數(shù)分課堂課件第一章

數(shù)學(xué)分析（習(xí)題集+指導(dǎo)書(shū)）25元地點(diǎn)：圖書(shū)館西配樓506時(shí)間：本周六日§1.2數(shù)列和數(shù)列極限數(shù)列的定義:按自然數(shù)1,2,3,編號(hào)依次排列的一列數(shù)x1

,

x2

,,

xn

,

(1)稱(chēng)為無(wú)窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)列.其中的每個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的項(xiàng),xn

稱(chēng)為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).數(shù)列(1)記為{xn

}.數(shù)列極限的定義及數(shù)學(xué)描述如果對(duì)于任意給定的正數(shù)e(不論它多么小),總存在正整數(shù)N

,使得對(duì)于n

>N

時(shí)的一切xn

,不等式xn

-a

<e都成立,那末就稱(chēng)常數(shù)

a

是數(shù)列{xn

}的極限,或者稱(chēng)數(shù)列{xn

}收斂于a

,記為nfi

￥lim

xn

=a,

或xn

fi

a

(n

fi

￥

)."e

>0,$N

>0,使n

>N時(shí),恒有xn

-a

<e.=

1.n

+

(-1)n-1例1

證明limnfi

￥注意：

數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.分析：

（構(gòu)造出來(lái)）方法：倒推法；為保證

an思路：驗(yàn)證定義；關(guān)鍵

是N存在性！n-a

<e,n取多大？n-

1

=

n

<

en

+

(-1)n-1

1"

e

>

0,為使

an

-

a

=ee只要取n

>1

,取N

=1

即可.一、收斂數(shù)列的性質(zhì)1.

唯一性2.

有界性3.

子列極限一致性4.

不等式性質(zhì)1o

a

<

a

<

b

,

n充分大有a

>

a

;

a

<

b;n

nn

n且a

<

b,

n充分大時(shí)有

a

<

b

;2o3on充分大時(shí)有an

￡

bn

,

那么有a

￡

b.數(shù)列{sin

n}是發(fā)散的n+1比如：數(shù)列xn

=

(-1)

是發(fā)散的.bnnfi

￥

ba

a(2)

lim[an

bn

]

=

a

b;(3)

lim

n

=

,nfi

￥lim[an

–

bn

]

=

a

–

b;nfi

￥其中b

?0.設(shè)lim

an

=a,lim

bn

=b,則(1)nfi

￥

nfi

￥二、極限的四則運(yùn)算注：只對(duì)有限時(shí)成立對(duì)無(wú)限時(shí)不成立用歸納法對(duì)n

=1成立，設(shè)對(duì)n

=k成立,則n

=k

+1時(shí)a1

+

a2

+

+

ak

+1

=

(a1

+

a2

+

+

ak

)

+

ak

+1n

n

n

n

n

n

n=

b

+

ak

+1

=

n

n這說(shuō)明對(duì)"k

?

N成立是否說(shuō)明對(duì)k趨于無(wú)窮也成立?三、夾逼準(zhǔn)則(兩邊夾法則)定理

7

如果數(shù)列{

xn

},

{

yn

}及{zn

}滿(mǎn)足條件:yn

￡

xn

￡

zn

(n

=

1,2,3)lim

yn

=

a,

lim

zn

=

a,nfi

￥

nfi

￥那么數(shù)列{

xn

}的極限存在,

且lim

xn

=

a.nfi

￥閉區(qū)間套定理定理2設(shè)I

=

[a

,

b

],

n

?

N*

,In+1n

n

nI1

I2

I3

In

.￥lim

an

=

lim

bn

=

x0

.nfi

￥nfi

￥如果這一列區(qū)間的長(zhǎng)度|

In

|=

bn

-

an

fi

0

(n

fi

￥

),那么交集

In含有唯一的一點(diǎn).n=1即：$唯一x0

?

R，使x0

位于所有閉區(qū)間之中，此時(shí)定理1

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.§1.6

自然對(duì)數(shù)底esn=

1

+

1

+

1

+

1

+

+

1

,

n

?

N*1!

2!

3!

n!nne

=

(1

+

1

)n

,e為無(wú)理數(shù)*二、柯西基本列定義

對(duì)給定數(shù)列{

xn

},

如"

e

>

0,

$N

?

N

,s.t當(dāng)m,n

?

N*且m,n

>N時(shí)，都有xm

-

xn<e，則稱(chēng){xn

}為基本列."e

>0,

$N

?

N*

,當(dāng)n

>N時(shí),對(duì)一切

p

?

N*

,

有

x

-

x

<

e.n+

p

n一、列緊性定理（Bolzano