6-1二次型及其矩陣表示 矩陣合同

第一節(jié)二次型矩陣合同線性代數(shù)6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形定義稱為二次型.（我們僅討論實(shí)二次型）。6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1對(duì)二次型二、二次型的矩陣表示6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同16_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1由一個(gè)二次型可對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)稱矩陣A,且A唯一.6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1如二次型用矩陣記號(hào)寫出來就是6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1作一個(gè)階對(duì)稱矩陣顯然由矩陣A可確定一個(gè)二次型：6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1

在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與一個(gè)對(duì)角陣一一對(duì)應(yīng).反之，任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型。所以二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1解6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1解:6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1例3已知二次型的秩為2，求參數(shù)由的秩為2知解之得c＝3解：二次型的矩陣為6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1三、線性變換實(shí)二次型的基本問題是研究如何把一個(gè)復(fù)雜的二次型通過適當(dāng)?shù)木€性變換化為比較簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)形,使問題得到簡(jiǎn)化。線性變換的定義的一個(gè)線性變換。線性變換也可記為6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1稱為該線性變換的矩陣.其中6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1解:方法一將線性關(guān)系直接代入.求新二次型.6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1方法二二次型的矩陣6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1證明:即為對(duì)稱矩陣.如果對(duì)二次型進(jìn)行滿秩變換:6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1說明6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1四、矩陣的合同二次型的矩陣與二次型的矩陣是什么關(guān)系?定理2若矩陣合同,則等價(jià),且6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1合同關(guān)系具有以下性質(zhì):反身性任一階矩陣A都與它自己合同,即對(duì)稱性如果方陣合同,則合同.即傳遞性如果方陣合同,合同,則合同.即6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1注意:矩陣的合同關(guān)系是對(duì)任意的階矩陣而言的,并不盡僅僅限于對(duì)稱矩陣.3.任意一個(gè)對(duì)稱矩陣,都與一個(gè)對(duì)角矩陣合同.2.矩陣的相似關(guān)系與合同關(guān)系是不同的.6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1例5設(shè)和為實(shí)對(duì)稱矩陣,則由與相似可推出與合同,反之不然.證明:6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1都是實(shí)對(duì)稱矩陣,但對(duì)任意可逆矩陣故和不相似.這說明在所給條件下,合同不一定相似.取6_1二次型及其矩陣表示矩陣合同1小結(jié)實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問題，在理論和實(shí)際中經(jīng)常遇到，通過在二次型和對(duì)稱矩陣之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為將對(duì)