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文檔簡介
2024屆浙江省溫州市蒼南縣巨人中學高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過拋物線的焦點作直線l,交拋物線與A、B兩點,若線段中點的縱坐標為3,則等于()A.10 B.8C.6 D.42.若直線的傾斜角為120°,則直線的斜率為()A. B.C. D.3.設雙曲線的離心率為,則下列命題中是真命題的為()A.越大,雙曲線開口越小 B.越小,雙曲線開口越大C.越大,雙曲線開口越大 D.越小,雙曲線開口越大4.設為坐標原點,直線與拋物線C:交于,兩點,若,則的焦點坐標為()A. B.C. D.5.已知定義在區(qū)間上的函數(shù),,若以上兩函數(shù)的圖像有公共點,且在公共點處切線相同,則m的值為()A.2 B.5C.1 D.06.已知函數(shù)在處取得極小值,則()A. B.C. D.7.已知F(3,0)是橢圓的一個焦點,過F且垂直x軸的弦長為,則該橢圓的方程為()A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=18.《九章算術》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉.在《九章算術》卷五商功篇中介紹了羨除(此處是指三面為等腰梯形,其他兩側面為直角三角形的五面體)體積的求法.在如圖所示的羨除中,平面是鉛垂面,下寬,上寬,深,平面BDEC是水平面,末端寬,無深,長(直線到的距離),則該羨除的體積為()A. B.C. D.9.如圖,A,B,C三點不共線,O為平面ABC外一點,且平面ABC中的小方格均為單位正方形,,,則()A.1 B.C.2 D.10.已知向量,,且,,,則一定共線的三點是()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D11.在數(shù)列中抽取部分項(按原來的順序)構成一個新數(shù)列,記為,再在數(shù)列插入適當?shù)捻?,使它們一起能構成一個首項為1,公比為3的等比數(shù)列.若,則數(shù)列中第項前(不含)插入的項的和最小為()A.30 B.91C.273 D.82012.已知拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于,兩點,則的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.半徑為R的圓外接于,且,若,則面積的最大值為________.14.已知函數(shù)在點處的切線為直線l,則l與坐標軸圍成的三角形面積為___________.15.已知等差數(shù)列中,,則=_________.16.過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的直線m,n,直線m與橢圓交于A,B兩點,直線n與橢圓交于C,D兩點,若.則下列方程①;②;③;④.其中可以作為直線AB的方程的是______(寫出所有正確答案的序號)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓C:,斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點且(1)求橢圓C的離心率;(2)求直線l的方程18.(12分)2022北京冬奧會即將開始,北京某大學鼓勵學生積極參與志愿者的選拔.某學院有6名學生通過了志愿者選拔,其中4名男生,2名女生(1)若從中挑選2名志愿者,求入選者正好是一名男生和一名女生的概率;(2)若從6名志愿者中任選3人負責滑雪項目服務崗位,那么現(xiàn)將6人分為A、B兩組進行滑雪項目相關知識及志愿者服務知識競賽,共賽10局.A、B兩組分數(shù)(單位:分)如下:A:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142B:126,115,143,126,143,115,139,139,115,139從統(tǒng)計學角度看,應選擇哪個組更合適?理由是什么?19.(12分)在數(shù)列中,,,數(shù)列滿足(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;(2)數(shù)列前項和為,且滿足,求的表達式;(3)令,對于大于的正整數(shù)、(其中),若、、三個數(shù)經(jīng)適當排序后能構成等差數(shù)列,求符合條件的數(shù)組.20.(12分)如圖,在棱長為3的正方體中,分別是上的點且(1)求證:;(2)求平面與平面的夾角的余弦值21.(12分)已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列中,,.(1)求數(shù)列通項公式;(2)設,求數(shù)列的前n項和.22.(10分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)若與相交于A、兩點,設,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)拋物線的定義求解【題目詳解】拋物線的焦點為,準線方程為,設,則,所以,故選:B2、B【解題分析】求得傾斜角的正切值即得【題目詳解】k=tan120°=.故選:B3、C【解題分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結合離心率對雙曲線開口大小的影響即可得解.【題目詳解】解:對于A,越大,雙曲線開口越大,故A錯誤;對于B,越小,雙曲線開口越小,故B錯誤;對于C,由,越大,則越大,雙曲線開口越大,故C正確;對于D,越小,則越小,雙曲線開口越小,故D錯誤.故選:C.4、B【解題分析】根據(jù)題中所給的條件,結合拋物線的對稱性,可知,從而可以確定出點的坐標,代入方程求得的值,進而求得其焦點坐標,得到結果.【題目詳解】因為直線與拋物線交于兩點,且,根據(jù)拋物線的對稱性可以確定,所以,代入拋物線方程,求得,所以其焦點坐標為,故選:B.【題目點撥】該題考查的是有關圓錐曲線的問題,涉及到的知識點有直線與拋物線的交點,拋物線的對稱性,點在拋物線上的條件,拋物線的焦點坐標,屬于簡單題目.5、C【解題分析】設兩曲線與公共點為,分別求得函數(shù)的導數(shù),根據(jù)兩函數(shù)的圖像有公共點,且在公共點處切線相同,列出等式,求得公共點的坐標,代入函數(shù),即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意,設兩曲線與公共點為,其中,由,可得,則切線的斜率為,由,可得,則切線斜率為,因為兩函數(shù)的圖像有公共點,且在公共點處切線相同,所以,解得或(舍去),又由,即公共點的坐標為,將點代入,可得.故選:C.6、A【解題分析】由導數(shù)與極值與最值的關系,列式求實數(shù)的值.【題目詳解】由條件可知,,,解得:,,檢驗,時,當,得或,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和,當,得,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,所以當時,函數(shù)取得極小值,滿足條件.所以.故選:A7、C【解題分析】根據(jù)已知條件求得,由此求得橢圓的方程.【題目詳解】依題意,所以橢圓方程為.故選:C8、C【解題分析】在,上分別取點,,使得,連接,,,把幾何體分割成一個三棱柱和一個四棱錐,然后由棱柱、棱錐體積公式計算【題目詳解】如圖,在,上分別取點,,使得,連接,,,則三棱柱是斜三棱柱,該羨除的體積三棱柱四棱錐.故選:C【題目點撥】思路點睛:本題考查求空間幾何體的體積,解題思路是觀察幾何體的結構特征,合理分割,將不規(guī)則幾何體體積的計算轉化為錐體、柱體體積的計算.考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力9、B【解題分析】根據(jù)向量的線性運算,將向量表示為,再根據(jù)向量的數(shù)量積的運算進行計算可得答案,【題目詳解】因為,所以=,故選:B.10、A【解題分析】由已知,分別表示出選項對應的向量,然后利用平面向量共線定理進行判斷即可完成求解.【題目詳解】因,,,選項A,,,若A,B,D三點共線,則,即,解得,故該選項正確;選項B,,,若A,B,C三點共線,則,即,解得不存,故該選項錯誤;選項C,,,若B,C,D三點共線,則,即,解得不存在,故該選項錯誤;選項D,,,若A,C,D三點共線,則,即,解得不存在,故該選項錯誤;故選:A.11、C【解題分析】先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得到,列出數(shù)列的前6項,將其中是數(shù)列的項的所有數(shù)去掉即可求解.【題目詳解】因為是以1為首項、3為公比的等比數(shù)列,所以,則由,得,即數(shù)列中前6項分別為:1、3、9、27、81、243,其中1、9、81是數(shù)列的項,3、27、243不是數(shù)列的項,且,所以數(shù)列中第7項前(不含)插入的項的和最小為.故選:C.12、B【解題分析】當直線斜率存在時,設直線方程,聯(lián)立方程組,結合根與系數(shù)關系可得,進而求得取值范圍,當斜率不存在是,可得,兩點坐標,進而可得的值.【題目詳解】當直線斜率存在時,設直線方程為,,,聯(lián)立方程,得,恒成立,則,,,,,所以,當直線斜率不存在時,直線方程為,所以,,,綜上所述:,故選:B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】利用正弦定理將已知條件轉化為邊之間的關系,然后用余弦定理求得C;利用三角形面積公式,結合兩角差的正弦函數(shù)公式和二倍角公式得,再利用輔助角公式得,最后利用函數(shù)的值域計算得結論.【題目詳解】因為所以由正弦定理得:,即,所以由余弦定理可得:,又,故.由正弦定理得:,,所以,所以當時,S最大,.若,則面積的最大值為.故答案為:.【題目點撥】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式,二倍角公式及應用,正弦定理,余弦定理,三角形面積公式,函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.14、【解題分析】先求出切線方程,分別得到直線與x、y軸交點,即可求出三角形的面積.【題目詳解】由函數(shù)可得:函數(shù),所以,.所以切線l:,即.令,得到;令,得到;所以l與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為:.15、4【解題分析】由等差數(shù)列的通項公式求出公差,進而求出.【題目詳解】設該等差數(shù)列的公差為,則,所以.故答案為:4.16、①②【解題分析】①②結合橢圓方程得到與橢圓參數(shù)的關系,即可判斷;③④聯(lián)立直線與橢圓方程,利用弦長公式求,即可判斷.【題目詳解】由題設,且右焦點為,①時直線,故,則符合題設;②時,同①知:符合題設;③時直線,聯(lián)立直線AB與橢圓方程并整理得:,則,同理可得,則,不合題設;④時,同③分析知:,不合題設;故答案為:①②.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或【解題分析】(1)將橢圓化為標準方程,求得,進而求得離心率;(2)設直線,,,與橢圓聯(lián)立,借助韋達定理及弦長公式求得,從而求得直線方程.【小問1詳解】由題知,橢圓C:,則,離心率【小問2詳解】設直線,,聯(lián)立,化簡得,則,解得,,由弦長公式知,,解得,故直線或18、(1)(2)答案見詳解【解題分析】(1):把4名男生和2名女生編號后用列舉法寫出任選2名的所有基本事件,同時可得出,兩人是一男一女的基本事件,計數(shù)后可計算概率;(2):求出兩組數(shù)據(jù)的均值和方差,比較可得【小問1詳解】設4名男生分別用A,B,C,D表示:2名女生分別用1,2表示.基本事件為:,,,,,,,,,,,,共15種,所以所求概率為;【小問2詳解】A組數(shù)據(jù)的平均數(shù),B組數(shù)據(jù)的平均數(shù),A組數(shù)據(jù)的方差,B組數(shù)據(jù)的方差,所以選擇A隊.理由:A、B兩隊平均數(shù)相同,且,A組成績波動小19、(1)證明見解析,;(2);(3).【解題分析】(1)由已知等式變形可得,利用等比數(shù)列的定義可證得結論成立,確定等比數(shù)列的首項和公比,可求得數(shù)列的通項公式;(2)求得,然后分、兩種情況討論,結合裂項相消法可得出的表達式;(3)求得,分、、三種情況討論,利用奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)以及整數(shù)的性質(zhì)可求得、的值,綜合可得出結論.【小問1詳解】解:由可得,,則,,以此類推可知,對任意的,,則,故數(shù)列為等比數(shù)列,且該數(shù)列的首項為,公比為,故,可得.【小問2詳解】解:由(1)知,所以,所以,當n=1時,,當時,.因為滿足,所以.【小問3詳解】解:,、、這三項經(jīng)適當排序后能構成等差數(shù)列,①若,則,所以,,又,所以,,則;②若,則,則,左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),所以,②不成立;③若,同②可知③也不成立綜合①②③得,20、(1)證明見解析(2)【解題分析】(1)建立空間直角坐標系后得到相關向量,再運用數(shù)量積證明;(2)求出相關平面的法向量,再運用夾角公式計算即可.【小問1詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系:,,,,,∴,故.【小問2詳解】,,,設平面的一個法向量為,由,令,則,取平面的一個法向量為,設平面與平面夾角為,易知:為銳角,故,即平面與平面夾角的余弦值為.21、(1);(2)【解題分析】(1)
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