分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 省賽獲獎

考試要求1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；2.會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題.第1節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理知

識

梳

理1.分類加法計數(shù)原理

完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_______種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法.m＋nm×n3.分類加法和分步乘法計數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.[常用結(jié)論與易錯提醒]1.應(yīng)用兩個計數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類還是分步.

在處理具體的應(yīng)用問題時，首先必須弄清楚“分類”與“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么.選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事情，可以避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏.2.(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù). (2)分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).基

礎(chǔ)

自

測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(

)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(

)(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(

)解析分類加法計數(shù)原理，每類方案中的方法都是不同的，每一種方法都能完成這件事；分步乘法計數(shù)原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成這一步，不能完成這件事，所以(1)，(4)均不正確.答案

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×2.(2018·上海卷)《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的

四棱錐為陽馬.設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖.若陽馬以該正六棱柱

的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是(

) A.4 B.8 C.12 D.16

解析符合題目條件的面有四個，每一個都有符合條件的4個頂點(diǎn)，則陽馬的個數(shù)為4×4＝16，所以選D.

答案D3.(選修2－3P28B2改編)現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有(

) A.24種

B.30種

C.36種

D.48種

解析需要先給C塊著色，有4種結(jié)果；再給A塊著色，有3種結(jié)果；再給B塊著色，有2種結(jié)果；最后給D塊著色，有2種結(jié)果，由分步乘法計數(shù)原理知共有4×3×2×2＝48(種).

答案

D4.某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了畢業(yè)留言________條；若每兩個同學(xué)互通一次電話，那么共通________次電話(均用數(shù)字作答).答案

1560

7805.5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中一個小組，則不同的報名方法有________種(用數(shù)字作答).

解析每位同學(xué)都有2種報名方法，因此，可分五步安排5名同學(xué)報名，由分步乘法計數(shù)原理，總的報名方法共2×2×2×2×2＝32(種).

答案

326.已知某公園有5個門，從任一門進(jìn)，另一門出，則不同的走法的種數(shù)為________(用數(shù)字作答).

解析分兩步，第一步選一個門進(jìn)有5種方法，第二步再選一個門出有4種方法，所以共有5×4＝20種走法.

答案

20考點(diǎn)一分類加法計數(shù)原理【例1】(1)三個人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有(

)

A.4種

B.6種 C.10種

D.16種 (2)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為(

) A.14 B.13 C.12 D.10解析(1)分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件有3種方法(如圖)，同理，甲先傳給丙時，滿足條件有3種踢法.由分類加法計數(shù)原理，共有3＋3＝6種傳遞方法.②當(dāng)a≠0時，則Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，(ⅰ)若a＝－1時，b＝－1，0，1，2有4種不同的選法；(ⅱ)若a＝1時，b＝－1，0，1有3種可能；(ⅲ)若a＝2時，b＝－1，0，有2種可能.∴有序數(shù)對(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(個).答案(1)B

(2)B規(guī)律方法分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn).(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù).(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏，如本例(2)中易漏a＝0這一類.解析(1)分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個點(diǎn)，有A→B→O和A→C→O共2種不同的走法；第三類，中間過兩個點(diǎn)，有A→B→C→O和A→C→B→O共2種不同的走法，由分類加法計數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5種不同的走法.(2)當(dāng)m＝1時，n＝2，3，4，5，6，7共6個當(dāng)m＝2時，n＝3，4，5，6，7共5個；當(dāng)m＝3時，n＝4，5，6，7共4個；當(dāng)m＝4時，n＝5，6，7共3個；當(dāng)m＝5時，n＝6，7共2個，故共有6＋5＋4＋3＋2＝20個.答案

(1)5

(2)20考點(diǎn)二分步乘法計數(shù)原理【例2】(1)教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有(

) A.10種

B.25種

C.52種

D.24種 (2)定義集合A與B的運(yùn)算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，則集合A*B的元素個數(shù)為________(用數(shù)字作答).解析(1)每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步.由分步乘法計數(shù)原理，共有24種不同的走法.(2)確定A*B中的元素是A中取一個元素來確定x，B中取一個元素來確定y，由分步乘法計數(shù)原理可知A*B中有3×4＝12個元素.答案(1)D

(2)12 規(guī)律方法

(1)在第(1)題中，易誤認(rèn)為分5步完成，錯選B.(2)利用分步乘法計數(shù)原理應(yīng)注意：①要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.【訓(xùn)練2】(1)把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有(

) A.24種

B.4種

C.43種

D.34種 (2)設(shè)集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個數(shù)為________(用數(shù)字作答).解析(1)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法.由分步乘法計數(shù)原理可得共有43種方法.(2)易知A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}，∴x有兩種取法，y有5種取法.由分步乘法計數(shù)原理，A*B的元素有2×5＝10(個).答案

(1)C

(2)10考點(diǎn)三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例3】(1)(2019·金麗衢十二校三聯(lián))三位數(shù)中，如果百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字剛好能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱為“等差三位數(shù)”，例如：147，642，777，420等等.等差三位數(shù)的總個數(shù)為(

) A.32 B.36 C.40 D.45 (2)(2019·杭州二中仿真考試)工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓，則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________.解析(1)由題意得若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字構(gòu)成公差為0的“等差三位數(shù)”，則只要各位數(shù)字不為零即可，有9個；若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字構(gòu)成公差為1的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不大于7，有7個；若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字構(gòu)成公差為2的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不大于5，有5個；若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字構(gòu)成公差為3的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不大于3；有3個；若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字構(gòu)成公差為4的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字只能為1，有1個；若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字構(gòu)成公差為－1的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不小于2，有8個；若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字構(gòu)成公差為－2的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不小于4，有6個；若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字構(gòu)成公差為－3的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不小于6，有4個；若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字構(gòu)成公差為－4的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不小于8，有2個.綜上所述，“等差三位數(shù)”的總數(shù)為9＋7＋5＋3＋1＋8＋6＋4＋2＝45個，故選D.(2)第一步在六個螺栓中隨機(jī)選擇一個固定，有6種不同的選法，不妨以選擇位置1的螺栓為例，第二步，選擇一個與1不相鄰的位置的螺栓固定，此時有兩類：位置4或位置3，5，當(dāng)選擇位置4時，第三個固定的螺栓位置可以為2，6中的一個，第四個固定的螺栓的位置相應(yīng)有兩種情況，此時第五個固定和第六個固定的位置相應(yīng)確定；當(dāng)選擇位置3，5時，不妨以位置3為例，此時第三個固定的螺栓的位置可以為5，6中的一個，若第三個固定的位置為5，則第四個固定的位置只有2一種選擇，第五個固定的位置有兩種選擇，第六個固定的位置相應(yīng)確定，若第三個固定的位置為6，則第四個固定的位置只能為4，第五個固定的位置只能為2，第六個固定的位置相應(yīng)確定.綜上所述，不同的固定螺栓方式的種數(shù)為6×[2×2＋2×(2＋1)]＝60.答案(1)D

(2)60規(guī)律方法

(1)①注意在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理.②注意對于較復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.(2)解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同