福建泉州市泉港區(qū)第一中學2024屆數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

福建泉州市泉港區(qū)第一中學2024屆數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“”是“直線與直線垂直”的A.充分必要條件 B.充分非必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件2．若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（）A. B.C. D.3．已知直線，，若，則實數(shù)等于（）A.0 B.1C. D.1或4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于（）A.－2 B.0C.3 D.65．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，已知向量，，且，則A.12 B.10C.5 D.6．已知橢圓的短軸長為8，且一個焦點是圓的圓心，則該橢圓的左頂點為（）A B.C. D.7．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比為q，前n項和為，滿足，且是與的等差中項，則下列選項正確的是（）A. B.C D.8．已知隨圓與雙曲線相同的焦點，則橢圓和雙曲線的離心，分別為（）A. B.C. D.9．若直線先向右平移一個單位，再向下平移一個單位，然后與圓相切，則c的值為（）A.8或-2 B.6或-4C.4或-6 D.2或-810．經(jīng)過兩點直線的傾斜角是（）A. B.C. D.11．在空間直角坐標系中，已知點M是點在坐標平面內(nèi)的射影，則的坐標是（）A. B.C. D.12．若、且，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_____________14．雙曲線的左頂點為，虛軸的一個端點為，右焦點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為__________.15．已知雙曲線C：的一個焦點坐標為，則其漸近線方程為__________16．若函數(shù)在[1，3]單調(diào)遞增，則a的取值范圍___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點為F，直線l過點（1）若點F到直線l的距離為，求直線l的斜率；（2）設A，B為拋物線上兩點，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標為定值18．（12分）在等差數(shù)列中，已知公差，前項和(其中)（1）求；（2）求和：19．（12分）已知橢圓的長軸長是，以其短軸為直徑的圓過橢圓的左右焦點，.（1）求橢圓E的方程；（2）過橢圓E左焦點作不與坐標軸垂直的直線，交橢圓于M，N兩點，線段MN的垂直平分線與y軸負半軸交于點Q，若點Q的縱坐標的最大值是，求面積的取值范圍.20．（12分）某種機械設備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與關系．請用相關系數(shù)加以說明；（精確到0.01）（2）求出關于的線性回歸方程，并估算該種機械設備使用8年的失效費參考公式：相關系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，21．（12分）某校高二年級全體學生參加了一次數(shù)學測試，學校利用簡單隨機抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學的數(shù)學測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.22．（10分）已知圓，圓.（1）試判斷圓C與圓M的位置關系，并說明理由；（2）若過點的直線l與圓C相切，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】先由兩直線垂直求出的值，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結果.【題目詳解】因為直線與直線垂直，則，即，解得或；因此由“”能推出“直線與直線垂直”，反之不能推出，所以“”是“直線與直線垂直”的充分非必要條件.故選B【題目點撥】本題主要考查命題充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線垂直的判定條件即可，屬于常考題型.2、B【解題分析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標準方程.【題目詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B3、C【解題分析】由題意可得，則由得，從而可求出的值【題目詳解】由題意可得，因為，，，所以，解得，故選：C4、A【解題分析】利用已知條件求得，由此求得.【題目詳解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故選：A.5、C【解題分析】利用數(shù)量積運算性質、等比數(shù)列的性質及其對數(shù)運算性質即可得出【題目詳解】向量＝（，），＝（，），且?＝4，∴+＝4，由等比數(shù)列的性質可得：＝……＝＝＝2，則log2（?）＝故選C【題目點撥】本題考查數(shù)量積運算性質、等比數(shù)列的性質及其對數(shù)運算性質，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題6、D【解題分析】根據(jù)橢圓的一個焦點是圓的圓心，求得c，再根據(jù)橢圓的短軸長為8求得b即可.【題目詳解】圓的圓心是，所以橢圓的一個焦點是，即c=3，又橢圓的短軸長為8，即b=4，所以橢圓長半軸長為，所以橢圓的左頂點為，故選：D7、D【解題分析】根據(jù)題意求得，即可判斷AB，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可判斷C；再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可判斷D.【題目詳解】解：因為各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，又因是與的等差中項，所以，即，解得或（舍去），故B錯誤；所以，故A錯誤；所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選：D.8、B【解題分析】設公共焦點為，推導出，可得出，進而可求得、的值.【題目詳解】設公共焦點為，則，則，即，故，即，，故選：B9、A【解題分析】求出平移后的直線方程，再利用直線與圓相切并借助點到直線距離公式列式計算作答.【題目詳解】將直線先向右平移一個單位，再向下平移一個單位所得直線方程為，因直線與圓相切，從而得，即，解得或，所以c的值為8或-2.故選：A10、B【解題分析】求出直線的斜率后可得傾斜角【題目詳解】經(jīng)過兩點的直線的斜率為，設該直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：B11、C【解題分析】點在平面內(nèi)的射影是坐標不變，坐標為0的點.【題目詳解】點在坐標平面內(nèi)的射影為，故點M的坐標是故選：C12、B【解題分析】構造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷AB選項；構造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷CD選項.【題目詳解】對于AB選項，構造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為、且，則，即，A錯B對；對于CD選項，構造函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上不單調(diào)，無法確定與的大小關系，故CD都錯.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】分析：設塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式能求出結果詳解:設塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點睛：本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力.14、【解題分析】根據(jù)雙曲線左頂點和虛軸端點的定義，結合點到直線距離公式、雙曲線的離心率公式進行求解即可.【題目詳解】不妨設在縱軸的正半軸上，由雙曲線的標準方程可知：，右焦點的坐標為，直線的方程為：，因為右焦點到直線的距離為，所以有，即雙曲線的離心率為，故答案為：15、【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義由焦點坐標求出，即可得到雙曲線方程，從而得到其漸近線方程；【題目詳解】解：因為雙曲線C：的一個焦點坐標為，即，，又，所以，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的漸近線為；故答案為：16、【解題分析】由在區(qū)間上恒成立來求得的取值范圍.【題目詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，在上恒成立，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見詳解.【解題分析】（1）設出直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式，即可求得直線；（2）設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達定理，利用直線垂直，從而得到的斜率關系，即可證明.【題目詳解】（1）由條件知直線l的斜率存在，設為，則直線l的方程為：，即從而焦點到直線l的距離為，平方化簡得：，故直線斜率為：.（2）證明：設直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，消元得：設，，線段AB的中點為，故因為，將M點坐標代入后整理得：即可得：故為定值．即證.【題目點撥】本題考查拋物線中的定值問題，涉及直線方程的求解，韋達定理，屬綜合基礎題.18、（1）12（2）18【解題分析】（1）根據(jù)已知的,利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式即可列式求解；（2）由第（1）問中求解出的的通項公式，要求前12項絕對值的和，可以發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列前6項為正項，后6項為負項，因此在算和的時候，后6項和可以取原通項公式的相反數(shù)即可計算，即為，然后再加上前6項和，即為要求的前12項絕對值的和.【小問1詳解】由題意可得，在等差數(shù)列中，已知公差，前項和所以，解之得，所以n=12【小問2詳解】由（1）可知數(shù)列{an}的通項公式為，所以即19、（1）；（2）.【解題分析】(1)根據(jù)給定條件結合列式計算即可作答.(2)設出直線MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立并結合已知求出m的范圍，再借助韋達定理求出面積函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性計算作答.【小問1詳解】令橢圓半焦距為c，依題意，，解得，所以橢圓E的方程為.【小問2詳解】由(1)知，橢圓E左焦點為，設過橢圓E左焦點的直線為(存在且不為0)，由消去x得，，設，則，線段的中點為，因此線段的垂直平分線為，由得的縱坐標為，依題意，且，解得，由(1)知，，，令，在上單調(diào)遞減，當，即時，，當，即時，，所以面積的取值范圍.【題目點撥】結論點睛：過定點的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點，，則面積；過定點直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點，，則面積20、（1）答案見解析；（2）；失效費為6.3萬元【解題分析】（1）根據(jù)相關系數(shù)公式計算出相關系數(shù)可得結果；（2）根據(jù)公式求出和可得關于的線性回歸方程，再代入可求出結果.【題目詳解】（1）由題意，知，，∴結合參考數(shù)據(jù)知：因為與的相關系數(shù)近似為0.99，所以與的線性相關程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系（2）∵，∴∴關于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程得萬元，∴估算該種機械設備使用8年的失效費為6.3萬元21、（1），（2）【解題分析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學中隨機抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計算概