庫(kù)埃特流動(dòng)和泊肅葉流動(dòng)

第16章一些特殊流動(dòng)

N-S方程精確解庫(kù)埃特流動(dòng)和泊肅葉流動(dòng)當(dāng)前第1頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/1616.1引言平行流：流線是直的，且互相平行本章內(nèi)容：N-S方程精確解，包括庫(kù)埃特和泊肅葉流基本概念：表面摩擦(skinfraction)

熱傳導(dǎo)(heattransfer)恢復(fù)因子(recoveryfactor)

雷諾比擬(Renoldsanalogy)當(dāng)前第2頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16庫(kù)埃特流動(dòng)當(dāng)前第3頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/1616.2COUETTEFLOW(庫(kù)埃特流):

GENERRALDISCUSSION

邊界條件Aty=D:u=ue,T=Te。上界流體和與動(dòng)平板間的摩擦剪力e熱傳導(dǎo)qe平行流線（Paralelstreamline）Aty=0:u=0,T=Tw。下界流體和與動(dòng)平板間的摩擦剪力w熱傳導(dǎo)qw2023/6/16nwpu當(dāng)前第4頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)y方向的熱流量qy=-kdT/dy(15.2)流動(dòng)方向從溫度高的壁面流向溫度低的 冷壁：熱量傳輸從流體到壁面熱壁：熱量傳輸從壁面到流體溫度場(chǎng)：

1.平板上下溫度一般不同,產(chǎn)生溫度梯度

2.動(dòng)能由摩擦消耗變成內(nèi)能,內(nèi)能的變化由溫度升高顯示出來(lái)（粘性耗散）2023/6/16nwpu當(dāng)前第5頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)無(wú)窮長(zhǎng)平行流動(dòng)特點(diǎn)任何特性沿x方向不變,(任何量如果變化,就會(huì)變到無(wú)窮大或者無(wú)窮小)

v=w=0u/x=T/x=p/x=0考慮定常流，應(yīng)用到粘性流動(dòng)方程組：2023/6/16nwpu當(dāng)前第6頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)得到：x-momentumequation:/y(u/y)=0(16.1)y-momentumequation:p/y=0(16.2)Energyequation:/y(kT/y)+/y(uu/y)=0(16.3)2023/6/16nwpu當(dāng)前第7頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)方程16.1到16.3是嚴(yán)格的由ns方程得來(lái)(16.2)p/y=0代表垂直方向沒(méi)有梯度,和以前的結(jié)果p/x=0聯(lián)系說(shuō)明整個(gè)流場(chǎng)內(nèi)部沒(méi)有壓力梯度.以前I和II章講的無(wú)粘流都需要壓力梯度來(lái)推動(dòng)流動(dòng),現(xiàn)在討論的粘性流動(dòng)系另外一種可以對(duì)流體施加外力的流動(dòng)庫(kù)埃塔流動(dòng)中運(yùn)動(dòng)平板對(duì)流體產(chǎn)生的剪力維持流體流動(dòng)2023/6/16nwpu當(dāng)前第8頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)16.3不可壓流體庫(kù)埃特流動(dòng)下面先講不可壓流體（可壓縮的不同，在16.4講）庫(kù)埃特流動(dòng)中由于在x方向沒(méi)有變化,只有y方向的變化所以偏微分方程變成常微方程

d/dy(du/dy)=0然而實(shí)際上大多數(shù)粘性流動(dòng)總是表達(dá)為偏微分方程,所以為了教學(xué)目的我們還繼續(xù)采用偏微分符號(hào)./y(u/y)=0(16.1)2023/6/16nwpu當(dāng)前第9頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)動(dòng)量方程

,,都是常數(shù).

為常數(shù)（不可壓）,,都是溫度函數(shù)，T為常數(shù)時(shí),為常數(shù).

d/dy(du/dy)=0

對(duì)為常數(shù)時(shí),上式可以化為:

2u/y2=0.

積分得到u=ay+b

當(dāng)前第10頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16代入邊界條件

Aty=0,u=0;=>b=0.

Aty=D,u=ue;=>a=ue/D.

所以u(píng)=ue(y/D).——x向速度線性分布

剪力e=du/dy.

代入u/y=ue/D.

所以e=(ue/D)——剪應(yīng)力在全場(chǎng)為常值2023/6/16nwpu當(dāng)前第11頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)當(dāng)前第12頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16兩個(gè)重要的趨勢(shì)：由e=(ue/D)可知，Ue增加,剪力增加。板間距增加,剪力減小以上論述限于牛頓流體:符合牛頓內(nèi)摩擦定律的流體稱牛頓流體。大部分航空氣動(dòng)問(wèn)題屬于牛頓流體。非牛頓流體,血液,有機(jī)化合物….。

2023/6/16nwpu當(dāng)前第13頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)能量方程傅立葉熱傳導(dǎo)定律，qy=-kdT/dy(15.2)/y(kT/y)+/y(uu/y)=0(16.3)T變化不大時(shí),,,變化不大,都看成是常數(shù)即使很小的溫度變化，也會(huì)引起明顯的熱通量為簡(jiǎn)化研究，認(rèn)為溫度T沿y方向變化，但忽略,,隨溫度的很小變化,認(rèn)為其為常數(shù)2023/6/16nwpu當(dāng)前第14頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)Aty=0:T=Tw。AtY=D:T=Te(k/)2T/y2+/y(uu/y)=0。應(yīng)用焓h=CpT，Cp定壓比熱，常數(shù)壓力時(shí)Cpk/(Cp)2h/y2+/y(uu/y)=0代入普朗特?cái)?shù)的定義Pr=Cp./k得:1/Pr2h/y2+/y(uu/y)=02h/y2+Pr/2/y(u2/y)=0注意：上述公式反映了普朗特?cái)?shù)Pr的含義當(dāng)前第15頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16對(duì)于庫(kù)艾特流能量方程

積分得到h+Pr/2u2=ay+b。代入邊條y=0，T=Tw。y=D，T=Te得到b=hwa=[he-hw+(Pr/2)ue2]/D2023/6/16nwpu當(dāng)前第16頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)將a,b代入h+Pr/2u2=ay+b得代入u的結(jié)果，u=ue(y/D)2023/6/16nwpu當(dāng)前第17頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)熱流量qy=-kT/y=-k/cph/y因h=hw+[he-hw+(Pr/2)ue2]y/D-(Pr/2)ue2(y/D)2微分得h/y=[he-hw+(Pr/2)ue2]/D-Prue2y/D2qy=-μ[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D+μue2y/D2當(dāng)前第18頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16因μue2y/D2=τuey/D=τu，故qy=-μ[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D+τu

式中τu即為粘性耗散若忽略τu（ue很小時(shí)τu很?。鲜綖?/p>

qy=-μ(he-hw)/(PrD)壁面時(shí)僅考慮熱流量的絕對(duì)值

qw=-k/cp|h/y|w下壁面y=0

qw=μ|[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D|上壁面y=D

h/y=[he-hw+(Pr/2)ue2]/D-Prue2y/D=[he-hw-(Pr/2)ue2]/Dqw=μ|[(he-hw)/Pr-1/2ue2]/D|當(dāng)前第19頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16分三種情況討論熱流量、焓、溫度

(1)忽略粘性耗散qy=-μ(he-hw)/(PrD)h=hw+[he-hw]y/DT=Tw+[Te-Tw]y/D下壁面y=0qw=μ|[(he-hw)/Pr]/D|上壁面y=Dqw=μ|[(he-hw)/Pr]/D|或qw=k

|(Te-Tw)/D|當(dāng)前第20頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16忽略粘性耗散溫度型——沿Y軸線性分布當(dāng)前第21頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16（2）等壁面溫度條件Te=Tw,he=hwh=hw+Pr/2ue2(y/D)-(Pr/2)ue2(y/D)2T=Tw+Pr/(2cp)ue2[(y/D)-(y/D)2]Y=D/2,Tmax=Tw+[Pr/(8cp)]ue2前面已知qy=-μ[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D+μue2y/D2下壁面y=0qw=-μ/2ue2/D上壁面y=D

qw=μ/2ue2/D變形后qw=μ/2ue2/D=τ（ue/2)結(jié)論當(dāng)前第22頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16等壁面溫度的溫度型

熱量傳輸由粘性耗散產(chǎn)生當(dāng)前第23頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16（3）絕熱壁

（以下壁為例）qw=μ|[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D|下壁面t=0,qw=μ/2ue2/Dt>0,qw<μ/2ue2/D絕熱壁qw=0(h/y)w=0.(T/y)w=0

he-haw+(Pr/2)ue2=0

絕熱壁焓haw=he+(Pr/2)ue2

絕熱壁溫度Taw=Te+(Pr/(2cp))ue2當(dāng)前第24頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16熱流密度變化

下璧溫度變化

最后達(dá)到平衡態(tài)此時(shí)he-haw+(Pr/2)ue2=0絕熱壁時(shí)hw=haw——絕熱壁焓因此流體焓h=haw+[he-haw+(Pr/2)ue2]y/D-(Pr/2)ue2(y/D)2=haw-(Pr/2)ue2(y/D)2流體溫度T=Taw-(Pr/2cp)ue2(y/D)2y=0,(T/y)w=0當(dāng)前第25頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16下璧絕熱壁的溫度型當(dāng)前第26頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16恢復(fù)因子recoveryFactor總焓h0=he+(1/2)ue2絕熱壁面焓haw=he+(Pr/2)ue2絕熱壁面溫度Taw=Te+[Pr/(2cp)]ue2通用化haw=he+r

ue2/2Taw=Te+r

ue2/(2cp)r稱為恢復(fù)因子r=(haw-he)/(h0-he)=(Taw-Te)/(T0-Te)當(dāng)前第27頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16雷諾類推reynoldsanalogy表面摩擦系數(shù)Cf=τw/(1/2ρeue2)=μ(ue/D)/(1/2ρeue2)=2μ/(ρeueD)=2/Re傳熱系數(shù)cH=qw/(ρeue(haw-he))

qw=μ[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D=μ/Pr

[(he-hw)+1/2Prue2]/D又haw=he+(Pr/2)ue2=μ/Pr

[hae-hw]/D

cH={μ/Pr

[haw-hw]/D}/(ρeue(haw-he))=1/(PrRe)故cH/Cf=Pr-1/2雷諾類推=傳熱系數(shù)/表面摩擦系數(shù)對(duì)不可壓流，僅為Pr的函數(shù)當(dāng)前第28頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/1616.4可壓庫(kù)埃特流動(dòng)定義速度變化很大，溫度變化必須考慮，T=T(y)μ,k是溫度函數(shù)，故為y的函數(shù)壓力像不可壓庫(kù)埃特流一樣全場(chǎng)為常數(shù)ρ=p/(RT),故ρ=ρ（T）當(dāng)前第29頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16流動(dòng)控制方程動(dòng)量方程?（μ?u/?y）/?y=?τ/?y=0能量方程

?（k?T/?y）/?y+?（μu?u/?y）/?y=0改寫(xiě)為（應(yīng)用了動(dòng)量方程）?（k?T/?y）/?y+τ

?u/?y=0

非線性常微分方程，無(wú)解析解，僅能求數(shù)值解當(dāng)前第30頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16按常微分方程的記法并利用μ=μ（T）dμ/dy=(dμ/dT)(dT/dy)d(kdT/dy）/dy+τ(du/dT)(dT/dy)=0邊界條件y=0,T=Tw;y=D,T=Te兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題整理后方程組為?（μ?u/?y）/?y=?τ/?y=0d(kdT/dy）/dy+τ(du/dT)(dT/dy)=0τ=μ（ue/D）邊界條件y=0,T=Tw;y=D,T=Te當(dāng)前第31頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16數(shù)值解法——打靶法假設(shè)τ,如τ=μ（ue/D）、u(y)——不可壓解為初值邊界條件y=0,T=Tw;y=D,T=Te變?yōu)檫吔鐥l件y=0,T=Tw;y=0,(dT/dy)w已知通常為不可壓流解求解d(kdT/dy）/dy+τ(du/dT)(dT/dy)=0直到y(tǒng)=D,檢查T(mén)=Te?,否則重假設(shè)(dT/dy)w，回到2步計(jì)算，重復(fù)直到T=Te得到了T=T(y)當(dāng)前第32頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16T=T(y)_——〉μ=μ(y)du/dy=τ/μ，利用1步的τ和邊界條件y=0,u=0求解上式直到y(tǒng)=D,檢查u=ue？，否則，另假設(shè)τ進(jìn)行5步，反復(fù)直到u=ue用6步得到的τ，重新進(jìn)行2-7,得到最終收斂的τ（大循環(huán)）當(dāng)前第33頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16時(shí)間相關(guān)有限差分法二維非定常流N-S方程當(dāng)前第34頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16能量方程當(dāng)前第35頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16MacCormack法網(wǎng)格劃分流入邊界條件，x=0,用不可壓流的解給u,v,p,T初始條件，t=0,u,v,p,T.用不可壓流解或均勻值當(dāng)前第36頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16預(yù)測(cè)-校正法，以x軸動(dòng)量方程為例

預(yù)測(cè)步當(dāng)前第37頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16校正步

用向后查分當(dāng)前第38頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16重復(fù)預(yù)測(cè)-校正在下一時(shí)間步，得到結(jié)果當(dāng)前第39頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16上述格式為顯示有限差分法，存在穩(wěn)定性限制格式的穩(wěn)定性CFL數(shù)，穩(wěn)定性條件Δtx=Δx/(u+a),Δty=Δy/(v+a)全場(chǎng)取最小值當(dāng)前第40頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16可壓庫(kù)埃特流結(jié)果

冷壁，速度和溫度型速度型影響小，溫度型影響大當(dāng)前第41頁(yè)\共有59頁(yè)\編于星期四\23點(diǎn)2023/6/16絕熱壁速度型影響和溫