流體力學中的三大基本方程

流體力學中的三大基本方程第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日1連續(xù)性微分方程

理論依據(jù)：質(zhì)量守恒定律在微元體中的應用數(shù)學描述：

[單位時間流出的質(zhì)量]-[單位時間流入的質(zhì)量]+[單位時間質(zhì)量的累積or增量]=0第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日

假定流體連續(xù)地充滿整個流場，從中任取出以點為中心的微小六面體空間作為控制體如右圖?？刂企w的邊長為dx，dy，dz，分別平行于直角坐標軸x，公式推導：（1）單位時間內(nèi)流入、流出微元體流體總質(zhì)量變化第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日

y，z。設控制體中心點處流速的三個分量為,液體密度為。將各流速分量按泰勒級數(shù)展開，并略去高階微量，可得到該時刻通過控制體六個表面中心點的流體質(zhì)點的運動速度。例如：通過控制體前表面中心點M的質(zhì)點在x方向的分速度為通過控制體后表面中心點N的質(zhì)點在x方向的分速度為

第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日因所取控制體無限小，故認為在其各表面上的流速均勻分布。所以單位時間內(nèi)沿x軸方向流出控制體的質(zhì)量為于是，單位時間內(nèi)在x方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為流入控制體的質(zhì)量為第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日

同理可得在單位時間內(nèi)沿y，z方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為

故單位時間內(nèi)流出與流入微元體流體質(zhì)量總變化為：和第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日⑵控制體內(nèi)質(zhì)量變化：因控制體是固定的，質(zhì)量變化是因密度變化引起的，dt時間內(nèi)：單位時間內(nèi)，微元體質(zhì)量增量：

（微團密度在單位時間內(nèi)的變率與微團體積的乘積）第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日⑶根據(jù)連續(xù)性條件：矢量形式：——三維連續(xù)性微分方程第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日⑴適用條件：不可壓縮和可壓縮流體理想和實際流體穩(wěn)態(tài)及非穩(wěn)態(tài)流動⑵不可壓縮性流體的連續(xù)性微分方程：or

說明流體體變形率為零，即流體不可壓縮?；蛄魅塍w積流量與流出體積流量相等。

第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日⑶穩(wěn)定流動時：所有流體物性參數(shù)均不隨時間而變，⑷二維平面流動：第十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日2.理想流體的運動方程

3.4.1---歐拉運動微分方程理論依據(jù)：是牛頓第二定律在流體力學上的具體應用，它建立了理想流體的密度、速度、壓力與外力之間的關系。1775年由歐拉推出流體力學中心問題是流速問題，流體流速與其所受到外力間的關系式即是運動方程。第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日推導過程：⑴取微小六面控制體牛頓第二定律or動量定理：⑵推導依據(jù)：即作用力之合力=動量隨時間的變化速率

第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日⑶分析受力：質(zhì)量力：單位質(zhì)量力：

X方向上所受質(zhì)量力為：

表面力：理想流體，沒有粘性，所以表面力只有壓力

X方向上作用于垂直x軸方向兩個面的壓力分別為：X方向上質(zhì)點所受表面力合力：第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日流體質(zhì)點加速度

的計算方法：流速的全導數(shù)應是：當?shù)丶铀俣龋毫鲌鲋心程幜黧w運動速度對時間的偏導數(shù)，反映了流體速度在固定位置處的時間變化特性遷移加速度：流場由于流出、流進某一微小區(qū)域而表現(xiàn)出的速度變化率。第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日流體質(zhì)點加速度

在三個坐標軸上的分量表示成：第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日⑷代入牛頓第二定律求得運動方程：得x方向上的運動微分方程：單位體積流體的運動微分方程：單位質(zhì)量流體的運動微分方程：第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日同理可得y,z方向上的：第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日向量形式：

式中：

——理想流體歐拉運動微分方程

適用條件：理想流體，不可壓縮流體和可壓縮流體第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日（5）連續(xù)性微分方程和運動方程在求解速度場中的應用

這里以不可壓縮粘性流體穩(wěn)定等溫流動為例：連續(xù)性方程：

運動方程：

第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日1.含有四個未知量完整的方程組。2.描述了各種量間的依賴關系。3.通解、單值條件（幾何條件、物理條件、邊界條件、初始條件）→特解。即描述流體流動的完整方程組+單值性條件→描述某一特定流動。第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日3.伯努利方程(Bernoulli)理想流體穩(wěn)定流動的伯努利微分方程由理想流體歐拉運動微分方程是穩(wěn)定流動，vx,vy,vz，p都只是坐標函數(shù)，與時間無關，方程轉換去除t項伯努利（D.Bernouli1700－1782）方程的提出和意義第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日

推導得：

Or

——伯努利方程微分形式。說明：流體質(zhì)點在微小控制體dxdydz范圍內(nèi)，沿任意方向流線流動時的能量平衡關系式。第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日①適用范圍：理想流體、穩(wěn)定流體、質(zhì)量力只有重力且在微小控制體dxdydz范圍內(nèi)沿某一根流線；②物理意義：揭示了沿某一根流線運動著的流體質(zhì)點速度，位移和壓強、密度四者之間的微分關系。

第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日3.1伯努利方程積分形式

1.沿流線的積分方程：設：

Or

——理想流體微元流束的伯努利方程。第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日①適用條件：理想流體、不可壓縮性流體、穩(wěn)定流動、質(zhì)量力只有重力，且沿某一根流線；②任選一根流線上的兩點：（流線變化了則C值變化）

③靜止流體：靜止容器內(nèi)任一點的z與P/r之和為常數(shù)。

靜力學方程第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日物理意義及幾何意義：z:單位重量流體所具有的位能N·M/N；（可以看成mgz/mg）P/r:單位重量流體所具有的壓力能；⑴物理意義：：單位重量流體所具有的動能；三者之和為單位重量流體具有的機械能。理解：質(zhì)量為m微團以v運動，具有mv2/2動能，若用重量mg除之得v2/2g第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)定流動時，沿流線or無旋流場中流束運動時，單位重量流體的位能，壓力能和動能之和是常數(shù)，即機械能是守恒的，且它們之間可以相互轉換。物理意義：⑵幾何意義：z：單位重量流體的位置水頭；（距離某一基準面的高度）P/r:單位重量流體的壓力水頭，或靜壓頭；（具有的壓力勢能與一段液柱高度相當）:單位重量流體具有的動壓頭or速度水頭,速度壓頭。物理中：質(zhì)量為m以速度v垂直向上拋能達到的最高高度為v2/2g三者之和為單位重量流體的總水頭。第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)態(tài)流動時，沿一根流線（微小流束）的總水頭是守恒的，同時可互相轉換。幾何意義：第二十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日3.2伯努利方程的應用可求解流動中的流體v、P及過某一截面的流量；以伯努利方程為原理測量流量的裝置。皮托管（畢托管）：測量流場中某一點流速的儀器。皮托曾用一兩端開口彎成直角的玻璃管測塞那河道中任一點流速。第二十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日A點為駐點總壓⑴皮托管：B點：A點前選一點不受玻璃管干擾的點；A--B認為是一條流線。列沿流線AB上兩點的伯努利方程：zA=zB=0PB總=PA=r(