復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)

復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)1第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日一、問題的引入問題:任一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達(dá)？.內(nèi)任意點(diǎn)如圖:.K.2第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日由柯西積分公式,有其中K取正方向.則3第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日4第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日由高階導(dǎo)數(shù)公式,上式又可寫成其中可知在K內(nèi)5第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日令則在K上連續(xù),6第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日即存在一個(gè)正常數(shù)M,7第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日在內(nèi)成立,從而在K內(nèi)圓周的半徑可以任意增大,只要內(nèi)成立.在的泰勒展開式,在泰勒級數(shù)8第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日如果到的邊界上各點(diǎn)的最短距離為那末在的泰勒展開式在內(nèi)成立．因?yàn)榉矟M足的必能使由上討論得重要定理——泰勒展開定理在的泰勒級數(shù)的收斂半徑至少等于，但9第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日二、泰勒定理其中泰勒級數(shù)泰勒展開式定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,為

內(nèi)的一為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離,那末點(diǎn),時(shí),成立,當(dāng)泰勒介紹10第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日說明:1.復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)時(shí)弱得多;(想一想,為什么?)4.任何解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級數(shù)是唯一的.(為什么?)11第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日因?yàn)榻馕?，可以保證無限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實(shí)用范圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多.注意問題：利用泰勒級數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級數(shù)，展開式是否唯一？12第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日那末即因此,任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù),因而是唯一的.13第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日三、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法:

直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù)14第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日例如，故有15第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日仿照上例,16第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日2.間接展開法:借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式.間接法的優(yōu)點(diǎn):不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛.17第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日例如，18第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日附:常見函數(shù)的泰勒展開式19第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日20第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日例1解四、典型例題21第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),22第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日例2分析如圖,23第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日即將展開式兩端沿C逐項(xiàng)積分,得解24第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日例3

解25第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日例4解26第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日例5解27第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日例6解即微分方程對微分方程逐次求導(dǎo)得:28第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日29第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日五、小結(jié)與思考通過本課的學(xué)習(xí),應(yīng)理解泰勒展開定理,熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法,能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù).30第三十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日奇、偶函數(shù)的泰勒級數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題31第三十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只含z的奇次冪項(xiàng),偶函數(shù)的泰勒級數(shù)只含z的偶次冪項(xiàng).思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.32第三十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期日泰勒資料Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,England

Died:29Dec1731inSomersetHouse,London,