演示文稿采樣與量化講解

（優(yōu)選）第三章采樣與量化當(dāng)前第1頁\共有64頁\編于星期五\5點

本課的主要目的是研究利用數(shù)字計算機對通信系統(tǒng)進行精確的仿真所需的基本方法。在大多數(shù)的通信應(yīng)用中，是通過要研究的系統(tǒng)來產(chǎn)生和處理信號波形的。當(dāng)然，計算機只能處理所關(guān)心的表示信號波形的采樣點的數(shù)值。另外，采樣點的值是經(jīng)過量化的。因此，在所有的數(shù)字仿真中，采樣和量化都是基本的操作，其中每一個操作都會給仿真結(jié)果帶來誤差。而完全消除這些誤差是不可能的，故往往需要作折中。我們所能做的頂多是使采樣和量化對仿真精度的影響最小化。

當(dāng)前第2頁\共有64頁\編于星期五\5點3.1采樣數(shù)字信號是通過對模擬信號進行采樣、量化和編碼得到的。模擬信號：是時間和幅度都連續(xù)的信號，記作x（t）。采樣數(shù)據(jù)信號：對模擬信號采樣，采樣結(jié)果是產(chǎn)生幅度連續(xù)而時間離散的信號，數(shù)字信號：通過將時間采樣值編碼到一個有限的數(shù)值集合，可由采樣數(shù)據(jù)信號得到數(shù)字信號。注意：在這些處理的每一步中都會引入誤差。當(dāng)前第3頁\共有64頁\編于星期五\5點低通采樣定理從時間連續(xù)信號X(t)到數(shù)字信號轉(zhuǎn)換第一步就是，對X(t)進行等時間間隔采樣，得到采樣值。參數(shù)Ts是采樣周期，其倒數(shù)就是采樣頻率fs。采樣操作的模型如下圖所示。當(dāng)前第4頁\共有64頁\編于星期五\5點當(dāng)前第5頁\共有64頁\編于星期五\5點采樣操作和采樣函數(shù)采樣信號Xs(t)是用信號X(t)乘以周期脈沖p(t)來產(chǎn)生。也即當(dāng)前第6頁\共有64頁\編于星期五\5點

信號p(t)叫采樣函數(shù)。假設(shè)采樣函數(shù)為窄脈沖，其取值為0或1。當(dāng)p(t)=1時，Xs(t)=X(t)，當(dāng)p(t)=0時Xs(t)=0，p(t)可以是任意的。由于p(t)是周期信號，可以用傅里葉級數(shù)表示為式中的傅里葉系數(shù)由下式給出：當(dāng)前第7頁\共有64頁\編于星期五\5點將式(3.2)帶入式(3.1)中得采樣后的信號為采樣信號的傅里葉變換為交換上式中積分和求和的順序，有當(dāng)前第8頁\共有64頁\編于星期五\5點由于連續(xù)信號X(t)的傅里葉變換為則由式(3.6)可得采樣信號的傅里葉變換當(dāng)前第9頁\共有64頁\編于星期五\5點從上式可以看出，對時間連續(xù)信號的采樣導(dǎo)致了信號頻譜在直流點（f=0）和所有采樣點的諧波（f=nfs）處產(chǎn)生重復(fù)。由于假定采樣是瞬時的，p(t)可定義為：這就是所謂的沖擊函數(shù)采樣，其中采樣的值由沖擊函數(shù)的權(quán)來表示，將式(3.9)代入式(3.3)有當(dāng)前第10頁\共有64頁\編于星期五\5點應(yīng)用函數(shù)的移位特性，有利用式（3.2）顯示的結(jié)果，p(t)的傅里葉變換可寫成當(dāng)前第11頁\共有64頁\編于星期五\5點對脈沖函數(shù)采樣，對所有的n，式都成立。因此應(yīng)用式(3.8)，采樣后信號的頻譜變?yōu)檫@個結(jié)果也可從下面的表達式得到當(dāng)前第12頁\共有64頁\編于星期五\5點采樣在頻域表示下圖為由式(3.14)產(chǎn)生的帶限信號的采樣xs(f)的情況。當(dāng)前第13頁\共有64頁\編于星期五\5點重構(gòu)：通過使用低通濾波器在n＝0附近提取xs(f)的頻譜，可以完成從xs(t)到x(t)信號的重構(gòu)。要求：要完成無差錯的信號恢復(fù)，要求xs(f)在f=±fs附近的頻譜與在f=0處的頻譜沒有重疊。換句話說．式(3—13)中的頻譜必須是分離的。當(dāng)前第14頁\共有64頁\編于星期五\5點定理一如果采樣頻率fs大于2fh，那么帶限信號就可以無差錯地通過其采樣信號恢復(fù)，這里fh表示被采樣信號中出現(xiàn)的最高頻率。注：這個定理通常指低通信號的采樣定理，但它對帶通信號同樣適用。當(dāng)前第15頁\共有64頁\編于星期五\5點混疊：如果fs<2fh,那么以為中心的頻譜會發(fā)生重疊，如下圖所示，重構(gòu)濾波器的輸出跟信號x(t)相比出現(xiàn)失真，這種失真稱作混疊。假定x(t)的頻譜是實數(shù)，下圖所示為混疊的后果。當(dāng)前第16頁\共有64頁\編于星期五\5點欠采樣導(dǎo)致混疊誤差當(dāng)前第17頁\共有64頁\編于星期五\5點3.1.2低通隨機信號采樣上文討論的波形信號x(t)假定為能量有限的確定性信號，這樣假定的結(jié)果是，傅里葉變換存在，并且采樣定理可以基于信號的頻譜。在本章中可以更自然地假設(shè)仿真處理的是隨機過程樣本函數(shù)，因此，選擇合適的采樣頻率不是基于待仿真信號的傅里葉變換，而是基于其功率譜密度。當(dāng)前第18頁\共有64頁\編于星期五\5點對于隨機信號，有此處的采樣函數(shù)P(t)可以寫為式中D是獨立于X(t)的在(0,Ts)上均勻分布的隨機變量，其作用是確保Xs（t）是平穩(wěn)的。當(dāng)前第19頁\共有64頁\編于星期五\5點要得到的功率譜密度，首先確定的自相關(guān)函數(shù)對求出的的自相關(guān)函數(shù)進行傅里葉變換，可得到的功率譜密度如下此處

表示X(t)的功率譜密度。注意上式與式（3-13）具有相似性。如果要避免混疊現(xiàn)象，隨機信號的采樣頻率仍然需要信號最高頻率的2倍以上。當(dāng)前第20頁\共有64頁\編于星期五\5點3.1.3帶通采樣現(xiàn)在我們來考慮帶通信號的采樣問題。使用一組采樣點來表示帶通信好的方法有很多種，下面將考慮兩個最常用的方法。實帶通信號的帶通采樣定理表述如下：當(dāng)前第21頁\共有64頁\編于星期五\5點如果帶通信號的帶寬為B，最高頻率為，那么可以用大小為的采樣頻率來采樣并恢復(fù)信號，其中m是不超過的最大整數(shù)。更高的采樣頻率未必全都能用，除非它高于（該數(shù)值等于低通采樣定理規(guī)定的采樣頻率）。帶通采樣定理當(dāng)前第22頁\共有64頁\編于星期五\5點當(dāng)前第23頁\共有64頁\編于星期五\5點

如圖3-5所示為歸一化采樣頻率fs作為歸一化中心頻率f0/B的函數(shù)曲線，其中f0和fh通過公式fh=

f0+B/2相關(guān)聯(lián)。結(jié)論:

從圖中可以看到，允許的采樣頻率總是處在2B≤fs≤4B的范圍內(nèi)。窄帶信號：然而，對于f0﹥﹥B這種典型的情況，帶通采樣定理規(guī)定的采樣頻率近似等于下界2B。當(dāng)前第24頁\共有64頁\編于星期五\5點同相/正交信號采樣假定帶通信號表示為如下形式函數(shù)A(t)：稱為帶通信號的包絡(luò)。函數(shù)

：為帶通信號的相位偏移。在大多數(shù)的通信應(yīng)用中，A(t)和是低通信號，并且具有和信息承載信號大體相當(dāng)?shù)膸?。帶通信號可以表示為：?dāng)前第25頁\共有64頁\編于星期五\5點或者在這個表達式中

稱為同相分量，而稱為正交分量。由于A(t)和都是低通信號，使得和也是低通信號，因而必須按照低通采樣定理的規(guī)定進行采樣。當(dāng)前第26頁\共有64頁\編于星期五\5點帶通信號的頻域表示如圖3-6(a)所示，圖3-6帶通信號和對應(yīng)的復(fù)包絡(luò)（a）帶通信號（b）復(fù)包絡(luò)當(dāng)前第27頁\共有64頁\編于星期五\5點該信號對應(yīng)的復(fù)包絡(luò)定義如下：由于和都是低通信號也是低通信號，如圖3-6(b)所示。和必須根據(jù)低通采樣定理進行采樣。因為和當(dāng)前第28頁\共有64頁\編于星期五\5點

的最高頻率是B/2，它們中每個的最小采樣頻率都是B。然而，必須采樣兩個低通信號，而不是一個，因此，必須使用超過2B的采樣率。結(jié)論：我們因而看到，對于這f0〉〉B這種典型情況，利用低通采樣定理對復(fù)包絡(luò)信號采樣，和利用帶通采樣定理對實帶通信號采樣所需的采樣頻率是一樣的。當(dāng)前第29頁\共有64頁\編于星期五\5點3.2量化

量化過程和簡單的定點編碼過程如下圖所示。圖中給出了連續(xù)時間波形和許多該波形的采樣點，采樣值以黑點表示，每個采樣點都落在一個量化級內(nèi)。假設(shè)有n個量化級，每個量化級用一個長度為b比特的二進制字表示，于是。量化之后，采樣值用一個與其所處量化級相對應(yīng)的碼字來表示，而波形的數(shù)字處理通過對碼字的處理來完成。例如，下圖中前三個采樣值可以用二進制序列100110111表示。當(dāng)前第30頁\共有64頁\編于星期五\5點量化與編碼當(dāng)前第31頁\共有64頁\編于星期五\5點量化與編碼

從采樣定理知道，以超過奈奎斯特頻率的頻率對連續(xù)時間帶限信號進行采樣，可以無差錯地對它進行重構(gòu)。因此，在這樣的條件下采樣操作是可逆的．但是量化卻是不可逆的。一旦采樣值經(jīng)過量化，僅保持量化級，就會引人隨機誤差。如前，波形在采樣時刻t＝kTs的值表示為x[k]，而對應(yīng)的量化值表示為xq[k]，有當(dāng)前第32頁\共有64頁\編于星期五\5點量化與編碼

其中是量化過程引入的誤差。量化器模型如圖3-8所示。

所關(guān)心的量是信噪比(SNR)，這里的噪聲解釋為量化過程引入的噪聲，量化的信噪比表示為(SNR)q即

圖3-8量化誤差模型當(dāng)前第33頁\共有64頁\編于星期五\5點量化與編碼

式E{}表示統(tǒng)計平均，Nq是由于量化過程引入的噪聲的功率。為了確定(SNR)q必須已知誤差項eq[k]的概率密度函數(shù)。量化誤差的概率密度函數(shù)是計算機所使用的數(shù)字表示格式的函數(shù)。計算機表示數(shù)字的方式有很多，大體上可以分為定點和浮點兩類。當(dāng)前第34頁\共有64頁\編于星期五\5點定點運算盡管在大多數(shù)時候，考慮用通用計算機進行仿真，我們還是暫時來考慮一下由于定點數(shù)表示而引入的量化誤差。首先，通過定點運算，可以闡明量化誤差的疾病如能產(chǎn)生機理。而且，因為定點計算的運行速度比浮點計算快得多，所以已經(jīng)開發(fā)出了使用運算的專用仿真器。此外，定點處理器的功耗通常比較低。當(dāng)前第35頁\共有64頁\編于星期五\5點

還有一個主要原因是，經(jīng)常要仿真使用定點運算設(shè)備。一般來說可以通過定點運算把成本降到最小另外定點運算比浮點運算快得多。當(dāng)前第36頁\共有64頁\編于星期五\5點浮點算法

正如前面提到的，我們關(guān)心的是利用浮點數(shù)表示法在通用計算機上面運行仿真。浮點數(shù)的格式為，這里M和E分別是尾數(shù)和指數(shù)。在要求高精確度時，用64位比特(雙精度)來表示一個碼字，并且將這64位比特分配結(jié)尾數(shù)和指數(shù)。對給定的計算，如何進行分配會產(chǎn)生重要的影響。IEEE標準就規(guī)定了浮點數(shù)用53位比特表示尾數(shù)，用余下的11位比特表示指數(shù)。在要求高精確度浮點數(shù)算數(shù)引入的誤差小，在大多數(shù)應(yīng)用中是可以忽略的。但必須意識到，在一些種類計算中，即使是很小的計算誤差也能積累到使結(jié)果完全無用的程度。當(dāng)前第37頁\共有64頁\編于星期五\5點3.3重構(gòu)與內(nèi)插

現(xiàn)在考慮從采樣序列重構(gòu)時間連續(xù)信號的問題。由于數(shù)字仿真只處理采樣點數(shù)，因而在仿真環(huán)境中從來不需要從一組采樣點來重構(gòu)連續(xù)時間信號。但是重構(gòu)過程中的一些考慮引出了內(nèi)插問題，它是仿真中重要的操作。當(dāng)前第38頁\共有64頁\編于星期五\5點一般信號重構(gòu)技術(shù)是將采樣點通過具有沖擊響應(yīng)h(t)的線性濾波器。因此重構(gòu)波形可由得到，因此重構(gòu)信號：即：當(dāng)前第39頁\共有64頁\編于星期五\5點理想重構(gòu)假設(shè)帶限信號是用超過的采樣頻率進行采樣的，那就可以將采樣點通過帶寬為fs/2的理想低通濾波器來重構(gòu)信號。如果fs〉2fh，在附近的頻譜與在f=0附近的頻譜將不會發(fā)生重疊。如下圖所示。重購方法：當(dāng)前第40頁\共有64頁\編于星期五\5點重構(gòu)濾波器當(dāng)前第41頁\共有64頁\編于星期五\5點重構(gòu)濾波器的沖擊響應(yīng)為：其中包含了縮放因子因此：或者當(dāng)前第42頁\共有64頁\編于星期五\5點代入得：或者注意，假定信號x(t)是帶限的，且采樣頻率足夠高，以確保沒有產(chǎn)生混疊誤差，即xr(t)＝x(t)。因此在理論上，能得到信號的完全重構(gòu)。但是，由于sinc()函數(shù)是無限長的，所以上式在實際中從來不用。當(dāng)前第43頁\共有64頁\編于星期五\5點上采樣與下采樣我們通過下圖說明上采樣與下采樣這些操作。考慮一個直接序列擴頻系統(tǒng)，數(shù)據(jù)源產(chǎn)生一個具有窄帶頻譜帶寬W的數(shù)據(jù)信號。一個寬帶的擴頻碼c(t)與數(shù)據(jù)信號相乘，這里c(t)是符號率遠遠高于數(shù)據(jù)率的二進制序列，擴頻碼率與數(shù)據(jù)率的比值稱為系統(tǒng)的處理增益，乘上擴頻碼字c(t)，會產(chǎn)生具有帶寬B的寬帶信號。信道的非理想性包括，來自系統(tǒng)中其他用戶的干擾、軍事通信系統(tǒng)中的阻塞信號、噪聲以及未考慮進去的其他可能負面影響。當(dāng)前第44頁\共有64頁\編于星期五\5點

把信道輸出波形乘以解擴碼，假設(shè)擴頻碼取值為±1，并假設(shè)擴頻碼和解擴碼完全相同，且被正確同步，則擴頻碼與解擴碼相乘后有，因此擴頻和解擴不會影響所關(guān)心的信道。在乘過解擴碼后，進入低通濾波器輸入端的數(shù)據(jù)信號又變成了窄帶信號，而所有其他信號分量則變成了寬帶信號。低通濾波器提取窄帶數(shù)據(jù)信號。低通濾波器提取窄帶數(shù)據(jù)信號并送入接收器。當(dāng)前第45頁\共有64頁\編于星期五\5點上采樣和下采樣有用的系統(tǒng)當(dāng)前第46頁\共有64頁\編于星期五\5點解決方法：由于上面系統(tǒng)中出現(xiàn)兩個不同帶寬，合適的辦法是采用兩個采樣率，因此在窄帶到寬帶的分屆處必須提高采樣頻率，而在寬帶到窄帶的分界處又要將采樣頻率降下來。采樣頻率的提高是通過內(nèi)插來完成的，采樣頻率的降低是通過抽值完成的。上圖所示系統(tǒng)的重要特性是在系統(tǒng)中同時出現(xiàn)了窄帶信號和寬帶信號。如果在B>>W這種典型情況下，用寬帶信號所需的采樣率對窄帶信號進行采樣，其結(jié)果將導(dǎo)致仿真的時間過大，效率會很低。理想的是每個信號的采樣就采用適合本信號的采樣率。當(dāng)前第47頁\共有64頁\編于星期五\5點上采樣和內(nèi)插上采樣就是提高采樣頻率。上采樣使得采樣周期降低M倍。因此，根據(jù)對應(yīng)的連續(xù)時間信號x(t)，上采樣過程從原有的采樣值生成新采樣值。作為例子，假定通過對重構(gòu)信號xr(t)在t=nTs/M處內(nèi)插來構(gòu)造一組新的采樣，其中重構(gòu)信號xr(t)由式(3-49)給出。進行操作后為：對sinc(.)進行截斷有當(dāng)前第48頁\共有64頁\編于星期五\5點對sinc(.)進行截斷有雖然不完美．但是這是一個更實際的內(nèi)插器，增大L就可以降低內(nèi)插的誤差。然而，由于每個內(nèi)插采樣點需要2L+1個樣點，對于大的L，計算負荷往往是難以接受的。因此，在計算負荷和精度之間就有一個折中，這種折中在我們的仿真研究中會多次碰到。當(dāng)前第49頁\共有64頁\編于星期五\5點更實用的內(nèi)插器是線性內(nèi)插器，它比sinc()函數(shù)內(nèi)插所需的計算量要小得多。線性內(nèi)插器的脈沖響應(yīng)定義為：內(nèi)插操作圖如下：當(dāng)前第50頁\共有64頁\編于星期五\5點

很明顯，上采樣和下采樣郡引入了很多的額外開銷。如果上采樣倍數(shù)M適度，比方說是2或3，通常最好用單采樣頻率開發(fā)仿真系統(tǒng)，從而窄帶信號的過采樣會出現(xiàn)在系統(tǒng)中。然而，如果B和W相差太多，那么通常最有效的方法是對仿真中每個具有不同帶寬的信號采用合適的采樣頻率。當(dāng)前第51頁\共有64頁\編于星期五\5點上采樣和內(nèi)插操作當(dāng)前第52頁\共有64頁\編于星期五\5點下采樣（抽值）下采樣是頻率降低的過程。實現(xiàn)方法：這個過程通過用單個采樣代替M個采樣來完成，因此下采樣比上采樣簡單得多。下采樣器輸出的采樣點是通過在采樣過程中對采樣周期增加M倍來完成的，因而下采樣器輸出的采樣點記作。由給出。采樣值由下式得到當(dāng)前第53頁\共有64頁\編于星期五\5點3.4仿真采樣頻率開發(fā)仿真時要作的一個基本決定是選擇多大的采樣頻率。對于沒有反饋的線性系統(tǒng)，必須的采樣頻率是由可接受的混疊誤差決定的，而這又有賴于成型脈沖的功率譜密度。因為成形脈沖對選擇合適的采樣頻率很重要。當(dāng)前第54頁\共有64頁\編于星期五\5點

問題：從采樣的研究得知，要完全消除混疊誤差需要無限的采樣頻率，這在實際中顯然是不可能的。隨著采樣頻率的增加，對每個通過系統(tǒng)的數(shù)據(jù)符號都要處理更多的采樣點，而這會增加執(zhí)行仿真所需時間。在實際中不可能消除混疊現(xiàn)象，一個自然的策略就是選擇合適的采樣頻率，以便在混疊誤差和仿真時間之間達成折中。當(dāng)前第55頁\共有64頁\編于星期五\5點

表示數(shù)據(jù)隨機序列。在二進制系統(tǒng)中，ak的典型取值是十1和-1，P(t)是脈沖成形函數(shù)，T是符號周期，而△是在采樣周期上的均勻隨機變量，參數(shù)A是用于確定傳輸信號功率的比例常量。假定