2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）（含答案）

2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一個選項(xiàng)正確）

1.（3分）-5的絕對值是（）

A.AB.」C.+5D.-5

55

2.（3分）下列各個圖形中，三個視圖都一樣的圖形是（）

A.三棱柱B.圓錐C.圓柱D.球

3.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A.=2B.?（-2）2=-2C2^3-3^3=-V3D.-1）2=1

4.（3分）不等式組lxy,。的解集是（）

x-3<0

A.JC>1B.x<3C.l<x<3D.無解

5.（3分）如圖，a//b,ZVIBC為等邊三角形，若Nl=45°,則/2的度數(shù)為（）

A.105°B.120°C.75°D.45°

6.（3分）若正多邊形的一個外角等于45°,則這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A.六B.七C八D,九

7.（3分）為了解某種電動汽車一次充電后行駛的里程數(shù)，抽檢了10輛車，對一次充電后

行駛的里程數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖所示，則在這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.220,220B.210,215C.210,210D.220,215

8.（3分）關(guān)于x的一元二次方程以2-2》+1=0有實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍是（）

A.a>\B.a<lC.aWl且aWOD.a<l且aWO

9.（3分）如圖，在RtzMBC中，ZACB=90°,按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意

長為半徑作弧，分別交a4、BC于M、N兩點(diǎn)；②分別以M、N為圓心，以大于的

2

長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P;③作射線BP,交邊AC于。點(diǎn).若4B=10,BC=6,

則線段CD的長為（）

A.3B.妝C.&D.也

335

10.（3分）如圖，A、B兩地相距20千米，甲、乙兩人都從A地去8地，如圖，人和/2分

別表示甲、乙兩人所走路程s（千米）與時間f（小時）之間關(guān)系圖象，下列說法：①乙

晚出發(fā)1小時;②乙出發(fā)后3小時追上甲;③甲的速度是4千米/時;④乙比甲先到8地.其

中正確的說法是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）方程1=3的解為.

x-l2x+l

12.（3分）在一個不透明袋子中有2個紅球和4個藍(lán)球，它們除顏色外無其他差別，將其

搖勻，從袋中隨機(jī)取出1個是藍(lán)球的概率是.

13.（3分）如圖所示.在矩形A8CD中，AB=2.BD=4,則度.

B

14.（3分）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,

問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每

人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為），元，

根據(jù)題意可列方程組.

15.（3分）如圖，在。ABC。中，AD=^-AB,NBA￡）=45°,以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑畫

3

弧交48于點(diǎn)E,連接CE,若AB=3近,則圖中陰影部分的面積是.

--------------

八EB

16.（3分）如圖，ABC。是矩形紙片，翻折ZD,使8C,恰好落在AC上.設(shè)F,

H分別是3,。落在上的兩點(diǎn)，E,G分別是折痕CE,AG與A8,C￡＞的交點(diǎn)，若A8=

8c7%,BC=6cm,則b”的長為cm.

D,..G_______C

K'ME''"\B

三、解答題（本題共4小題，其中17題9分，18、19、20題各10分，共39分）

2_.

17.（9分）計(jì)算：

a+2a2+4a+4

18.（10分）某市舉行“傳承好家風(fēng)”征文比賽，已知每篇參賽征文成績記〃？分（60WmW

100）,組委會從1000篇征文中隨機(jī)抽取了部分參賽征文，統(tǒng)計(jì)了它們的成績，并繪制了

如下不完整的兩幅統(tǒng)計(jì)圖表.征文比賽成績頻數(shù)統(tǒng)計(jì)分布表征文比賽成績頻數(shù)分布直方

圖，請根據(jù)以上信息，回答下列問題.

(1)a=,b=

（2）若80分以上的征文將被評為一等獎，估計(jì)全市獲得一等獎?wù)魑牡钠獢?shù).

分?jǐn)?shù)段頻數(shù)百分?jǐn)?shù)

60</n<7038%

70Ww<80a32%

80W，〃V90bc

90W，*V10010%

合計(jì)100%

征文比賽成績頻數(shù)分布直方圖

19.（10分）如圖，在菱形A8CD中，點(diǎn)、M、N分別在AS、CB±,且BM=BN,求證:

DM=DN.

20.（10分）為了更好地保護(hù)環(huán)境，治污公司決定購買若干臺污水處理設(shè)備.現(xiàn)有A、B兩

種型號的設(shè)備，已知購買1臺A型號設(shè)備比購買1臺8型號設(shè)備多5萬元，購買2臺A

型號設(shè)備和3臺3型號設(shè)備共45萬元.求每臺A、B型號設(shè)備的價格是多少萬元？

四、解答題（本題共3小題，其中21題9分，22、23題各10分，共29分）

21.（9分）小明要把一篇文章錄入電腦，完成錄入的時間），（分）與錄入文字的速度x（字

/分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）小明在19：20開始錄入，要求完成錄入時不超過19：35,小明每分鐘至少應(yīng)錄入

多少個字？

22.（10分）如圖，是某市在城區(qū)河道上新建成的一座大橋，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在一次數(shù)學(xué)

實(shí)踐活動中對橋墩的高度進(jìn)行了測量，測得斜坡8c長為50米，/CBE=30°,在斜坡

頂端C處水平地面上以36kmM的速度行走半分鐘到達(dá)點(diǎn)D,在點(diǎn)D處測得橋墩最高點(diǎn)

A的仰角為34°.

（1）水平地面8長為米;

（2）求橋墩A3的高（結(jié)果保留1位小數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin34°弋0.56,cos34°七0.83,

tan34°-0.68,百Q(mào)1.73）

23.（10分）△ABC內(nèi)接于。0,AB=AC,射線AO切于點(diǎn)A,過點(diǎn)B作B/〃AC,交

OO于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F.

（1）如圖1,求證：四邊形AC8F為平行四邊形；

（2）如圖2,連接CE,延長2。交樣的延長線于點(diǎn)G,BC=6,CE=3A/10,求8c的

長.

圖1圖2

五、解答題（本題共3小題，其中24、25題各11分，26題12分，共34分）

24.（11分）如圖，在△ABC中，AB=BC,AO_LBC于點(diǎn)。，AD=3cm,BD=4DC,點(diǎn)P

是AB邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)4,8重合），過點(diǎn)P作PQ_LBC于點(diǎn)Q,點(diǎn)M在射線

QC上，且QW=BQ.設(shè)8Q=xcm,△PQM與△A8O重疊部分的面積為Sc/.

（1）求A8的長；

（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量尤的取值范圍.

25.（II分）綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在△ABC中，點(diǎn)。在AC

邊上，AE_LB。于尸交8C于E,ZABD^2ZCAE.求證

獨(dú)立思考：（1）請解答王師提出的問題.

實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面條件，并提出新問題，

請你解答.“如圖2,作EGLAC于點(diǎn)G,若AE=BD,探究線段4。與CE之間的數(shù)量關(guān)

系，并證明

問題解析：（3）數(shù)學(xué)活動小組同學(xué)對上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。

重合時，連接CF,若給出力E的值，則可求出CF的值.該小組提出下面的問題，請你

解答

如圖3,在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)G重合時，連接CF,若DE=F）,求CF的長”.

圖1圖2圖3

26.（12分）如圖，拋物線y=-?+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（-3,0）和點(diǎn)8,與），軸交于點(diǎn)

C,拋物線的頂點(diǎn)為D

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸在直線AC上方的拋物線上，且點(diǎn)P到直線AC的距離為顯旦,

求點(diǎn)P的坐

8

標(biāo)；

(3)點(diǎn)Q在拋物線上，且NQC4=NCA￡>,求點(diǎn)。坐標(biāo).

2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)模擬試卷

（參考答案與詳解）

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一個選項(xiàng)正確）

1.（3分）-5的絕對值是（）

A.AB.」C.+5D.-5

55

【解答】解:|-5|=5.

故選：C.

2.（3分）下列各個圖形中，三個視圖都一樣的圖形是（）

A.三棱柱B.圓錐C.圓柱D.球

【解答】解：4、三棱柱的主視圖和俯視圖是矩形，左視圖是三角形，故本選項(xiàng)不合題意;

8、圓錐的主視圖和左視圖是三角形，俯視圖是帶有圓心的圓，故本選項(xiàng)不合題意；

C、圓柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是圓，故本選項(xiàng)不合題意；

。、球的三視圖都是圓，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

3.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A.=2B.4（-2）2=-2C.2^3-3V3=-^3D.（-^2-1）2=1

【解答】解：A.根據(jù)立方根的定義，話行=.2,那么A錯誤，故A不符合題意.

8.根據(jù)算術(shù)平方根的定義，V（-2）2=V4=2>那么8錯誤，故B不符合題意.

C.根據(jù)二次根式的減法法則，2^-3點(diǎn)=一舊，那么C正確，故C符合題意.

D.根據(jù)完全平方公式，（&_。2=2+12&=3-2&，那么O錯誤，故。不符合題

意.

故選：C.

4.（3分）不等式組的解集是（）

,x-3<0

A.x>\B.x<3C.l<x<3D.無解

【解答】解：由X-1>0,得x>l,

由x-3<0,得x<3,

不等式組的解集為l<x<3.

故選：C.

5.（3分）如圖，a//b,AABC為等邊三角形，若21=45°,則N2的度數(shù)為（）

A.105°B.120°C.75°D.45°

【解答】解：:△ABC為等邊三角形，

ZACB=60°,

VZ1=45°,

.?./l+/AC8=105°,

'：a//b,

，N2=/l+/ACB=105°.

故選：A.

6.（3分）若正多邊形的一個外角等于45°,則這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A.六B.七C.八D.九

【解答】解：任意多邊形的外角和是360°,

因?yàn)槎噙呅问钦噙呅危?/p>

所以多邊形的每個外角相等等于45°,

則多邊形的邊數(shù)是：3600+45°=8.

故選：C.

7.（3分）為了解某種電動汽車一次充電后行駛的里程數(shù)，抽檢了10輛車，對一次充電后

行駛的里程數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖所示，則在這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

D.220,215

【解答】解：數(shù)據(jù)210出現(xiàn)了4次，最多，

故眾數(shù)為210,

共10輛車，排序后位于第5和第6位的數(shù)分別為210,220,

故中位數(shù)為（210+220）4-2=215.

故選：B.

8.（3分）關(guān)于x的一元二次方程以2-2x+l=0有實(shí)數(shù)根，則“的取值范圍是（）

A.a>\B.a<\C.且a#0D.a<l且a#0

【解答】解：???關(guān)于x的一元二次方程--右+1=0有實(shí)數(shù)根，

；.△=（-2）2-4乂6120且40,

解得aW1且aWO,

故選：C.

9.（3分）如圖，在RtZXABC中，NACB=90°,按以下步驟作圖：①以8為圓心，任意

長為半徑作弧，分別交在4、BC于M、N兩點(diǎn)；②分別以M、N為圓心，以大于2MN的

2

長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P;③作射線BP,交邊AC于。點(diǎn).若AB=10,BC=6,

則線段CD的長為（）

【解答】解：由作法得8。平分/ABC,

過D點(diǎn)作DE1.AB于E,如圖，則DE=DC,

在中

RtAABC，AC=^AB2_BC2=J10r=8,

*.*SMBD+SABCD=S〉A(chǔ)BC,

：.X-DEX10+A?CDX6=AX6X8,

222

即5CD+3CD=24,

：.CD^3.

故選：A.

10.（3分）如圖，A、8兩地相距20千米，甲、乙兩人都從A地去B地，如圖，/|和/2分

別表示甲、乙兩人所走路程s（千米）與時間r（小時）之間關(guān)系圖象，下列說法：①乙

晚出發(fā)1小時;②乙出發(fā)后3小時追上甲;③甲的速度是4千米/時;④乙比甲先到B地.其

中正確的說法是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

【解答】解：由函數(shù)圖象可知，乙比甲晚出發(fā)1小時，故①正確；

乙出發(fā)3-1=2（小時）后追上甲，故②錯誤；

甲的速度為：12+3=4（千米/小時），故③正確;

乙的速度為：12+（3-1）=6（千米/小時）,

則甲到達(dá)B地用的時間為：204-4=5（小時）,

乙到達(dá)B地用的時間為：20+6=」與（小時）,

3

也=旦＜5,

33

.?.乙先到達(dá)B地，故④正確；

...正確的說法為：①③④,

故選:B.

二、填空題(本題共6小題，每小題3分，共18分)

11.(3分)方程1=3的解為尸4.

x-l2x+l

【解答】解：方程兩邊同時乘以最簡公分母(x-1)(2x+l)得，

2x+l=3(x-1),

解得x=4,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時，最簡公分母(x-1)(2x+l)W0,

故原方程的解為x=4.

故答案為：x=4.

12.(3分)在一個不透明袋子中有2個紅球和4個藍(lán)球，它們除顏色外無其他差別，將其

搖勻，從袋中隨機(jī)取出1個是藍(lán)球的概率是2.

【解答】解：???不透明袋子中有2個紅球和4個藍(lán)球，共有6個球，

從袋子中隨機(jī)取出1個球是藍(lán)球的概率是匡金；

63

故答案為：1.

3

13.(3分)如圖所示.在矩形A3CD中，AB=2.BD=4,則NAOQ=120度.

【解答】解：?四邊形ABC。是矩形,

：.AC=BDfOA=LC,OB=LBD,

22

：.OA=OBf

VBD=4,AB=2f

：.OB=OA=AB=2,

??.△AOB是等邊三角形,

AZAOB=60°,

AZAOD=120°.

故答案為：120.

14.(3分)《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,

問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每

人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為尤人，羊價為y元，

根據(jù)題意可列方程組_（5x+45=y_.

―（7x+3=y-

【解答】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人.羊價為y元，

依題意，得：儼+45=y.

|7x+3=v

故答案為:儼+45=y.

I7x+3=v

15.（3分）如圖，在。A8CO中，40=248,ZBAD=45°,以點(diǎn)A為圓心、AO為半徑畫

3

弧交A8于點(diǎn)E,連接CE,若AB=3五,則圖中陰影部分的面積是5-TT.

【解答】解：過點(diǎn)。作于點(diǎn)F,

'：AD=^AB,NBAD=45°,AB=3五,

3

."0=2x3加=2點(diǎn)，

3

：.DF=ADsin45Q=2&X返_=2,

2

,:AE=AD=25

:.EB=AB~AE=M，

:?S用影=SoA8CQ-S扇形

=3近X2-里兀*(2企乃.-JiX&X2

3602

=5-\[2■TT,

故答案為：5,^2-TT.

16.（3分）如圖，4BCD是矩形紙片，翻折NB,ND,使BC,4。恰好落在4c上.設(shè)廠,

”分別是B,。落在上的兩點(diǎn)，E,G分別是折痕CE,AG與43,C。的交點(diǎn)，若AB=

8cw,BC=6cm,則FH的長為2cm.

【解答】解：?.?四邊形ABC。是矩形，

.".AD=BC=6cm,ZB=90°,

；?AC=VAB2+BC2=7S2+62=io(cM,

由折疊性質(zhì)知，CF=BC=6cm,AH=AD=6cm,

'：FH=CF-CH=CF-(AC-AH)=2cm，

故答案為：2.

三、解答題(本題共4小題，其中17題9分，18、19、2()題各10分，共39分)

2_.

17.(9分)計(jì)算：(1--)

a+2a+4a+4

2,

【解答】解：(1—^-)4--^-—

a+2a2+4a+4

=a+2-a.(a+2)2

a+2(a+2)(a-2)

=2

17r

18.(10分)某市舉行“傳承好家風(fēng)”征文比賽，已知每篇參賽征文成績記”?分(60<mW

100),組委會從1000篇征文中隨機(jī)抽取了部分參賽征文，統(tǒng)計(jì)了它們的成績，并繪制了

如下不完整的兩幅統(tǒng)計(jì)圖表.征文比賽成績頻數(shù)統(tǒng)計(jì)分布表征文比賽成績頻數(shù)分布直方

圖，請根據(jù)以上信息，回答下列問題.

(1)a=32,b=20,c=20%；

(2)若80分以上的征文將被評為一等獎，估計(jì)全市獲得一等獎?wù)魑牡钠獢?shù).

分?jǐn)?shù)段頻數(shù)百分?jǐn)?shù)

60Wwt<7038%

70Ww<80a32%

80W，〃V90bc

90</n<10010%

合計(jì)100%

征文比賽成績頻數(shù)分布直方圖

【解答】解：(1)由題意知，樣本容量為38?38%=100,

所以”=100X32%=32,

則4=100-(38+32+10)=20,

所以c=20+I00X100%=20%,

故答案為：32、20、20%；

(2)1000X(20%+10%)=300(篇)，

答：估計(jì)全市獲得一等獎?wù)魑牡募s為300篇.

19.(10分)如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)M、N分別在AB、CB上，且BM=BN,求證:

DM=DN.

【解答】證明：：四邊形A2CO為菱形,

：.AD=CD=AB=BC,ZA=ZC.

BM=BN,

：.AB-BM=BC-BN,

即AM=CN,

在△AM。和△CN。中，

'AM=CN

■ZA=ZC>

AD=CD

:.AAMD^/XCND（SAS）,

：.DM=DN.

20.（10分）為了更好地保護(hù)環(huán)境，治污公司決定購買若干臺污水處理設(shè)備.現(xiàn)有A、8兩

種型號的設(shè)備，已知購買1臺A型號設(shè)備比購買1臺B型號設(shè)備多5萬元，購買2臺A

型號設(shè)備和3臺8型號設(shè)備共45萬元.求每臺A、8型號設(shè)備的價格是多少萬元？

【解答】解：設(shè)每臺A型號設(shè)備的價格是x萬元，每臺8型號設(shè)備的價格是y萬元，

依題意得：『-丫=5,

I2x+3y=45

解得」x=12

Iy=7

答：每臺A型號設(shè)備的價格是12萬元，每臺B型號設(shè)備的價格是7萬元.

四、解答題（本題共3小題，其中21題9分，22、23題各10分，共29分）

21.（9分）小明要把一篇文章錄入電腦，完成錄入的時間〉（分）與錄入文字的速度x（字

/分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖.

（1）求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）小明在19：20開始錄入，要求完成錄入時不超過19：35,小明每分鐘至少應(yīng)錄入

多少個字？

Ay（分）

10

1

---0-------------------1-5-0-------------2--（?字/分）

【解答】解：（D設(shè)〉=上，

X

把（150,10）代入y=K得，10=，_,

X150

"=1500,

.??y與x的函數(shù)表達(dá)式為

X

(2)???當(dāng)y=35-20=15時，元=100,

,：k>0,

在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，

小明錄入文字的速度至少為100字/分，

答：小明每分鐘至少錄入100個字.

22.（10分）如圖，是某市在城區(qū)河道上新建成的一座大橋，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在一次數(shù)學(xué)

實(shí)踐活動中對橋墩的高度進(jìn)行了測量，測得斜坡BC長為50米，NCBE=30°,在斜坡

頂端C處水平地面上以36kmih的速度行走半分鐘到達(dá)點(diǎn)D,在點(diǎn)D處測得橋墩最高點(diǎn)

A的仰角為34°.

（1）水平地面長為米；

（2）求橋墩A8的高（結(jié)果保留1位小數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin34°^0.56,cos34°七0.83,

tan34°七0.68,收比1.73）

【解答】解：（1）?：36kmlh=\mls,

/.CD=IX30=30（米）；

（2）延長。C交A8于點(diǎn)H,如圖所示：

,CDC//BE,NCBE=30°,

：.ZBCH=ZCBE=30°,NAHD=NBHD=90°,

在RtZkCB”中，cosNBC〃=l^=返，sin/BC4=@=]

_BC2BC2

AX50=25V3（米），

22

BH=^.x50=25（米），

：.DH=HC+CD=（25V3+30）米，

?.?/AZ）H=34°,

/.tanZADH==tan34°,

DH

.*.4〃=OH?tan34°,

：.AB=^AH+BH=（25我+30）?tan34°+25F4.8（米）.

23.(10分)ZVIBC內(nèi)接于(DO,AB=AC,射線A。切。。于點(diǎn)A,過點(diǎn)8作B尸〃AC,交

。0于點(diǎn)E,交4力于點(diǎn)尺

(1)如圖1,求證：四邊形ACBF為平行四邊形；

(2)如圖2,連接CE,延長80交心的延長線于點(diǎn)G,BC=6,CE=34W，求8c的

長.

連接AO并延長交BC于點(diǎn)H,

t：AB=AC,

???弧48=弧4。,

?.?AH經(jīng)過圓心0,

；?AH_LBC,

???AO切OO于點(diǎn)A,

：.AOA-AD9

C.AD//BC,

\'BF//AC,

:?四邊形ACB尸為平行四邊形;

(2)解：?:BF"A3

：.ZABF=NBAC,

???引RAE=^BC,

...弧48=弧EC,

：.EC=AB=3-/1Q>

?；BH=、BC=3,

2

：.AH=9,

設(shè)半徑Q4=0B=x,則0H=9-x,

在RtZSOBH中，根據(jù)勾股定理得，

32+(9-x)2—JT,

0H=4,

"：AG//BH,

:.△AOGS/\HOB,

.0G=AO

??麗麗’

?0G=5

：.OG=①，

4

；.BG=OB+OG=5+2^=至.

44

五、解答題（本題共3小題，其中24、25題各11分，26題12分，共34分）

24.（11分）如圖，在△ABC中，AB=BC,A￡）J_BC于點(diǎn)。，AD=3cm,BD=4DC,點(diǎn)、P

是A8邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合），過點(diǎn)P作PQ,8c于點(diǎn)Q,點(diǎn)M在射線

QC上，且QM=B。.設(shè)BQ=x。"，△PQM與△42。重疊部分的面積為ScwA

（1）求A3的長；

（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍.

【解答】解：(1)設(shè)CO=xcm,則80=4x52,BC=BD+CD=5xcm,

?：AB=BC,

J.AB=5xcm,

TADLBC,

222

.\AD+BD=ABf

/.32+(4x)2=(5x)2,

Vx>0,

.,.AB—5cm；

(2)由(1)知：BO=4""，

■:PQLBC,ADLBC,

：.PQ//AD,

:.△PBQsXABD,

.PQ_BQ

*'AD'BD"

：.PQ=^c,

?：QM=BQ,

：.當(dāng)0<xW2時，△PQM與AABD重疊部分的面積為△PQM的面積,

：.s=^XQM'PQ,

2

*.*QM=BQ,BQ=xcm,

：.s=^x2(0<xW2)；

8

當(dāng)2cxV4時，

設(shè)PM與A￡>交與點(diǎn)N,如圖，

■:QM=BQ,BQ=xcm,

：.BM=2BQ=2xcm,DM=MB-BD=(2x-4)cm,

:PQLBC,AD±BC,

：.PQ//AD,

:.△MNDs^MPQ,

.ND_DM

"PQ"MQ'

?幽=2x-4

,,3

：.ND^^-x-3,

2

..S—S^PMQ-S^MND——_—X(2x-4)(m-3).

2422

2(0<X<2)

X2+6X-6(2<x<4)

問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在aABC中，點(diǎn)。在4c

邊上，AE_LB。于尸交BC于E,ZABD=2ZCAE.求證4B=B力.

獨(dú)立思考：（1）請解答王師提出的問題.

實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面條件，并提出新問題，

請你解答.“如圖2,作EG_LAC于點(diǎn)G,若AE=B。，探究線段4力與CE之間的數(shù)量關(guān)

系，并證明

問題解析：（3）數(shù)學(xué)活動小組同學(xué)對上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。

重合時，連接CF,若給出OE的值，則可求出CF的值.該小組提出下面的問題，請你

解答."

如圖3,在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)G重合時，連接C凡若DE=通,求CF的長”.

A

A

A

圖1圖2圖3

【解答】（1）證明：如圖1,

圖1

VAE1BD,

AZAFB=ZAFD=90°,

???NA8O+N8A/=90°,NC4E+NAO8=90°,

???ZABD=2ZCAE,

：.ZBAF=90°-2ZCAE,ZADB=90°-NC4E,

,/NBAD=NBAF+NCAE,

：.ZBAD=90°-ZCAE,

??./ADB=/BAD,

；?AB=BD.

(2)解：AD=?CE,理由如下：

過點(diǎn)8作8”_L4c于H,如圖2,

則N8〃A=N3〃O=9(r,

由(1)得：AB=BD,

:?AD=2DH,/ABD=2/DBH,

*//ABD=2NCAE,

:?/CAE=/DBH,

VEG1AC,

ZAGE=ZCGE=90",

???ZAGE=NBHD,

■:AE=BD,

：./\AEG^/\BDH（AAS）,

:?EG=DH,

：.AD=2EG,

設(shè)NC4E=0,則NA3O=20,

?：AB=BD,

：.ZBAD=4BDA=照二-/拗=」g0°-,

22

?：AE=BD,AB=BD,

AE=AB

：.ZABE=N4E3=180°—NBAE,

2

VZBAE=90°-ZABD=90°-2p,

???NAE8=?。-（90。-26）=45。+p,

2

VNAEB=NC+NCAE,

A45°+p=ZC+p,

???NC=45°,

VZCGE=90°,

/.^2.=sinC=sin45°

CE2

：.EG=^-CE,

2_

：.AD=2X亞CE=6CE.

2

（3）解：如圖3,過點(diǎn)8作B〃_L4C于"，過點(diǎn)尸作尸K_LAC于K,

A

由(2)知：AD=2EG,

:點(diǎn)。與點(diǎn)G重合，EGLAC,

：.AD=2DE=2CD,ZADE=90°,

,:DE=Q

：.CD=y/5>AD=2底,

A/l￡=VAD2+DE2=V(2V5)2+(V5)2=5'

VAE±BD,

：.AE^DF=AD^Ef即5OF=2述義遙，

：.DF=2,

/MF=VAD2-DF2=V(2V5)2-22=4>

VFXTIAC,

：?/DKF=90°=ZAFD,

VZFDK=ZADF,

:.ADFKSRDAF,

.FK-DK-DFnnFK_DK_2

AFDFAD422^5

：.FK=a,5_,DK=^H-,

55

CK=CD+DK=\[^+^f^-=W'H,

55

26.(12分)如圖，拋物線