不相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，可以運(yùn)用“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，將它們都轉(zhuǎn)化成分母或分子（主要是分母）相同的分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行比較。也可參考后面“通分”。例：EQ\F(4,9)＜EQ\F(7,12)（通分成EQ\F(16,36)＜EQ\F(21,36)）EQ\F(7,15)＞EQ\F(14,31)（化成分子相同EQ\F(14,30)＞EQ\F(14,31)）若干個(gè)分?jǐn)?shù)（小數(shù)也可以比較，見后面“小數(shù)與分?jǐn)?shù)互化”）有兩個(gè)以上的分?jǐn)?shù)同時(shí)進(jìn)行比較，也可以將它們都轉(zhuǎn)化成分母相同的分?jǐn)?shù)（如果通分后公分母太大就不要通分了），還可以將分?jǐn)?shù)都化成小數(shù)取合適的近似值進(jìn)行比較。示例見后面。分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：運(yùn)用分?jǐn)?shù)與除法的聯(lián)系，將分?jǐn)?shù)看成分子除以分母，可以算出相應(yīng)的結(jié)果（整數(shù)或小數(shù)）。1、可以化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)：當(dāng)一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母中只含有質(zhì)因數(shù)2和5（不含有其他質(zhì)因數(shù)）那么這樣的分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)。只含有質(zhì)因數(shù)2和5的數(shù)有：2、4、8、16、……，5、25、125、……，10、100、1000、……，20、40、50、……，以這些數(shù)字為分母的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)一定能化成有限小數(shù)。2、常見的需要記憶的分?jǐn)?shù)：EQ\F(1,2)=0.5EQ\F(1,4)=0.25EQ\F(3,4)=0.75EQ\F(1,5)=0.2EQ\F(2,5)=0.4EQ\F(3,5)=0.6EQ\F(4,5)=0.8EQ\F(1,8)=0.125EQ\F(3,8)=0.375EQ\F(5,8)=0.625EQ\F(7,8)=0.875EQ\F(1,20)=0.05EQ\F(1,25)=0.04小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：根據(jù)小數(shù)的意義，將小數(shù)看成若干個(gè)分?jǐn)?shù)單位（如：0.35表示35個(gè)0.01，即35個(gè)百分之一，也就是一百分之三十五，寫成EQ\F(35,100)，再約分成EQ\F(7,20)）。而當(dāng)小數(shù)的整數(shù)部分不是0時(shí)，可以直接將整數(shù)部分當(dāng)做化成分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分。如4.68可以看成整數(shù)部分的4和68個(gè)百分之一，即4.68＝4EQ\F(68,100)＝4EQ\F(17,25)比大小常見題目多個(gè)小數(shù)與分?jǐn)?shù)比較大小例題：按從小到大的順序排列下列各數(shù)，EQ\F(1,2)、0.4、EQ\F(3,8)、EQ\F(4,9)、EQ\F(9,20)分析與解答：觀察題目數(shù)據(jù)，EQ\F(4,9)不能化成有限小數(shù)，而且通分起來(lái)公分母會(huì)很大，因此對(duì)這些分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)并取近似值（保留兩位小數(shù)），EQ\F(1,2)＝0.5、EQ\F(3,8)＝0.375、EQ\F(4,9)≈0.44、EQ\F(9,20)＝0.45，因?yàn)?.375＜0.4＜0.44＜0.45＜0.5，所以EQ\F(3,8)＜0.4＜EQ\F(4,9)＜EQ\F(9,20)＜EQ\F(1,2)。工作效率的比較例題：小王5分鐘打字90個(gè)，小李6分鐘打字100，小陸7分鐘打字120個(gè)個(gè)，問他們誰(shuí)的打字速度最快，誰(shuí)的最慢？分析與解答：“工作效率＝工作量÷工作時(shí)間”，在單位時(shí)間內(nèi)打字字?jǐn)?shù)最多的速度就快（工作效率就高），因此此題其實(shí)是在比較EQ\F(90,5)、EQ\F(100,6)、EQ\F(120,7)三個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，將它們都化成小數(shù)取近似值比較，EQ\F(90,5)＝18、EQ\F(100,6)≈16.67、EQ\F(120,7)≈17.14，因?yàn)?8＞17.14＞16.67，所以EQ\F(90,5)＞EQ\F(120,7)＞EQ\F(100,6)，因此小王最快，小李最慢。第五單元分?jǐn)?shù)的加法和減法（簡(jiǎn)略，具體詳見另文“分?jǐn)?shù)加減法常見題型解析”）分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法的聯(lián)系相同點(diǎn)：三者的含義、簡(jiǎn)算方法、驗(yàn)算方法都相同。例題：EQ\F(3,8)例題：EQ\F(3,8)＋EQ\F(1,8)＝EQ\F(3＋1,8)＝EQ\F(4,8)＝EQ\F(1,2)EQ\F(7,12)＋EQ\F(11,12)＝EQ\F(7＋11,12)＝EQ\F(18,12)＝1EQ\F(6,12)＝1EQ\F(1,2)EQ\F(5,6)＋EQ\F(11,6)＝EQ\F(5＋11,6)＝EQ\F(16,6)＝EQ\F(8,3)＝2EQ\F(2,3)同分母分?jǐn)?shù)加、減法例題：EQ\F(6,7)＋EQ\F(3,5)例題：EQ\F(6,7)＋EQ\F(3,5)＝EQ\F(30,35)＋EQ\F(21,35)＝EQ\F(51,35)＝1EQ\F(16,35)EQ\F(13,9)－EQ\F(5,6)＝EQ\F(26,18)－EQ\F(15,18)＝EQ\F(11,18)EQ\F(5,8)＋EQ\F(7,12)＝EQ\F(15,24)＋EQ\F(14,24)＝EQ\F(29,24)＝1EQ\F(5,24)異分母分?jǐn)?shù)加、減法EQ\F(5,7)－（EQ\F(3,8)－EQ\F(5,7)－（EQ\F(3,8)－EQ\F(2,7)）＝EQ\F(5,7)－EQ\F(3,8)＋EQ\F(2,7)＝（EQ\F(5,7)＋EQ\F(2,7)）－EQ\F(3,8)＝1－EQ\F(3,8)＝EQ\F(5,8)例題：3EQ\F(5,7)－（EQ\F(7,8)＋EQ\F(5,7)）＝3EQ\F(5,7)－EQ\F(7,8)－EQ\F(5,7)＝（3EQ\F(5,7)－EQ\F(5,7)）－EQ\F(7,8)＝3－EQ\F(7,8)＝2EQ\F(1,8)分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的順序與整數(shù)、小數(shù)加減混合運(yùn)算的順序相同，都是先算小括號(hào)里的，然后從左往右依次計(jì)算。（例題略，請(qǐng)參考“分?jǐn)?shù)加減法混合運(yùn)算的簡(jiǎn)便計(jì)算”部分）分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的簡(jiǎn)便計(jì)算例題2x＋EQ\F(5,8)＝3.625解：2x＋EQ\F(5,8)－EQ\F(5,8)＝3.625－EQ\F(5,8)2x＝3例題2x＋EQ\F(5,8)＝3.625解：2x＋EQ\F(5,8)－EQ\F(5,8)＝3.625－EQ\F(5,8)2x＝32x÷2＝3÷2x＝1EQ\F(1,2)（EQ\F(4,5)＋EQ\F(3,4)）－x＝EQ\F(7,10)解：EQ\F(16,20)＋EQ\F(15,20)－x＝EQ\F(14,20)EQ\F(31,20)－x＋x＝EQ\F(14,20)＋xEQ\F(14,20)＋x－EQ\F(14,20)＝EQ\F(31,20)－EQ\F(14,20)x＝EQ\F(17,20)解分?jǐn)?shù)加減法方程與解整數(shù)、小數(shù)方程相同，都要運(yùn)用“等式的性質(zhì)”，在方程兩邊同時(shí)加上或減去相同的數(shù)，最后使未知數(shù)X單獨(dú)出現(xiàn)在方程的左邊。第六單元統(tǒng)計(jì)眾數(shù)概念一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。眾數(shù)能夠反映一組數(shù)據(jù)的集中情況。在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)可能不止一個(gè)，也可能沒有眾數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的聯(lián)系意義相同：三者都是為了描述一組數(shù)據(jù)而產(chǎn)生的統(tǒng)計(jì)量。計(jì)算方法不同：平均數(shù)是將所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)而產(chǎn)生的，因此一般不會(huì)和某一數(shù)據(jù)相等。平均數(shù)肯定存在，而且只有一個(gè)，它會(huì)受到本組數(shù)據(jù)中偏大或偏小數(shù)據(jù)的較大影響。中位數(shù)是將本組數(shù)據(jù)按大小排列后，取最中間一個(gè)數(shù)或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)（設(shè)本組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為X，如果X是奇數(shù)，最中間的那個(gè)數(shù)就是第“（X＋1）÷2”個(gè)，如果X是偶數(shù)，最中間的兩個(gè)數(shù)就是第“X÷2”和第“X÷2＋1”個(gè)數(shù)），因此它