基向量法解決立體幾何問題

基向量法解決立體幾何問題第一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日學(xué)習(xí)提綱二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；

(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；

3、求解空間中的距離。1、直線的方向向量；2、平面的法向量。一、引入兩個重要空間向量第二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥babab第三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日例1已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD第四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日證明：設(shè)a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

第五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日

2.P是△ABC所在平面外的一點，PD、PE、PF分別是∠APB、∠APC,∠BPC的平分線，且PD⊥PE，求證：PE⊥PF,PF⊥PD。所以PF⊥PE；同理PF⊥PD。證明直線和直線垂直A’B’第六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日線線垂直第七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日7在空間四邊形ABCD中，M,N分別是AD,BC的中點，求證：2MN=AB+DC,且MN,AB,CD平行于同一平面。證明共面問題第八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.naααnaLL第九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日(3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥ββαβαn2n1n1n2第十頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日8在平行六面體AC’中，E,F,G分別是A’D’,DD’,D’C’的中點，求證：平面EFG//平面AB’C。證明面面平行第十一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日13在平行六面體AC’中，AB=AD,∠A’AD=∠A’AB=∠DAB=60o.(1)求證：AA’⊥BD;(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，才能使AC’⊥平面AB’D.請證明。證明線線線面垂直第十二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日13(2)在平行六面體AC’中，AB=AD,∠A’AD=∠A’AB=∠DAB=60o.(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，才能使AC’⊥平面A’BD.請證明。解：線線線面垂直2第十三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長.BACD第十四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補,我們僅取銳角或直角就行了.第十五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,設(shè)L與α所成的角θ,n與a所成的角α

則θ=α-或θ=-α

于是,因此θθnααnaa第十六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日（3）二面角設(shè)n1

、n2分別是二面角兩個半平面α、β的法向量，由幾何知識可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo)z同號時相等）或互補（選取法向量豎坐標(biāo)z異號時互補），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n2αβn1n2第十七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日3.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n,

這時分別在a、b上任取A、B兩點,則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離.∴

即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB第十八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日(2)點到平面的距離A為平面α外一點(如圖),n為平面α的法向量,過A作平面α的斜線AB及垂線AH.

==.于是，點到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值.nABHαθ第十九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日空間向量理論引入立體幾