演示文稿奇異值分解及應(yīng)用

演示文稿奇異值分解及應(yīng)用當(dāng)前第1頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)（優(yōu)選）奇異值分解及應(yīng)用當(dāng)前第2頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)引理1

證明設(shè)是AHA的特征值，x是相應(yīng)的特征向量，則AHAx=x由于AHA為Hermite矩陣，故是實(shí)數(shù)。又同理可證AAH的特征值也是非負(fù)實(shí)數(shù)。當(dāng)前第3頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)證明設(shè)x是方程組AHAx=0的非0解，引理2

則由得當(dāng)前第4頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)對于Hermite矩陣AHA，AAH，設(shè)

AHA，AAH有r個(gè)非0特征值，分別記為即：AHA與AAH非0特征值相同，并且非零特征值的個(gè)數(shù)為當(dāng)前第5頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)奇異值的定義說明：A的正奇異值個(gè)數(shù)等于，并且A與AH有相同的奇異值。當(dāng)前第6頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)定理酉等價(jià)的矩陣有相同的奇異值由當(dāng)前第7頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)奇異值分解定理

設(shè)A是秩為的則存在

階酉矩陣矩陣,與

階酉矩陣使得其中為矩陣A的全部奇異值.①當(dāng)前第8頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)證明設(shè)矩陣的特征值為則存在n階酉矩陣，使得

將

分塊為其中

，

分別是

的前

r列與后

列.②當(dāng)前第9頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)并改寫②式為則有由③的第一式可得③由③的第二式可得令

，則

，即

的r個(gè)列是兩兩正交的單位向量.記當(dāng)前第10頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)因此可將

擴(kuò)充成標(biāo)準(zhǔn)正交基，記增添的向量為

，并構(gòu)造矩陣則是m階正交矩陣,且有于是可得當(dāng)前第11頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)稱上式為矩陣A的奇異值分解.當(dāng)前第12頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)推論在矩陣A的奇異值分解A=UDVH中，U的列向量為AAH的特征向量，V的列向量為AHA的特征向量.當(dāng)前第13頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)1]求矩陣AHA的酉相似對角矩陣及酉相似矩陣V;5]構(gòu)造奇異值分解4]擴(kuò)充U1為酉矩陣U=(U1,U2)3]令2]記奇異值分解方法1—利用矩陣AHA求解當(dāng)前第14頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)例1、求矩陣的奇異值分解可求得的特征值為對應(yīng)的特征向量依次為于是可得：令其中計(jì)算：當(dāng)前第15頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)構(gòu)造：則的奇異值分解為當(dāng)前第16頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)奇異值分解方法2--利用矩陣AAH求解1]先求矩陣AAH的酉相似對角矩陣及酉相似矩陣U;4]擴(kuò)充V1為酉矩陣V=(V1,V2)5]構(gòu)造奇異值分解

2]記3]令當(dāng)前第17頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)例求矩陣A的奇異值分解利用矩陣AAH求解當(dāng)前第18頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)當(dāng)前第19頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)當(dāng)前第20頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)第二節(jié)奇異值分解的性質(zhì)與應(yīng)用1.奇異值分解可以降維A表示

個(gè)

維向量，可以通過奇異值分解表示成

個(gè)維向量.若A的秩

遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于

和

,則通過奇異值分解可以降低A的維數(shù).可以計(jì)算出，當(dāng)時(shí)，可以達(dá)到降維的目的，同時(shí)可以降低計(jì)算機(jī)對存貯器的要求.當(dāng)前第21頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)2.奇異值對矩陣的擾動(dòng)不敏感特征值對矩陣的擾動(dòng)敏感.

在數(shù)學(xué)上可以證明，奇異值的變化不會超過相應(yīng)矩陣的變化，即對任何的相同階數(shù)的實(shí)矩陣A、B的按從大到小排列的奇異值和有當(dāng)前第22頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)3.奇異值的比例不變性,即的奇異值是A的奇異值的倍.

4.奇異值的旋轉(zhuǎn)不變性.即若P是正交陣，PA的奇異值與A的奇異值相同.奇異值的比例和旋轉(zhuǎn)不變性特征在數(shù)字圖象的旋轉(zhuǎn)、鏡像、平移、放大、縮小等幾何變化方面有很好的應(yīng)用.當(dāng)前第23頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)

5.容易得到矩陣A的秩為

的一個(gè)最佳逼近矩陣.

A是矩陣的加權(quán)和，其中權(quán)系數(shù)按遞減排列：當(dāng)前第24頁\共有25頁\編于星期五\4點(diǎn)假設(shè)推薦系統(tǒng)中有用戶集合有6個(gè)用戶，即U={u1,u2,u3,u4,u5,u