拉普拉斯算子

拉普拉斯算子二階微分算子01定義橢圓型偏微分方程表示式推廣目錄030204基本信息拉普拉斯算子（LaplaceOperator）是n維歐幾里德空間中的一個(gè)二階微分算子，定義為梯度（▽f）的散度（▽·f）。拉普拉斯算子也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型算子，稱為拉普拉斯-貝爾特拉米算子。定義定義拉普拉斯算子是n維歐幾里德空間中的一個(gè)二階微分算子，定義為梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二階可微的實(shí)函數(shù)，則f的拉普拉斯算子定義為：f的拉普拉斯算子也是笛卡爾坐標(biāo)系xi中的所有非混合二階偏導(dǎo)數(shù)：作為一個(gè)二階微分算子，拉普拉斯算子把C函數(shù)映射到C函數(shù)，對(duì)于k≥2時(shí)成立。算子Δ:C(R)→C(R)，或更一般地，定義了一個(gè)算子Δ:C(Ω)→C(Ω)，對(duì)于任何開(kāi)集Ω時(shí)成立。函數(shù)的拉普拉斯算子也是該函數(shù)的黑塞矩陣的跡：另外，滿足▽·▽f=0的函數(shù)f,稱為調(diào)和函數(shù)。表示式二維空間N維空間三維空間表示式二維空間其中x與y代表x-y平面上的笛卡爾坐標(biāo)：另外極坐標(biāo)的表示法為：三維空間笛卡爾坐標(biāo)系下的表示法圓柱坐標(biāo)系下的表示法球坐標(biāo)系下的表示法N維空間在參數(shù)方程為（其中以及）的N維球坐標(biāo)系中，拉普拉斯算子為：其中是N?1維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子。橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程[ellipticpartialdifferentialequation]橢圓型偏微分方程是偏微分方程的一個(gè)類型，簡(jiǎn)稱橢圓型方程。這類方程主要用來(lái)描述物理中的平衡穩(wěn)定狀態(tài)，如定常狀態(tài)的電磁場(chǎng)、引力場(chǎng)和反應(yīng)擴(kuò)散現(xiàn)象等。橢圓型方程是由方程中主部的系數(shù)來(lái)界定的。對(duì)兩個(gè)自變量的二階線性或半線性方程在不等式成立的區(qū)域內(nèi)，就稱方程是橢圓型的。此時(shí)，可以通過(guò)自變量的非奇異變換將方程化為標(biāo)準(zhǔn)型。對(duì)于高階線性方程，設(shè)階線性偏微分算子為其中，。該偏微分算子的主部是若對(duì)及任意非零向量都有，則稱方程在點(diǎn)是橢圓型的。如果在中每一點(diǎn)都是橢圓型的，就稱該方程在中是線性橢圓型方程。線型橢圓型方程的典型代表是拉普拉斯方程（也叫調(diào)和方程）其中，這個(gè)算子叫拉普拉斯算子（Laplaceoperator），也叫調(diào)和算子?？梢哉f(shuō)，調(diào)和方程是最基本，同時(shí)也是最重要的線性橢圓型方程。推廣推廣拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里德空間，這時(shí)它就有可能是橢圓型算子，雙曲型算子，或超雙曲型算子。在閔可夫斯基空