2024學(xué)年云南省大理市數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題含解析

2024學(xué)年云南省大理市數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對(duì)任意實(shí)數(shù)k，直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.與k有關(guān)2．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則其外接球的體積為（）A. B.C. D.3．設(shè)平面向量，，其中m，，記“”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.4．已知直線和互相平行，則實(shí)數(shù)（）A. B.C.或 D.或5．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（）A. B.C. D.6．若點(diǎn)P為拋物線y＝2x2上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.7．設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn)，，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞減的為（）A. B.C. D.9．已知四面體，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則（）A.1 B.2C.-1 D.-210．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.11．已知數(shù)列滿足，且，，則（）A. B.C. D.12．圓與圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，設(shè)直線的斜率為，直線(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為，則______.14．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.15．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額（單位：千億元）和出口總額（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年若每年的進(jìn)出口總額，滿足線性相關(guān)關(guān)系，則______；若計(jì)劃2022年出口總額達(dá)到千億元，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為_(kāi)_____億元16．命題“若，則”的逆否命題為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值18．（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大?。唬?）計(jì)算，，，由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明；19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，為棱的中點(diǎn)，，，求二面角的余弦值20．（12分）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．離心率為，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)，直線：與x軸相交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為①求四邊形ODHE（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍；②證明：直線過(guò)定點(diǎn)G，并求點(diǎn)G的坐標(biāo)21．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點(diǎn)，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值22．（10分）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】判斷直線恒過(guò)定點(diǎn)，可知定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【題目詳解】由可知，即該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為,由可知，則該直線恒過(guò)定點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得，則點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系為相交.故選：.2、D【解題分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，計(jì)算出幾何體的外接球直徑，結(jié)合球體體積公式即可得解.【題目詳解】根據(jù)三視圖還原原幾何體，如下圖所示：由圖可知，該幾何體三棱錐，且平面，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，所以，三棱錐的外接球直徑為，故，因此，該幾何體的外接球的體積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用求解3、D【解題分析】由向量的數(shù)量積公式結(jié)合古典概型概率公式得出事件A發(fā)生的概率.【題目詳解】由題意可知，即，因?yàn)樗械幕臼录灿蟹N，其中滿足的為，，只有1種，所以事件A發(fā)生的概率為.故選：D4、C【解題分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩直線的平行，得到且，即可求解.【題目詳解】由題意，直線和互相平行，可得且，即且，解得或.故選：C.5、C【解題分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)，得，從而可得出答案.【題目詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以的最小值?故選：C.6、D【解題分析】根據(jù)拋物線的定義得出當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，|PF|取最小值.【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)拋物線y＝2x2上點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線的方程為y＝2x2，即x2＝y(tǒng)，其準(zhǔn)線方程為y＝－，∴當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D7、B【解題分析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據(jù)勾股定理求出結(jié)果.【題目詳解】解：根據(jù)雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，中，，得故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.8、B【解題分析】A.利用正切函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.作出的圖象判斷；C.作出的圖象判斷；D.作出的圖象判斷.【題目詳解】A.是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；B.如圖所示：，由圖象知：函數(shù)是以為最小正周期，在上單調(diào)遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；故選：B9、D【解題分析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【題目詳解】四面體所有棱長(zhǎng)均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則，，，所以.故選：D10、C【解題分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程即可解決.【題目詳解】則，又則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C11、A【解題分析】由已知兩個(gè)不等式，利用“兩邊夾”思想求得，然后利用累加法可求得【題目詳解】∵，∴，∴，又，∴，即，∴故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的遞推式，由遞推式的特征，采用累加法求得數(shù)列的項(xiàng)．解題關(guān)鍵是利用“兩邊夾”思想求解12、D【解題分析】分別求出圓和圓的圓心和半徑，判斷出兩圓的位置關(guān)系可得到公切線的條數(shù).【題目詳解】根據(jù)題意，圓即，其圓心為，半徑；圓即，其圓心為，半徑；兩圓的圓心距，所以兩圓相離，其公切線條數(shù)有4條；故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##-0.0625【解題分析】使用點(diǎn)差法即可求解﹒【題目詳解】設(shè)，，則①－②得：，即，即.故答案為：.14、【解題分析】利用的關(guān)系，結(jié)合是等比數(shù)列，即可求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，則，又當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，故也滿足，即，故，此時(shí)滿足，則.故答案為：.15、①.1.6②.3.65千##3650【解題分析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.【題目詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過(guò)點(diǎn)，由，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.65千16、若，則【解題分析】否定原命題條件和結(jié)論，并將條件與結(jié)論互換，即可寫(xiě)出逆否命題.【題目詳解】由逆否命題的定義知：原命題的逆否命題為“若，則”.故答案為：若，則.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、，因此.,當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元【解題分析】解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為.再由，得，因此.而建造費(fèi)用為最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬(wàn)元18、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）詳見(jiàn)解析【解題分析】（1）求出的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，得到，取即可得出答案.（2）由，變形求得，，，由此推測(cè)：然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，，即令，得，即【小問(wèn)2詳解】；；由此推測(cè)：①下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①（1）當(dāng)時(shí)，左邊右邊，①成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，①成立，即當(dāng)時(shí)，，由歸納假設(shè)可得所以當(dāng)時(shí)，①也成立根據(jù)（1）（2），可知①對(duì)一切正整數(shù)都成立19、（1）見(jiàn)解析；（2）【解題分析】分析：（1）由四邊形為矩形，可得，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)一步得到，再由，利用線面垂直的判定定理可得面，即可證得平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題得，解得.進(jìn)而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）設(shè)BC中點(diǎn)為,連接，，又面面，且面面，所以面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，設(shè)，可得所以由題得，解得.所以設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.則，所以二面角的余弦值為.點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20、（1）；（2）①；②詳見(jiàn)解析；.【解題分析】（1）由題得，即求；（2）①由題可設(shè)，利用韋達(dá)定理法可得，進(jìn)而可得四邊形ODHE面積，再利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可求范圍；②由題可得，令，通過(guò)計(jì)算可得，即得.【小問(wèn)1詳解】由題可得，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)2詳解】①由題可知，可設(shè)直線，，由，可得，∴，，∴，∴四邊形ODHE面積，令，則，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，取等號(hào)，∴，∴四邊形ODHE面積取值范圍為；②由上可得，直線，令，得，由，可得，∴，∴直線過(guò)定點(diǎn)G.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解題分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作Ax⊥AB，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量而得解.【題目詳解】（1）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槭蔷匦?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；?）在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖