河北省秦皇島市曹東莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

河北省秦皇島市曹東莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.我們可以用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)π的值，如圖示程序框圖表示其基本步驟（函數(shù)RAND是產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù)，它能隨機(jī)產(chǎn)生(0,1)內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù)）．若輸出的結(jié)果為786，則由此可估計(jì)π的近似值為（

）A．3.126 B．3.144 C．3.213 D．3.151參考答案：B2.點(diǎn)A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD兩兩垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，則該球的表面積為（）A．7π B．14π C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】三棱錐A﹣BCD的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以把它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它也外接于球，對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，然后解答即可．【解答】解：三棱錐A﹣BCD的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以把它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它也外接于球，對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，d==，它的外接球半徑是，外接球的表面積是4π（）2=14π故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積，考查學(xué)生空間想象能力，是基礎(chǔ)題．3.四面體ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A．25p B．45p

C．50p D．100p參考答案：4.某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為，則它的表面積是（

）A．

B．C．

D．參考答案：A5.若a為實(shí)數(shù)，＝－i，則a等于（A）

（B）－

（C）2

（D）－2參考答案：答案：B解析：若a為實(shí)數(shù)，＝－i，則，a=－，選B。6.復(fù)數(shù)(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：B，選B.7.如圖，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，分別按逆時(shí)針方向沿周長(zhǎng)均為12的正三角形、正方形運(yùn)動(dòng)一周，兩點(diǎn)連線的距離與點(diǎn)P走過的路程的函數(shù)關(guān)系分別記為，定義函數(shù)對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是①.

②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.③函數(shù)值域?yàn)?

④函數(shù)增區(qū)間為.A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C8.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是A． B． C．

D．參考答案：A9.在△ABC中，，，，設(shè)點(diǎn)D、E滿足，，若，則（

）A. B.2 C. D.3參考答案：D【分析】將表示為利用數(shù)量積計(jì)算求解即可【詳解】因?yàn)?，則，所以.由已知，，則.選.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，考查數(shù)量積的運(yùn)算，熟記定理，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題10.已知，，則A∩B=A.[3,10) B.(4,7) C.[7,10) D.[3,4]參考答案：B【分析】由一元二次不等式解出集合，根據(jù)集合交集的定義即可求得?！驹斀狻坑?，得，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解以及集合交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)y=的圖象上存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且斜邊的中點(diǎn)恰好在y軸上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 參考答案：（0，]【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)．設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（﹣t，t3+t2），運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=（x+1）lnx（x≥e），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得最值，即可得到a的范圍．【解答】解：假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求， 則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)． 不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0）， 則Q（﹣t，t3+t2）， ∵△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形， ∴=0， 即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*） 若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q； 若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q． 若0＜t＜e，則f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0 即t4﹣t2+1=0，而此方程無解，因此t≥e，此時(shí)f（t）=alnt， 代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0， 即=（t+1）lnt（**） 令h（x）=（x+1）lnx（x≥e）， 則h′（x）=lnx+1+＞0， ∴h（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞增， ∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1， ∴h（t）的取值范圍是[e+1，+∞）． ∴對(duì)于0＜a≤，方程（**）總有解，即方程（*）總有解． 故答案為：（0，]． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，注意向量垂直條件的運(yùn)用和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查構(gòu)造法和函數(shù)的單調(diào)性運(yùn)用，屬于中檔題． 12.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣12

34

5

67

8

9

1011

12

13

14

15………根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n（n≥3）行的從左至右的第3個(gè)數(shù)是_______．參考答案：

13.已知直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b切于點(diǎn)（1，3），則a，b的值分別為

．參考答案：﹣1和3【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】因?yàn)椋?，3）是直線與曲線的交點(diǎn)，所以把（1，3）代入直線方程即可求出斜率k的值，然后利用求導(dǎo)法則求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=1代入導(dǎo)函數(shù)中得到切線的斜率，讓斜率等于k列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，然后把切點(diǎn)坐標(biāo)和a的值代入曲線方程，即可求出b的值．解：把（1，3）代入直線y=kx+1中，得到k=2，求導(dǎo)得：y′=3x2+a，所以y′|x=1=3+a=2，解得a=﹣1，把（1，3）及a=﹣1代入曲線方程得：1﹣1+b=3，則b的值為3．故答案為：﹣1和3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，是一道基礎(chǔ)題．14.在等比數(shù)列{an}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，則a2=

．參考答案：3【考點(diǎn)】集合的含義；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)，a3a6=a4a5，結(jié)合已知條件求解即可．【解答】解：在等比數(shù)列{an}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，∵a3a6=a4a5，∴a2×9=27，∴a2=3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．15.下列四種說法：

（1）命題：“存在”的否定是“對(duì)任意”。

（2）若直線a、b在平面α內(nèi)的射影互相垂直，則

（3）已知一組數(shù)據(jù)為20、30、40、50、60、70，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的大小關(guān)系是：眾數(shù)>中位數(shù)>平均數(shù)。

（4）已知回歸方程則可估計(jì)x與y的增長(zhǎng)速度之比約為

（5）若A（-2，3），B（3，-2），三點(diǎn)共線，則m的值為2。

其中所有正確說法的序號(hào)是

。參考答案：(1)（3）（4）略16.已知，則中共有項(xiàng)．參考答案：17.數(shù)列滿足：，則=_______；若有一個(gè)形如的通項(xiàng)公式，其中A,B,,均為實(shí)數(shù)，且，，，則此通項(xiàng)公式可以為=_______（寫出一個(gè)即可）.參考答案：答案：2，（）

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題共12分，第Ⅰ問4分，第Ⅱ問8分）已知數(shù)列滿足遞推式：．(Ⅰ)若，求與的遞推關(guān)系（用表示）；(Ⅱ)求證：．參考答案：（Ⅰ）

①代入①式得即．（Ⅱ）對(duì)分奇數(shù)與偶數(shù)討論：，則，則；又．綜上所述，原不等式成立．19.設(shè).

（1）.求得單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）.把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再把得到的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,有零點(diǎn)，求m的范圍；參考答案：1.由

由得

所以,的單調(diào)遞增區(qū)間是,(或)

2.由1知的圖象,

把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),

得到的圖象,

再把得到的圖象向左平移個(gè)單位,得到的圖象,

即,

所以

20.(本小題滿分12分）已知向量，.（1）當(dāng)∥時(shí)，求的值；（2）求在上的值域..參考答案：（1）∵∥，∴，

………………3分∴，

………………6分（2）∵，∴，………8分∵，∴，∴，

……10分∴，∴函數(shù)的值域?yàn)?…………12分21.設(shè)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn=﹣3n2，{bn}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)；（2）若cn=，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn，求證：＜1．參考答案：見解析【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合．【分析】（1）由已知得a1=﹣3，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（﹣3n2+3（n﹣1）2=﹣6n+3，由此能求出an=﹣6n+3；由已知得，由此能求出bn=2n+1．（2），由此利用裂項(xiàng)求和法能證明＜1．【解答】（1）解：∵數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn=