數(shù)學(xué)建模-深洞地估算

深洞的估算姓名：班級：學(xué)號：聯(lián)系方式:摘要在探險，采礦等活動中，經(jīng)常會碰到比較深的洞，為了探索的安全和事前的準(zhǔn)備，這時候，就需要估算深洞的深度。常常我們不會帶復(fù)雜的精密儀器出入山林，所以，碰到這種情況，需要我們用簡單的儀器粗略的計算出深洞的深度。本模型利用秒表和石頭等常見的物品做試驗，再作出各種合理的假設(shè)，運用物理知識和微積分估算出各假設(shè)下的洞深。討論了不考慮空氣阻力及考慮空氣阻力等三種情況，還進一步考慮了回聲的作用。建立微分方程模型并逐一計算得出各種情況下的洞深。關(guān)鍵詞：洞深空氣阻力回聲微積分提出問題假如你站在洞口且身上僅帶著一只具有跑秒功能的計算器，你出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估計洞的深度，假定你撿到一塊質(zhì)量是1KG的石頭，并準(zhǔn)確的測定出聽到回聲的時間T=5S，就下面給定情況，分析這一問題，給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并估計洞深。1、不計空氣阻力；2、受空氣阻力，并假定空氣阻力與石塊下落速度成正比，比例系數(shù)k1=0.05；3、受空氣阻力，并假定空氣阻力與石塊下落速度的平方成正比，比例系數(shù)k2=0.0025；4、在上述三種情況下，如果再考慮回聲傳回來所需要的時間。二、問題分析這個問題就是物理中的自由落體，通過自由落體算出洞的深度，則需要知道石頭從洞口落到洞底所用的時間。石頭是否落到了洞底則需要從石頭撞擊洞底傳來的回聲來判斷。石頭下落過程中會受到空氣的阻力，但是空氣阻力的大小及計算方法我們并不清楚，這就需要假設(shè)。通過物理，我們知道聲音的傳播也是有速度的，所以回聲從洞底傳遞到測量者耳朵視需要時間的。如果洞不深的話，回聲傳播的時間會很小，可以忽略。但如果很深的話，忽略的話會對計算結(jié)果產(chǎn)生很大的誤差。因此這兩種大的情況必須考慮在內(nèi)。三、模型假設(shè)基于上述分析，作以下假設(shè)：1、石頭落下是作自由落體運動，測量者并未給其一個初始速度，且石頭下落過程中未碰到任何障礙物。石頭落下的地方能夠代表洞底那一平面，并且能夠發(fā)出聲響。2、測量者在聽到第一聲回聲響起時就馬上按下計算器，不存在反應(yīng)時間，且聲波在洞中傳遞的速度不變。3、石頭下落過程所受空氣阻力只與下落速度有關(guān)系，假設(shè)三種情況:1）不計空氣阻力。2）阻力與成正比，比例系數(shù)=0.05。3)阻力與成正比，比例系數(shù)=0.0025。4、在3中的3種情況下，考慮回聲傳回所需的時間。符號說明：洞深：石頭的質(zhì)量，為：從開始落下到測出回聲的時間：重力加速度，?。菏^下落的速度：比例系數(shù)：比例系數(shù)：聲波傳遞的速度，?。菏^落到洞底的時間；回聲從產(chǎn)生到測量者聽到的時間

五、模型的建立與求解由假設(shè)3-1，不計空氣阻力，不考慮回聲傳播時間?？擅黠@得出根據(jù)自由落體定律可得計算可得洞深。由假設(shè)3-2，阻力與成正比，比例系數(shù)=0.05，不考慮回聲傳播時間。由牛頓運動定律，可列方程，令=則方程化簡得所以初始條件可知求得由所以計算可得洞深由假設(shè)3-3，阻力與成正比，比例系數(shù)=0.0025，不考慮回聲傳播時間。由牛頓運動定律，可列方程，令則方程化簡得所以初始條件可知求得其中，得初始條件可知計算可得洞深114m由假設(shè)4，考慮回聲傳播時間，對3-1，3-2，3-3再一次求解1）4-3-1，不計空氣阻力。分析方法同前面，于是有求得=4.678s109.4m2）4-3-2，阻力與成正比，比例系數(shù)=0.05。利用MATLAB計算>>x=solve('x+3000+20*x/34=4000*2.7^(-0.25+0.05*x/340)','x')x=106.71125398368799763210014510673即洞深106.7m3）4-3-3，阻力與成正比，比例系數(shù)=0.0025。利用MATLAB計算>>x=solve('x=63*(5-x/340)+2*63/0.316*(log(2.7^(0.316*5-0.316*x/340)+1)-log(2*2.7^(0.316*5-0.316*x/340)))','x')x=101.86825754949506384343423952243即洞深101.9m結(jié)果分析和檢驗（一）、不考慮回音模型一：不計空氣阻力計算得洞深。誤差分析：不計空氣阻力算的結(jié)果125m與考慮空氣結(jié)果115m相差10m，而實際上空氣阻力是存在的，所以結(jié)果不精確。模型二：阻力與成正比，比例系數(shù)=0.05計算得洞深誤差分析：假設(shè)阻力與成正比所得結(jié)果115m，與假設(shè)阻力與成正比所得結(jié)果114m相差1m，比例數(shù)值是沒有根據(jù)的取值的，不是很精確。模型三：阻力與成正比，比例系數(shù)=0.0025計算得洞深114m誤差分析：見2以上三種模型都沒有考慮回音的問題，不考慮聲音從洞底到人耳的時間，所以結(jié)果都不是很精確。取音速為，聲音從洞底到人耳的時間為：帶入模型一計算，得h=100.7m,與h=115m相差14.2%，可看出不考慮回音對結(jié)果影響較大，以上結(jié)果都不合理。（二）、考慮回音考慮回音的情況下，如不考慮空氣阻力，問題如模型一，所以不能忽略一定存在的空氣阻力?？紤]空氣阻力時，空氣阻力與石頭速度的關(guān)系系數(shù)的確定影響結(jié)果的精確度，應(yīng)該綜合考慮各種外在因素。討論模型的優(yōu)缺點，改進方向，推廣新思想本模型考慮了不計空氣阻力，計算空氣阻力以及考慮回音等6種假設(shè)，逐步增加約束條件，利用物理和微積分方程知識求解，求解過程科學(xué)合理。在假設(shè)3-1中不考慮空氣阻力是不合理的，3-2、3-3中比例系數(shù)的確定不合理?？紤]音速時，沒有考慮音速在深洞中的具體數(shù)值。還有物體的形狀沒有描述，沒有考慮物體的形狀對空氣阻力的影響。改進：1、把石頭換成圓形的鐵球或者其他球形物體。2、具體測量深洞中的音速。3、做實驗求出當(dāng)?shù)乜諝庾枇εc該球形物體下落速度的關(guān)系式。參考文獻【1】姜