2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十三章軸對(duì)稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題作業(yè)課件新版新人教版

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題1.[2022唐山期末]某市計(jì)劃在公路l旁修建一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)M,現(xiàn)有如下四種方案,則機(jī)場(chǎng)M到A,B兩個(gè)城市的距離之和最短的是(

)答案1.B2.[2022石家莊期末]如圖,在4×4的正方形網(wǎng)格中有A,B兩點(diǎn),在直線a上求一點(diǎn)P,使PA+PB最短,則點(diǎn)P應(yīng)選在(

)A.C點(diǎn) B.D點(diǎn) C.E點(diǎn) D.F點(diǎn)答案2.A

如圖,作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B,則A'B與直線a的交點(diǎn)即點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB最短.由圖可知點(diǎn)P應(yīng)選在C點(diǎn).3.[2022福州時(shí)代中學(xué)期中]如圖,直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線,點(diǎn)P是直線m上的一動(dòng)點(diǎn),若AB=5,AC=4,BC=6,則△APC周長(zhǎng)的最小值是(

)A.9 B.10 C.11 D.12.5答案3.A4.

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,5)和(4,0),點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且A,B,C三點(diǎn)不在同一條直線上.當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(

)A.(0,4) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,0)答案4.A

如圖,作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB'交y軸于點(diǎn)C',當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到C'處時(shí),△ABC的周長(zhǎng)最小.過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E,∵點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,5)和(4,0),∴點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(-4,0),AE=5,OE=1,∴B'E=5,∴B'E=AE,∴∠AB'E=∠B'AE=45°,∵C'O∥AE,∴∠B'C'O=∠B'AE=∠AB'E=45°,∴C'O=B'O=4,∴點(diǎn)C'的坐標(biāo)是(0,4).5.[2022蕪湖期末]如圖,△ABC是等邊三角形,AD是BC邊上的高,E是AC的中點(diǎn),P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PC+PE的值最小時(shí),∠ACP的度數(shù)為

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答案5.30°

如圖,連接PB,連接BE交AD于點(diǎn)P',∵△ABC是等邊三角形,AD⊥BC,∴PC=PB,∴PC+PE=PB+PE≥BE,且當(dāng)B,P,E三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,∴PC+PE的最小值即BE的長(zhǎng).∵△ABC是等邊三角形,∴∠BCE=60°,BA=BC.∵AE=EC,∴BE⊥AC,∴∠BEC=90°,∴∠EBC=30°.連接P'C,易知P'B=P'C,∴∠P'CB=∠P'BC=30°,∴∠ACP'=∠ACB-∠P'CB=30°.6.[2022佛山三水區(qū)期末]如圖,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn),OP=8,∠AOB=30°,點(diǎn)M,N分別是邊OA,OB上的動(dòng)點(diǎn),則△PMN周長(zhǎng)的最小值為

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答案6.8

如圖,作點(diǎn)P關(guān)于OA,OB的對(duì)稱點(diǎn)C,D,連接CD分別交OA,OB于點(diǎn)M,N,連接OC,OD,PM,PN,此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小.由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知,OC=OP=OD=8,MC=MP,ND=NP,∠POA=∠COA,∠POB=∠DOB,∴∠COD=2∠AOB=60°,∴△COD是等邊三角形,∴CD=OC=8,∴△PMN周長(zhǎng)的最小值為PM+MN+PN=CM+MN+ND=CD=8.7.

如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AB,AC邊的中點(diǎn),請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P,使得△PDE的周長(zhǎng)最小.在圖中作出點(diǎn)P.答案7.解:如圖,作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D',連接D'E,D'E與BC交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即所求.8.

教材P93復(fù)習(xí)題13T15變式如圖,為了做好交通安全工作,某交警執(zhí)勤小隊(duì)從A處出發(fā),先到公路l1上設(shè)卡檢查,再到公路l2上設(shè)卡檢查,最后再到B處執(zhí)行任務(wù),他們應(yīng)如何走才能使總路程最短?答案8.解:(1)如圖,作點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)A';(2)作點(diǎn)B關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)B';(3)連接A'B',分別交直線l1,l2于點(diǎn)C,D,連接AC,BD,此時(shí)AC+CD+BD最小.所以先到點(diǎn)C處設(shè)卡檢查,再到點(diǎn)D處設(shè)卡檢查,最后到B處執(zhí)行任務(wù),按這樣的路線所走的總路程最短.1.[2022長(zhǎng)沙期末]如圖,在等邊三角形ABC中,D為AC的中點(diǎn),P,Q分別為AB,AD上的點(diǎn),且BP=AQ=4,QD=3,在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E,則PE+QE的最小值為(

)A.7 B.8 C.10 D.12答案1.C

∵△ABC是等邊三角形,D為AC的中點(diǎn),∴BA=BC=AC,BD⊥AC.∵AQ=4,QD=3,∴DC=AD=AQ+QD=7.如圖,作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q',連接PQ'交BD于點(diǎn)E,連接QE,此時(shí)PE+QE的值最小,最小值為PE+EQ'=PQ'.∵DQ'=QD=3,∴CQ'=CD-DQ'=4,∴CQ'=BP,∴AP=AQ'.∵∠A=60°,∴△APQ'是等邊三角形,∴PQ'=AQ'=AD+DQ'=10,∴PE+QE的最小值為10.2.[2022邯鄲二十五中期末]如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=130°,∠D=∠B=90°,點(diǎn)M,N分別是BC,CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí),∠AMN+∠ANM的度數(shù)為

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答案2.100°

如圖,作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A',關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A″,連接A'A″,分別交BC,CD于點(diǎn)M,N,此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小.∵∠BAD=130°,∴∠A'+∠A″=180°-∠130°=50°.∵∠A'=∠A'AM,∠A″=∠A″AN,∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″)=2×50°=100°.3.[2022十堰期中]如圖,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是∠BAC的平分線.若P,Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn),則PC+PQ的最小值是

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答案

4.[2020南京中考節(jié)選]如圖1,要在一條筆直的路邊l上建一個(gè)燃?xì)庹?向l同側(cè)的A,B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?試確定燃?xì)庹镜奈恢?使鋪設(shè)管道的路線最短.(1)如圖2,作出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A',線段A'B與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求,即在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?所得路線ACB是最短的.為了證明點(diǎn)C的位置即為所求,不妨在直線l上另外任取一點(diǎn)C',連接AC',BC',證明AC+CB<AC'+C'B.請(qǐng)完成這個(gè)證明.(2)如果在A,B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)(正方形區(qū)域),其位置如圖3所示,并規(guī)定燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域,請(qǐng)給出這時(shí)鋪設(shè)管道的方案(不需說明理由).4.解:(1)連接A'C',∵點(diǎn)A,點(diǎn)A'關(guān)于l對(duì)稱,點(diǎn)C在l上,∴CA=CA',∴AC+BC=A'C+BC=A'B.同理可得AC'+C'B=A'C'+BC'.∵A'B<A'C'+C'B,∴AC+BC<AC'+C'B.(2)如圖,在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?鋪設(shè)管道的最短路線是ACDB(其中點(diǎn)D是正方形的頂點(diǎn)).答案5.

教材P86問題2變式某大學(xué)建立分校,校本部與分校隔著兩條平行的小河(甲和乙),如圖所示,A為校本部大門,B為分校大門.為了方便人員來往,要在兩條小河上各建一座橋,橋面垂直于河岸.為使A,B兩點(diǎn)間來往路段最短,試在圖中畫出符合條件的路徑,并標(biāo)明橋的位置.答案5.解:如圖,設(shè)在小河甲上建橋CD,小河乙上建橋EF,則A,B兩點(diǎn)間來往路徑是折線ACDEFB.過點(diǎn)A作AA'⊥河岸,過點(diǎn)B作BB'⊥河岸,方向是對(duì)著小河,使AA'=小河甲的寬度,BB'=小河乙的寬度,連接A'D,B'E,則折線ACDEFB的長(zhǎng)度=折線AA'DEB'B