2023年快速傅里葉變換實驗報告

快速傅里葉變換實驗報告

機(jī)械34班劉攀

一、基本信號（函數(shù)）的FFT變換

JI

1.xQ）=sin（69of+—）+sin2助，+cos3coot

6

1）采樣頻率了=8/o,截斷長度N=16;

取次=2"rad/s,則/-o=1Hz,"=8Hz,頻率分辨率△/=V=2=0.5IIz。

N

最高頻率/=3/o=3Hz,/>2■，故滿足采樣定理，不會發(fā)生混疊現(xiàn)象。

截斷長度T=2To,整周期截取，不會發(fā)生柵欄效應(yīng)。理論上有一定的泄漏，

但在整周期截取的情況下，旁瓣上的采樣都約為0,泄漏現(xiàn)象沒有體現(xiàn)

出來。

頻譜圖如下：

1.4

幅值誤差A(yù)A=0,相位誤差△夕=0。

2)采樣頻率力=8/0,截斷長度N=32；

?、?=2%rad/s,則fo=1Hz,亦=8Hz,頻率分辨率=￡=

N

0.25HZo

最高頻率％=3/o=3Hz,亦＞2人,故滿足采樣定理，不會發(fā)生混疊現(xiàn)象。

截斷長度T=4T。,整周期截取，不會發(fā)生柵欄效應(yīng)。理論上有一定的泄漏,

但在整周期截取的情況下，旁瓣上的采樣都約為0,泄漏現(xiàn)象沒有體現(xiàn)

出來。

頻譜圖如下：

1.4

1.2-

1-

0.8-

0.6-

0.4-

0.2■

0-?

-10I1L2L345

幅值誤差A(yù)A=0,相位誤差=0。

2.x（r）=sin（69o/+—）+sinllcoot

6

1）采樣頻率/=8/0,截斷長度N=16；

取.=2%rad/s,則/o=lHz,「=8Hz,頻率分辨率V=A/=區(qū)=

N

0.5Hz0

最高頻率A=ll/o=llHz,/<2工,故不滿足采樣定理，會發(fā)生混疊現(xiàn)象。

截斷長度T=2To,整周期截取,不會發(fā)生柵欄效應(yīng)。理論上有一定的泄漏,

但在整周期截取的情況下，旁瓣上的采樣都約為0,泄漏現(xiàn)象沒有體現(xiàn)

出來。

頻譜圖：

1.4

由上圖可以看出，并未體現(xiàn)出1l/o的成分，說明波形出現(xiàn)混疊失真。為

了消除混疊現(xiàn)象，應(yīng)加大采樣頻率，使之大于等于22HZo

/。處的幅值誤差A(yù)A=O,11/。處由于出現(xiàn)了混疊現(xiàn)象，幅值誤差沒故意

義;相位誤差△*=（）。

2）采樣頻率/=32/<），截斷長度N=32；

取"=2萬rad/s,則/o=lHz,f=32Hz,頻率分辨率曠=干=幺=11一12。

N

最高頻率A=ll/o=llHz,fi>2fe,故滿足采樣定理，不會發(fā)生混疊現(xiàn)

象。

截斷長度T=To,整周期截取,不會發(fā)生柵欄效應(yīng)。理論上有一定的泄漏，

但在整周期截取的情況下，旁瓣上的采樣都約為0,泄漏現(xiàn)象沒有體現(xiàn)

出來。

頻譜圖：

1

0.9--

0.8--

0.7--

0.6--

0.5--

0.4--

0.3--

0.2--

0.1--

--------------------------------1--------------------------------1-------------------

-505101520

該頻譜圖體現(xiàn)出了外和11/。的成分，說明未失真，且幅值均為1,0

幅值誤差A(yù)A=0,相位誤差△9=0。

3.X（t）=COSy/lOcDot

1）采樣頻率/=8/o,截斷長度N=16;

取0>=2乃rad/s,則fo=lHz,^=8Hz,頻率分辨率勾'=曠=或=0.5

N

Hzo

最高頻率/-=J15/o=Hz,fi>2fi,故滿足采樣定理，不會發(fā)生混

疊現(xiàn)象。

頻譜圖:

1

在忽略旁瓣信號的情況下，可近似認(rèn)為：

x(0a0.9098COS(3GO/+56.9520°)

故幅值誤差A(yù)A=0.9096-1=-0.0904，相位誤差b(p=56.9520°。

2)采樣頻率/=32/。，截斷長度N=32；

取.=2萬rad/s,則/o=lHz,/=32Hz,頻率分辨率?=下=幺=

N

1HzO最高頻率fc=VTo/o=V10Hz,fi>2f,,故滿足采樣定理，不會

發(fā)生混疊現(xiàn)象。

頻譜圖：

在忽略旁瓣信號的情況下,可近似認(rèn)為：

x（0?0.9820cos（3<yoZ+27.6898°）

則幅值誤差A(yù)A=0.9820-1=-0.0180,相位誤差A(yù)。=27.6898。。

分析：很明顯，出現(xiàn)了泄露現(xiàn)象，重要因素是截斷時加了矩形窗。與⑴

相比,（2）的窗寬度減小，主瓣變寬，能量更加分散，而其旁瓣卻被壓低，幅

度A明顯減小。泄漏使能量分布變得分散，使規(guī)定的譜線能量減少（幅值

減小）。為減少泄漏的影響，可以選擇性能更好的特殊窗（如漢寧窗等）

來代替矩形窗進(jìn)行加窗解決。

=cosVlOtyoZ的周期To=尊一=3九而截斷長度T=2s,

JlOtwJ10

T2=ls,非正周期截取，故出現(xiàn)了“柵欄效應(yīng)”。信號自身的頻率P3.16H

z,但是頻譜圖中只在整數(shù)點有值，所以原本應(yīng)當(dāng)在3和4之間的3.1

6左右的譜線峰值出現(xiàn)在了3處。與（1）相比，（2）的頻率分辨率減少,

兩峰值間的點數(shù)減少，柵欄效應(yīng)更為明顯。柵欄效應(yīng)的重要因素是沒有

進(jìn)行整周期截取。若進(jìn)行整周期截取,可以消除柵欄效應(yīng)。例如

fs=4V10fo,N=16得到：

1!IIII

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Q_____l___________I___________I________________________l_________I___________I____________

-101234567

4.無?)=cosJI5Gof

對信號加窗(HanningWindow):

,、I/2"，、八e

w(Z)=—(l-cos-^)0<t<T

1)采樣頻率了=8孔,截斷長度N=16;

頻譜圖:

此時x(t)?0.4657cos(3<?()r+58.1027°)

則幅值誤差A(yù)A=0.4657-1=-0.5343，相位誤差Zp=58.10270

2)采樣頻率,/；=32/。,截斷長度N=32;

頻譜圖:

此時x(0?0.4914cos(3ooZ+30.4390°)

則幅值誤差A(yù)A=0.4917-1=-0.5086,相位誤差=30.4390°

分析加窗之后，主瓣變寬，主瓣能量分散,旁瓣的泄漏有改善。

5.x(^)-sin(O.9969or+—)

6

1)采樣頻率fs=8/0，截斷長度N=16；

取吁2"ad/s,則/°=lHz,/；=8Hz瀕率分辨率V=A/=在

0.5HZo最高頻率人=0.99/o=O.99Hz,力＞2人，故滿足采樣定理,不會發(fā)

生混疊現(xiàn)象。截斷長度T=2To,而信號周期為」一，非整周期截取，

O.99To

會發(fā)生柵欄效應(yīng)。由于進(jìn)行了矩形窗加窗解決，所以存在泄露現(xiàn)象。

頻譜圖：

1.4

1.2

此時，x（，）u1.0049cos（69（）r-63.4206o）

則幅值誤差A(yù)A=1.0049-1=0.0049，相位誤差N（p=-63.4206°

2）采樣頻率fs=32/（），截斷長度N=32;

取欣=21rad/s,則/（）=1Hz,/=32Hz,頻率分辨率=/\f=—=

N

lHzo最高頻率%=0.99/o=O.99Hz,/；＞2A，故滿足采樣定理，不會發(fā)

生混疊現(xiàn)象。截斷長度T=To,而信號周期為島元，非整周期截取，會

發(fā)生柵欄效應(yīng)。由于進(jìn)行了矩形窗加窗解決，所以存在泄露現(xiàn)象。

頻譜圖：

1.4

1.2--

1--

0.8--

0.6--

0.4--

0.2--

0------------------~-t------------------------------------1--------------------1--------------------

-505101520

此時，尤?)*1.0034cos(69()r-67.2006o)

則幅值誤差A(yù)A=1.0034—1=0.0034,相位誤差=-67.2006。

分析假如將截取長度取為信號周期的整數(shù)倍，如令了=8x0.99/。，貝IJ

頻譜圖如下，有效的避免了柵欄效應(yīng)。

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-1012345

二、典型信號（函數(shù)）的FFT變換

1.對不同信號比的方波進(jìn)行fft分析

占空比時域、頻域圖

30%

50%

70%

給論由于方波的頻率為口?！?,故fft變換得到的頻譜圖重要能量

均集中在0.16附近，根據(jù)分辨率的不同，誤差也不同樣。

由上表可以很直觀地觀測到，隨著占空比的改變，頻譜圖中頻率分布的集

中限度在發(fā)生改變,總體規(guī)律為：占空比越遠(yuǎn)離50%,譜線能量越集中。

2.用偽隨機(jī)信號模仿白噪聲信號進(jìn)行FFT分析。

結(jié)論:白噪聲是偽隨機(jī)信號生成的，具有隨機(jī)信號的特性，除0Hz外譜線的幅

值均為0o

三、實際信號的頻譜分析

電風(fēng)扇振動信號的分析

1.高轉(zhuǎn)速

matlab程序:

c1c;

clear;

closea11；

1oadhighspeed.txt；

fs=128；

Ts=1/fs；

xl=highspeed(1:128);

x2=highspeed(129：256)；

x3=highspeed(257:384);

x4=highspeed(385：512)；

yl=fft(xl)/128;y1=abs(yl);

y2=fft(x2)/128;y2=abs(y2)；

y3=fft(x3)/128；y3=abs(y3);

y4=fft(x4)/128;y4=abs(y4);

y=(yl+y2+y3+y4)/4;

n=64*1inspace(0,1z65)；

bar(nz2*abs(y(1:65)),0.2)；

gridon；

頻譜圖:

特性頻率為14Hz、41Hz、42Hz、48Hz

2.低轉(zhuǎn)速

matlab程序：

clc；

c1ear；

closeall；

1oad1owspeed.txt;

fs=128;

Ts=l/fs;

xl=lowspeed(1:128);

x2=lowspeed(129:256);

x3=lowspeed(257:384);

x4=lowspeed(385：512);

y1=fft(x1)/128；yl=abs(yl);

y2=fft(x2)/128；y2=abs(y2);

y3=fft(x3)/128;y3=abs(y3);

y4=fft(x4)/128；y4=abs(y4);

y=(yl+y2+y3+y4)/4；

n=64*1inspace(0f1,65)；

bar(n,2