2024屆浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附中高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附中高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某制藥廠為了檢驗?zāi)撤N疫苗預(yù)防的作用，把名使用疫苗的人與另外名未使用疫苗的人一年中的記錄作比較，提出假設(shè)：“這種疫苗不能起到預(yù)防的作用”，利用列聯(lián)表計算得，經(jīng)查對臨界值表知.則下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是（）A.若某人未使用該疫苗，則他在一年中有的可能性生病B.這種疫苗預(yù)防的有效率為C.在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防的作用”D.有的把握認(rèn)為這種疫苗不能起到預(yù)防生病的作用2．平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（）A.，平行 B.，垂直C.，重合 D.，相交不垂直3．若直線被圓截得的弦長為4，則的最大值是（）A. B.C.1 D.24．設(shè)是數(shù)列的前項和，已知，則數(shù)列（）A.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列5．如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（）A. B.C. D.6．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A.5 B.10C.4 D.7．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則MN的中點P到坐標(biāo)原點О的距離為（）A. B.C.2 D.38．已知為圓：上任意一點，則的最小值為（）A. B.C. D.9．下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是（）A.由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和B.由滿足對都成立，推斷：為奇函數(shù)C.由半徑為的圓的面積，推斷單位圓的面積D.由，，，…，推斷：對一切，10．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.11．設(shè)為直線上任意一點，過總能作圓的切線，則的最大值為（）A. B.1C. D.12．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則（）A.1 B.C.3 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線與函數(shù)的圖象有三個交點，則實數(shù)a的取值范圍是_________14．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____15．某市有30000人參加階段性學(xué)業(yè)水平檢測，檢測結(jié)束后的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布，若，則成績在140分以上的大約為______人16．某學(xué)校要從6名男生和4名女生中選出3人擔(dān)任進(jìn)博會志愿者，則所選3人中男女生都有的概率為___________.（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知橢圓：經(jīng)過點，離心率（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是經(jīng)過右焦點的任一弦（不經(jīng)過點），直線與直線：相交于點，記，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列18．（12分）設(shè)是首項為的等差數(shù)列的前項和，是首項為1的等比數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項和，已知.（1）若，求；（2）若，求.19．（12分）如圖，在長方體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長為2，且動點P在線段AC上運動（1）若Q為的中點，求點Q到平面的距離；（2）設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍20．（12分）已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知直線，圓.（1）若l與圓C相切，求切點坐標(biāo)；（2）若l與圓C交于A，B，且，求的面積.22．（10分）已知橢圓的右焦點為，短軸長為4，設(shè)，的左右有兩個焦點求橢圓C的方程；若P是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；是否存在過點的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明兩點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)的值與臨界值的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.【題目詳解】∵，，∴在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防的作用”，C對，由已知數(shù)據(jù)不能確定若某人未使用該疫苗，則他在一年中有的可能性生病，A錯，由已知數(shù)據(jù)不能判斷這種疫苗預(yù)防的有效率為，B錯，由已知數(shù)據(jù)沒有的把握認(rèn)為這種疫苗不能起到預(yù)防生病的作用,D錯，故選：C.2、B【解題分析】根據(jù)可判斷兩平面垂直.【題目詳解】因為，所以，所以，垂直.故選：B.3、A【解題分析】根據(jù)弦長求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【題目詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線過圓心，即，由于為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：A4、B【解題分析】根據(jù)與的關(guān)系求出通項，然后可知答案.【題目詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，的通項公式為，數(shù)列為等差數(shù)列同理，由等比數(shù)列定義可判斷數(shù)列不是等比數(shù)列.故選：B5、C【解題分析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線的距離轉(zhuǎn)化成點到直線的距離，結(jié)合余弦定理即同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求得，因此可得，進(jìn)而可得直線到直線的距離；【題目詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因為，分別為，的中點，因為，，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線到直線的距離，在三角形中，由余弦定理得因為，所以是銳角，所以，在直角三角形中，，故直線到直線的距離為；故選：C6、A【解題分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對數(shù)的運算性質(zhì)求解.【題目詳解】由題有，則=5.故選：A7、A【解題分析】利用中點坐標(biāo)公式及空間中兩點之間的距離公式可得解.【題目詳解】，，由中點坐標(biāo)公式，得，所以.故選：A8、C【解題分析】設(shè)，則的幾何意義為圓上的點和定點連線的斜率，利用直線和圓相切，即可求出的最小值；【題目詳解】圓，它圓心是，半徑為1，設(shè)，則，即，當(dāng)直線和圓相切時，有，可得，，的最小值為：，故選：9、A【解題分析】根據(jù)歸納推理是由特殊到一般，推導(dǎo)結(jié)論可得結(jié)果.【題目詳解】對于A，由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和，是由特殊推導(dǎo)出一般性的結(jié)論，且，故A正確；B和C屬于演繹推理，故不正確；對于D，屬于歸納推理，但時，結(jié)論不正確，故D不正確.故選：A.10、B【解題分析】求出函數(shù)的定義域，解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】函數(shù)的定義域為，由，可得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.11、D【解題分析】根據(jù)題意，判斷點與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得的最大值.【題目詳解】因為過過總能作圓的切線，故點在圓外或圓上，也即直線與圓相離或相切，則，即，解得，故的最大值為.故選：D.12、D【解題分析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【題目詳解】由，可知，則有，解之得故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，由此可求得答案.【題目詳解】解：因為函數(shù)，則，所以當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，因為直線與函數(shù)的圖象有三個交點，所以實數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.14、【解題分析】求導(dǎo)，根據(jù)可得答案.【題目詳解】由題意，可得，令，即，解得，即函數(shù)的遞減區(qū)間為.故答案為：.【題目點撥】本題考查運用導(dǎo)函數(shù)的符號，研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.15、150【解題分析】根據(jù)考試的成績X服從正態(tài)分布．得到考試的成績X的正太密度曲線關(guān)于對稱，根據(jù)，得到，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個分?jǐn)?shù)段上的人數(shù)【題目詳解】由題意，考試的成績X服從正態(tài)分布考試的成績X的正太密度曲線關(guān)于對稱，，，，該市成績在140分以上的人數(shù)為故答案為：15016、##0.8【解題分析】由排列組合知識求得所選3人中男女生都有方法數(shù)及總的選取方法數(shù)后可計算概率【題目詳解】從6名男生和4名女生中選出3人的方法數(shù)是，所選3人中男女生都有的方法數(shù)為，所以概率為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解題分析】（1）由點在橢圓上得到，再由，得到，聯(lián)立方程組，求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由（1）得橢圓右焦點坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得，及，結(jié)合斜率公式得到，結(jié)合，求得，即可得到，，成等差數(shù)列【題目詳解】（1）由題意，點在橢圓上得，可得①又由，所以②由①②聯(lián)立且，可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）知，橢圓的方程為，可得橢圓右焦點坐標(biāo)，顯然直線斜率存在，設(shè)的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則有，，由直線的方程為，令，可得，即，從而，，，又因為共線，則有，即有，所以，將，代入得，又由，所以，即，，成等差數(shù)列【題目點撥】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式等進(jìn)行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力18、（1）或（2）【解題分析】（1）列方程組解得等差數(shù)列的公差，即可求得其前項和；（2）列方程組解得等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，以錯位相減法即可求得數(shù)列的前項和.【小問1詳解】設(shè)的公差為，的公比為，則，，因為即，解之得或，又因為，得所以或，故，或【小問2詳解】因為，所以，所以由解得（舍去）或，于是得，所以，因為，（1）所以，（2）所以由（1）（2）得：故19、（1）1（2）【解題分析】(1)以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出平面的法向量，結(jié)合點到平面的距離的向量求法計算即可；(2)設(shè)點，，進(jìn)而得出的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積即可列出線面角正弦值的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由題意，分別以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標(biāo)系，于是，，，，，設(shè)平面法向量所以，解得，，令得，，設(shè)點Q到平面的距離為d，【小問2詳解】由（1）可知，平面的法向量，由P點在線段AC上運動可設(shè)點，于是，，所以，的取值范圍是20、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)得到，再結(jié)合為等比數(shù)列求出首項，進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）求得數(shù)列的通項公式，進(jìn)而利用公式法即可求出【小問1詳解】解：（1），，當(dāng)時，，即，又，為等比數(shù)列，所以，，數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】（2）由（1）知，則，數(shù)列的前項和21、（1）（2）【解題分析】（1）求出直線的定點，再由定點在圓上得出切點坐標(biāo)；（2）由（1）知，證明為直角三角形，求出，，最后由三角形的面積公式求出的面積.【題目詳解】（1）圓可化為直線可化為，由解得即直線過定點，由于，則點在圓上因為l與圓C相切，所以切點坐標(biāo)為（2）因為l與圓C交于A，B，所以點如下圖所示，與相交于點，由以及圓的對稱性可知，點為的中點，且由，則直線的方程為圓心到直線的距離為，即直線與圓相切即，則因為，所以【題目點撥】關(guān)鍵點睛：在第一問中，關(guān)鍵是先確定直線過定點，再由定點在圓上，從而確定切點的坐標(biāo).22、（1）（2）（3）滿足條件的直線不存在，詳見解析【解題分析】根據(jù)條件直接求出,進(jìn)而求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;設(shè),表示