空間直角坐標(biāo)系及空間向量的線性運(yùn)算

第六節(jié)空間直角坐標(biāo)系及空間向量的線性運(yùn)算備考方向明確知識(shí)鏈條完善高頻考點(diǎn)突破課堂類題精練備考方向明確復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1.會(huì)確定空間點(diǎn)的坐標(biāo).2.會(huì)求直線方向向量及平面法向量.3.會(huì)進(jìn)行空間向量的幾何運(yùn)算及代數(shù)運(yùn)算.4.會(huì)進(jìn)行空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算.1.空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是由橫、縱、豎三個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組.2.直線的方向向量與直線上的向量是共線向量,平面的法向量與平面上的任何直線都垂直.3.空間向量的幾何運(yùn)算及代數(shù)運(yùn)算與平面向量類似.4.會(huì)通過(guò)數(shù)量積進(jìn)行空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表達(dá)直線、平面位置關(guān)系.知識(shí)鏈條完善網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建一、空間直角坐標(biāo)系及空間向量的有關(guān)概念1.空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系以空間一點(diǎn)O為原點(diǎn),建立三條兩兩垂直的數(shù)軸:x軸、y軸、z軸.這時(shí)我們說(shuō)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,其中點(diǎn)O叫做

,x軸、y軸、z軸叫做

,通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做

.坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)軸坐標(biāo)平面(2)右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向

的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.(3)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示,記作M(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)M的

,y叫做點(diǎn)M的

,z叫做點(diǎn)M的

.z軸橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)豎坐標(biāo)2.空間兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)公式(1)距離公式①設(shè)點(diǎn)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則|AB|=______________________________.②點(diǎn)P(x,y,z)與坐標(biāo)原點(diǎn)O之間的距離為|OP|=________________.大小和方向3.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中,具有

的量叫做空間向量,向量的大小叫做向量的

.單位向量長(zhǎng)度(或模)為

的向量零向量長(zhǎng)度(或模)為

的向量相等向量方向

且模

的向量相反向量方向

且模

的向量共線向量(或平行向量)如果表示空間向量的有向線段所在的直線

,則這些向量叫做共線向量或平行向量,a平行于b記作

.共面向量平行于同一個(gè)

的向量叫做共面向量長(zhǎng)度或模10相同相等相反相等互相平行或重合a∥b平面拓展空間概念理解(1)空間直角坐標(biāo)系的建立原則是:合理利用幾何體中的垂直關(guān)系,特別是面面垂直;盡可能地讓相關(guān)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上.(4)共線向量定理中a∥b?存在λ∈R,使a=λb,不要忽視b≠0.(5)一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè),但要注意它們是共線向量,不要誤認(rèn)為是共面向量.二、數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算1.數(shù)量積及相關(guān)概念∠AOB[0,π]a⊥b(2)兩向量的數(shù)量積:已知兩個(gè)非零向量a,b,則

叫做向量a,b的數(shù)量積,記作

,即

.|a||b|cos<a,b>a·ba·b=|a||b|cos<a,b>2.兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)和結(jié)論已知兩個(gè)非零向量a和b.(1)a·e=|a|cos<a,e>(其中e為單位向量).(2)a⊥b?

.a·b=0(3)cos<a,b>=______________.(4)a2=a·a=

,|a|=__________.|a|2(5)|a·b|

|a||b|.3.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)數(shù)乘結(jié)合律:(λa)·b=

.(2)交換律:a·b=

.(3)分配律:a·(b+c)=

.(x,y,z)λ(a·b)b·aa·b+a·c5.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么(1)加、減運(yùn)算:a±b=

.(x1±x2,y1±y2,z1±z2)≤(2)數(shù)量積:a·b=

.x1x2+y1y2+z1z2(3)夾角公式:cos<a,b>=_________________________.(5)數(shù)乘運(yùn)算:λa=

(λ∈R).(λx1,λy1,λz1)(6)平行的充要條件:a∥b?

.x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)(7)垂直的充要條件:a⊥b?

.x1x2+y1y2+z1z2=0拓展空間1.概念理解(1)探求兩向量的夾角時(shí),必須從兩向量共起點(diǎn)來(lái)看.(2)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律與平面向量數(shù)量積運(yùn)算律保持一致.(4)立體幾何中的平行或共線問(wèn)題一般可以用向量共線定理解決,求兩點(diǎn)間距離可以用向量的模解決;解決垂直問(wèn)題一般可化為向量的數(shù)量積為零;求角問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角.2.與數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算相關(guān)聯(lián)的結(jié)論(2)|a|2=a·a.(3)空間向量不滿足結(jié)合律,即(a·b)·c≠a·(b·c).溫故知新D(A)5 (B)6 (C)4 (D)8A(A)-1 (B)0(C)1 (D)不確定B高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一空間直角坐標(biāo)系[例1]在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,點(diǎn)A(1,2,2),則|OA|=

;點(diǎn)A到坐標(biāo)平面yOz的距離是

.

答案:3

1反思?xì)w納(1)點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于各點(diǎn)、線、面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).點(diǎn)、線、面對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)(-x,-y,-z)x軸(x,-y,-z)y軸(-x,y,-z)z軸(-x,-y,z)坐標(biāo)平面xOy(x,y,-z)坐標(biāo)平面yOz(-x,y,z)坐標(biāo)平面zOx(x,-y,z)(2)兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用①求兩點(diǎn)間的距離或線段的長(zhǎng)度;②已知兩點(diǎn)間的距離,確定坐標(biāo)中參數(shù)的值;③根據(jù)已知條件探求滿足條件的點(diǎn)的存在性.遷移訓(xùn)練設(shè)點(diǎn)M(2,1,3)是直角坐標(biāo)系Oxyz中一點(diǎn),則點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)(A)(2,-1,-3) (B)(-2,1,-3)(C)(-2,-1,3) (D)(-2,-1,-3)A解析:點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)均互為相反數(shù),所以對(duì)稱點(diǎn)為(2,-1,-3).故選A.考點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算反思?xì)w納(2)首尾相接的若干個(gè)向量的和,等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.所以求若干向量的和,可以通過(guò)平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和.遷移訓(xùn)練D考點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算(1)求a和b的夾角θ的余弦值;(2)若向量ka+b與ka-2b互相垂直,求k的值.反思?xì)w納(1)求空間向量數(shù)量積的方法①定義法.設(shè)向量a,b的夾角為θ,則a·b=|a||b|cosθ;②坐標(biāo)法.設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則a·b=x1x2+y1y2+z1z2.③基向量法.將所求向量用基向量表示,再進(jìn)行運(yùn)算.②求長(zhǎng)度(距離).運(yùn)用公式|a|2=a·a,可將線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題;③解決垂直問(wèn)題.利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題.遷移訓(xùn)練答案:πC(A)鈍角三角形 (B)銳角三角形(C)直角三角形 (D)不確定考點(diǎn)四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)分析解答空間向量的計(jì)算問(wèn)題時(shí),以下兩點(diǎn)容易造成失分,在備考時(shí)要高度關(guān)注:(1)對(duì)向量運(yùn)算法則特別是坐標(biāo)運(yùn)算的法則掌握不熟練導(dǎo)致失誤.(2)不能熟練地運(yùn)用向量共線、垂直的充要條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化.課堂類題精練類型一空間直角坐標(biāo)系(A)a+c-b (B)a+2b-c(C)b+c-a