電容元件與電感元件

電容元件與電感元件1第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一

動(dòng)態(tài)電路的分析，就是當(dāng)電路外加電源激勵(lì)或在初始儲(chǔ)能作用下，以及電路狀態(tài)改變時(shí)，求解電路中電流、電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律。第二部分動(dòng)態(tài)電路分析第五章電容元件與電感元件基本要求：熟練掌握線性電容元件和電感元件的伏安關(guān)系及其貯能，以及兩者之間的對偶關(guān)系。2第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一（Capacitor）

電容器應(yīng)用極為廣泛，其構(gòu)成原理為兩塊金屬極板并隔以不同的介質(zhì)。當(dāng)電容器接通電源后，則在兩極板上聚集等量異號電荷（+q(t)和－q(t)）,于是在兩極板之間的介質(zhì)中就形成電場——即儲(chǔ)存有電場能量。+–++––Cu(t)+q(t)–q(t)

能夠聚集電荷，儲(chǔ)存電場能量的部件稱為電容器。

電容器的理想化模型稱為電容元件（C）。C儲(chǔ)存的電荷與其兩極板間的電壓值有關(guān)，它是一種電荷與電壓相約束的二端元件。§5—1電容元件

定義：一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻t，它的電荷q(t)同它的端電壓u(t)之間的關(guān)系可以用q—u（或u—q）平面上的一條曲線來確定，則此二端元件稱為電容元件。0q(t)u(t)3第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一

線性電容元件：若q(t)與u(t)的關(guān)系是通過q—u平面坐標(biāo)原點(diǎn)且位于第一、三象限的一條直線，則稱之為線性電容元件。q(t)u(t)01C（庫）（伏）（庫—伏特性）直線的斜率C是一正常數(shù)——稱為電容（C）。常數(shù)→q(t)=C·u(t)C的單位：國際單位制（SI制）：法拉（法）F；微法μF；皮法PF1）表示電容元件；2）表示電容元件的參數(shù)，即電容量（值）。（1）C有兩個(gè)含義：注：（2）使用C時(shí)注意：1）電容量（值）；2）額定工作電壓（過壓會(huì)擊穿損壞C）。4第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一

二、電壓u與電流i的積分關(guān)系式由，從–∞到t積分得式中：

一、電流i與電壓u的微分關(guān)系式在i與u取關(guān)聯(lián)參考方向的條件下，若電荷和電壓都隨時(shí)間而變化，則Ci(t)+q(t)–q(t)+–u(t)

上式表明，任一時(shí)刻通過電容的電流取決于該時(shí)刻電容兩端電壓的變化率,而與該時(shí)刻電容電壓數(shù)值本身和過去的歷史無關(guān)。直流：→i(t)=0（開路），即C對直流言相當(dāng)于開路。

由此知，u動(dòng)→才有i——故C為“動(dòng)態(tài)”元件?！?—2電容的伏安關(guān)系5第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一

§5—3電容電壓的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)

由電容的VAR：t≥t0

可反映

電容電壓的兩個(gè)重要性質(zhì)：

（1）連續(xù)性質(zhì)：若電容電流i(t)在閉區(qū)間〔ta、tb〕內(nèi)為有界的，則電容 電壓uC(t)在開區(qū)間（ta、tb）內(nèi)為連續(xù)的。

特別是：對任何時(shí)刻t，且ta＜t＜tb,uC(t-)=uC(t+)

（2）記憶性質(zhì)：電容電壓取決于其電流的全部歷史。

此外，由得

電容電壓初始值：其作用相當(dāng)于一個(gè)電壓源。+–u(t)Ci(t)u(t0)=U+–u(t)Ci(t)u1(t0)=0+–U+–u1(t)

由此可知：一個(gè)已被充電的電容，若已知u(t0)=U，則在

t≥t0時(shí)可等效為一個(gè)未充電的電容與電壓源相串聯(lián)的電路，電壓源的電壓值即為t0時(shí)電容兩端的電壓U。6第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一

一、瞬時(shí)功率（u、i取關(guān)聯(lián)參考方向）P(t)﹥0吸收功率，電能→WC，C充電；P(t)﹤0產(chǎn)生功率，WC→電能，C放電。

二、儲(chǔ)能WC單位：C——法（F）；u——伏（V）；WC——焦耳（J）。C在任一時(shí)刻的儲(chǔ)能：≥0（恒為正）

▲此式表明，電容某一時(shí)刻的儲(chǔ)能，只取決于該時(shí)刻的電壓值，而與電流值無關(guān)。

●電容電壓反映了電容的儲(chǔ)能狀態(tài)。正是電容的儲(chǔ)能本質(zhì)使電容電壓具有記憶性質(zhì)；正是電容電流在有界的條件下儲(chǔ)能不能躍變，使電容電壓具有連續(xù)性質(zhì)?！?—4電容的儲(chǔ)能7第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一

例1：電流源的電流波形如圖(a)所示，施加于2F電容上，如圖(b) 所示。設(shè)u(0)=0，試求u(t)，并繪出波形圖。i(A)t(s)02–212(a)i(t)2F+–u(t)(b)

解：由圖(a)得：i(t)=2A0≤t≤1S–2A1S≤t≤2S(1)

0≤t≤1S：t=1S：u(1)=1(v)0112t(s)u(v)(c)

由上述分析計(jì)算,可繪出u(t)波形如圖(c)所示。

由此可見，i(t)波形是不連續(xù)的；而u(t)波形是連續(xù)的。(2)

1S≤t≤2S：(v)t=2S：u(2)=－2+2=0u(t)8第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一例2：5μF電容電壓波形如圖(a)所示（t＞4μS，電壓為0），(1)試?yán)L出電流波形圖；(2)試確定在

t=2μS及

t=10μS時(shí)電容的儲(chǔ)能。u(mv)t(μs)1001234(a)

解：（1）1）t=0～1μS：u從0↗10mv

2）t=1～3μS：u=10mv→∴i=0

3）t=3～4

μS：u從10mv↘0i(A)t(μs)0·05–0·0501234(b)由上述分析，可畫出電流波形圖如圖(b)所示。（2）t=2μS

：u=10mvt=10μS

：u=09第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一（inductor)ΦΦN匝+–uii+–u(t)i(t)L

用導(dǎo)線繞制成線圈便構(gòu)成電感器。實(shí)際電感器的理想化模型稱為電感元件（簡稱電感）。

當(dāng)線圈中通電流i時(shí)，則產(chǎn)生磁通Φ（建立磁場）；若Φ與N匝線圈交鏈，則磁通鏈Ψ=NΦ

。

Φ（Ψ）與i的關(guān)系通常采用關(guān)聯(lián)參考方向，即兩者的參考方向應(yīng)符合右手螺旋法則。且

Ψ=NΦ=f(i)i↑→Φ（Ψ）↑→WL↑i↓→Φ（Ψ）↓→WL↓i=0→Φ（Ψ）=0→WL=0

電感是一種儲(chǔ)存磁場能量（WL）的部件，它是一個(gè)磁鏈與電流相約束的二端元件?！?—5電感元件10第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一

定義：一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻t，它的電流i(t)同它的磁鏈Ψ(t)之間的關(guān)系可以用Ψ—i（或i—Ψ）平面上的一條曲線來確定，則此二端元件稱為電感元件。Ψi0

線性電感元件：如果Ψ與i的關(guān)系曲線是通過Ψ—i平面上坐標(biāo)原點(diǎn)，位于第一、三象限的一條直線，則此二端元件稱之為線性電感元件。線性電感元件（空心線圈）：Ψ=NΦ=Li常數(shù)直線的斜率L是一正常數(shù)，稱之為電感。Ψ（韋）1L0i(安)（韋—安特性）

電感L是磁鏈Ψ與電流i的比例常數(shù)，它反映了電感元件通過電流時(shí)產(chǎn)生磁鏈的能力。數(shù)值上等于單位電流通過電感元件時(shí)產(chǎn)生磁鏈的絕對值。11第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一L的單位：[國際單位制（SI制）]：亨利（亨）H；毫亨mH；微亨μH等。式中：L—亨利（亨）H；Ψ—韋伯（韋）Wb；

i—安培（安）A。（1）L有兩個(gè)含義：1）表示電感元件；2）表示電感元件的參數(shù)，即電感量。（2）使用L注意：1）電感量；2）額定工作電流。（過流會(huì)損壞之）注：12第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一

一、電壓u與電流i的微分關(guān)系式++––u(t)i(t)Le

在u、i取關(guān)聯(lián)參考方向和Ψ與i符合右螺旋定則條件下，

根據(jù)楞茨定律：線圈中磁通變化引起的感應(yīng)電動(dòng)勢，其方向總是企圖產(chǎn)生感應(yīng)電流來阻礙磁通的變化。即L中i變→Φ（Ψ）變→產(chǎn)生e（負(fù)號由楞茨定律所確定）由表明：

1）關(guān)系式既反映了電感電壓的大小，也反映了電感電壓的方向。,u與i同向;，u與i反向。

2）電感電壓與其電流的變化率成正比，而與電流本身的數(shù)值無關(guān)。直流：（短路）即L對直流言相當(dāng)于短路。3）電感電壓u為有限值時(shí)，電流i不能躍變。此外，i動(dòng)→才有u。故

L

又稱之為“動(dòng)態(tài)”元件?！?—6電感的伏安關(guān)系13第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一

二、電流i與電壓u的積分關(guān)系式由從－∞到t積分可得：(t≥t0)式中：

此式表明，在某一時(shí)刻t時(shí)的電感電流值取決于其初始值i(t0)以及在[t0、t]區(qū)間所有的電壓值。14第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一

§5—7電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)

電感的VAR：（t≥t0）反映了

電感電流iL的兩個(gè)重要性質(zhì)：

（1）連續(xù)性質(zhì)：若電感電壓u(t)在閉區(qū)間〔ta、tb〕內(nèi)為有界的，則電 感電流iL(t)在開區(qū)間（ta、tb）內(nèi)為連續(xù)的。

特別是：對任何時(shí)刻t，且ta＜t＜tb,iL(t-)=iL(t+)

（2）記憶性質(zhì)：電感電流取決于其電壓的全部歷史。此外，由（t≥t0）得電感電流初始值：，其作用相當(dāng)于一個(gè)電流源。+–u(t)i(t)Li(t0)=I+–u(t)i(t)Li1(t0)=0●●Ii1(t)

由此可知，一個(gè)具有初始電流的電感，若已知i(t0)=I，則在t≥t0時(shí)可等效為一個(gè)初始電流為0的電感與電流源的并聯(lián)電路，電流源的電流值即為

t0時(shí)電感的電流I

。15第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一

一、瞬時(shí)功率p(t)在u(t)

與i(t)

取關(guān)聯(lián)參考方向的情況下：p(t)=u(t)·i(t)p(t)>0吸收功率電能→WL

（儲(chǔ)能）p(t)﹤0產(chǎn)生功率WL→電能（放能）

二、電感儲(chǔ)能WL——即對瞬時(shí)功率p(t)的時(shí)間積分。

單位：L——亨（H）；I——安（A）；WL——焦耳（J）。L在任一時(shí)刻t的儲(chǔ)能：≥0（恒為正值）此式表明，電感某時(shí)刻的儲(chǔ)能，只取決于該時(shí)刻的電流值，而與電壓值無關(guān)?！?—8電感的儲(chǔ)能電路的狀態(tài)16第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一

三、電路的狀態(tài)

在動(dòng)態(tài)電路的諸電壓、電流變量中，電容電壓uc(t)

和電感電流iL(t)占有特殊重要的地位，它們是電路的狀態(tài)（State）變量。

在電路及系統(tǒng)理論中，狀態(tài)變