平面與平面平行

空間三種平行關(guān)系的定義知識復(fù)習(xí)線線平行a//bab面面平行αβα//β線面平行aαa//α引入前面我們研究了直線與直線平行，直線與平面平行，重點(diǎn)研究了其判定和性質(zhì)，接下來自然想到要研究兩個(gè)平面平行，還是要研究其判定與性質(zhì)．下面我們來探究這兩個(gè)問題．（？）（判定）線線平行線面平行面面平行（性質(zhì)）（？）（？）新課兩個(gè)平面平行可以通過定義來判斷，即通過兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)而得到兩個(gè)平面平行．由于平面的無限延展，很難去判斷平面與平面是否有公共點(diǎn)，因此很難直接利用定義來判斷．

數(shù)學(xué)中的“定義”都是充要條件，類似于研究直線與平面平行的判定那樣，能否簡化平面與平面平行的判定方法呢？探究平面內(nèi)的直線有無數(shù)多條，我們難以對所有直線逐一檢驗(yàn)，能否將“一個(gè)平面內(nèi)的任意直線平行另一個(gè)平面”中的“任意直線”減少，得到更簡便的判定兩個(gè)平面平行的辦法呢？問題（1）：減少到一條可以嗎？為什么？分析：也就是說“如果一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行”．通過分析，這是不一定成立的．我們很容易舉出反例，如圖所示．

a//α，a?β此時(shí)α∩β=b．αabβ問題（2）：根據(jù)基本事實(shí)的推論2，3，兩條平行直線或兩條相交直線，都可以確定一個(gè)平面．由此可以想到，“一個(gè)平面內(nèi)兩條平行直線與另一個(gè)平面平行”和“一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行”，能否判斷這兩個(gè)平面平行？用自然語言和符號語言表示你的結(jié)論．分析：如圖，a，b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在直線，它們都和桌面平行．請觀察硬紙片和桌面平行嗎？通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)，硬紙片與桌面不一定平行．我們讓硬紙片的兩條對邊所在直線始終平行于桌面，通過簡單旋轉(zhuǎn)硬紙片的動作，硬紙片可以和桌面不平行．同學(xué)們可以自己操作一下．分析：如圖，c，d分別是三角尺的兩條邊所在直線，它們都和桌面平行，請觀察這個(gè)三角尺與桌面平行嗎？通過觀察，只要三角尺的相鄰兩邊c，d所在的直線都和桌面平行，那么三角尺與桌面就一定平行．分析：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線與另一個(gè)平面平行，這兩個(gè)平面不一定平行．我們借助長方體模型來說明．如圖，在平面A′ADD′內(nèi)畫一條與A′A平行的直線EF，顯然A′A與EF都平行于平面D′DCC′，但這兩條平行直線所在的平面A′ADD′與平面D′DCC′相交．ABDCA′B′D′C′EF分析：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，這兩個(gè)平面是平行的．如圖所示長方體模型．平面ABCD內(nèi)兩條相交直線AC，BD分別與平面A′B′C′D′內(nèi)兩條直線A′C′，B′D′平行．由直線與平面平行的判定定理可知，這兩條相交直線AC，BD都與平面A′B′C′D′平行．此時(shí)，平面ABCD平行于平面A′B′C′D′．ABDCA′B′D′C′平面與平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行．它可以用符號表示為：a?β，b?β，a∩b=P，a//α，b//α

β//α．面面平行的判定定理告訴我們，可以由直線與平面平行判定平面與平面平行．αbaPβ問題（3）：為什么不能用一個(gè)平面內(nèi)兩條平行直線平行于另一個(gè)平面判斷兩個(gè)平面平行，而可以用兩條相交直線平行另一個(gè)平面判斷兩個(gè)平面平行？聯(lián)想平面向量基本定理，你能對面面平行判定定理做出進(jìn)一步解釋嗎？回顧平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)，使

a=e1+e2．由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一個(gè)基底唯一表示．

問題（3）：聯(lián)想平面向量基本定理，你能對面面平行判定定理做出進(jìn)一步解釋嗎？分析：由平面向量基本定理可知，平面內(nèi)兩條相交直線代表兩個(gè)不共線向量，而平面內(nèi)任意向量可以表示為它們的線性組合，從而平面內(nèi)兩條相交直線可以“代表”這個(gè)平面上的任意直線．而兩條平行直線所表示的向量是共線的，用它們不能“表示”這個(gè)平面上的任意直線．探究

在實(shí)際生活中，你見過工人師傅怎樣判斷兩個(gè)平面平行嗎？你能說明這么做的道理嗎？面面平行的判定定理告訴我們，可以由直線與平面平行判定平面與平面平行．工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的，就是應(yīng)用了這個(gè)判定定理．例題

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面AB1D1//平面BC1D．看到要證明的結(jié)論，你能想到用什么方法呢？

ABDCA1B1D1C1例題

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面AB1D1//平面BC1D．分析：根據(jù)前面我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容，不難想到：方法1應(yīng)用兩個(gè)平面平行的定義，即兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，即證明平面AB1D1與平面BC1D沒有公共點(diǎn)．ABDCA1B1D1C1例題

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面AB1D1//平面BC1D．分析：方法2應(yīng)用面面平行的判定定理，即在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個(gè)平面．ABDCA1B1D1C1問題：你能發(fā)現(xiàn)平面AB1D1和平面BC1D中哪個(gè)平面中的兩條相交直線平行另一個(gè)平面嗎？又怎樣證明一條直線平行于一個(gè)平面呢？分析：通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)，平面AB1D1內(nèi)的直線D1A，D1B1平行于平面BC1D．要證明直線平行于一個(gè)平面，只要證明平面外的直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的一條直線即可．ABDCA1B1D1C1證明：∵ABCD-A1B1C1D1為正方體，∴D1C1//A1B1且D1C1=A1B1，AB//A1B1且AB=A1B1．∴D1C1//AB且D1C1=AB．∴四邊形D1C1BA為平行四邊形．∴D1A//C1B．

又D1A

平面BC1D，C1B?平面BC1D，ABDCA1B1D1C1∴D1A//平面BC1D．

同理D1B1//平面BC1D．又D1A∩D1B1=D1，∴平面AB1D1//平面BC1D．ABDCA1B1D1C1總結(jié)：本題的證明方法就是應(yīng)用面面平行的判定定理．證明面面平行的方法還有定義法，即證明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，但應(yīng)用起來有時(shí)候很不方便，所以我們經(jīng)常應(yīng)用面面平行的判定定理解決面面平行的問題．熟悉判定定理的應(yīng)用，體會平面與平面的平行到直線與平面平行，再到直線與直線平行的空間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，規(guī)范書寫格式．探究

類比直線與平面平行的研究，下面我們研究平面與平面平行的性質(zhì)，已知兩個(gè)平面平行，我們可以得到哪些結(jié)論呢？問題（1）：從哪些角度考慮我們能得到的結(jié)論？分析：觀察如圖長方體的有關(guān)的面面關(guān)系，我們可以得到以下這些結(jié)論：如果兩個(gè)平面平行，那么（1）一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行另一個(gè)平面；（2）一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面內(nèi)的直線沒有公共點(diǎn)，它們或者是異面直線，或者是平行直線．ABCDA′B′C′D′問題（2）：在分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線中，平行是一種特殊情況，什么時(shí)候這兩條直線平行呢？沒有公共點(diǎn)的直線中，平行是一類重要位置關(guān)系．在圖中，平面A′B′C′D′與平面ABCD平行，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)D有平行于直線B′D′的直線嗎？如果有，怎樣畫出這條直線？ABCDA′B′C′D′問題（2）：怎樣畫出這條直線？分析：由直線B′D′和點(diǎn)D可以確定一個(gè)平面，這個(gè)平面也是平行直線DD′和BB′確定的平面，它與平面AC有唯一過點(diǎn)D的公共直線BD，直線BD與直線B′D′都在直線B′D′和點(diǎn)D確定的平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以BD//B′D′．ABCDA′B′C′D′問題（3）：你能夠?qū)⑸厦娴奶骄拷Y(jié)果抽象為一般結(jié)論，并證明你的結(jié)論嗎？分析：通過觀察，我們可能想到的答案有：如果兩個(gè)平面平行，（1）過一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和另一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)的平面與另一個(gè)平面相交，交線與這條直線平行；（2）過一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的平面與另一個(gè)平面相交，交線與這條直線平行；（3）一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，交線平行．問題（3）：你能夠?qū)⑸厦娴奶骄拷Y(jié)果抽象為一般結(jié)論，并證明你的結(jié)論嗎？分析：分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線什么時(shí)候平行呢？我們?nèi)匀灰罁?jù)基本事實(shí)的推論進(jìn)行分析：如果α//β，a?α，b?β，且a//b，那么過a，b有且只有一個(gè)平面γ．這樣，我們可以把直線a，b看成是平面γ與平面α，β的交線．于是可以猜想：兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，所得的兩條交線平行．猜想證明：兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，所得的兩條交線平行．已知，如圖，平面α//平面β，平面γ分別與平面α，β相交于直線a，b．求證：a//b．αβab證明：如圖，平面α//平面β，平面γ分別與平面α，β相交于直線a，b．∵α∩γ=a，β∩γ=b，∴a?α，b?β．又α//β，

∴a，b沒有公共點(diǎn)．又a，b同在平面γ內(nèi)，

∴a//b．αβab平面與平面平行性質(zhì)定理：兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行．它可以用符號表示為：α//β，α∩γ=a，β∩γ=ba//b．

面面平行的性質(zhì)定理告訴我們，可以由平面與平面平行得出直線與直線平行．αβab例題

如圖，α//β，AB//CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求證：AB=CD．BDCAαβ問題（1）：證明兩條線段相等的方法很多，在本題條件下，要證明AB=CD，你想到了什么？分析：可以構(gòu)造平行四邊形，利用其對邊相等而得到AB=CD．BDCAαβ問題（2）：這么說來，AB與CD是一個(gè)平行四邊形的一組對邊，那么另一組對邊怎么構(gòu)造呢？題目的條件如何使用？分析：過平行線AB，CD作平面γ，與平面α，β分別相交于AC，BD．

由面面平行的性質(zhì)定理，可知AC//BD，進(jìn)而使得問題得到解決．BDCAαβγ證明：過平行線AB，CD作平面γ，與平面α，β分別相交于AC，BD．

∵α//β，

∴BD//AC．

又AB//CD，

∴四邊形ABDC是平行四邊形．∴AB=CD．BDCAαβγ總結(jié)：本題的證明方法應(yīng)用了面面平行的性質(zhì)定理．性質(zhì)定理的本質(zhì)是要發(fā)現(xiàn)與這兩個(gè)平面有關(guān)的直線、平面的相互關(guān)系．例如兩個(gè)平面平行，這兩個(gè)平面內(nèi)的直線互相平行或異面；一個(gè)平面上的直線和另一個(gè)平面平行．這兩個(gè)平面以外的其他平面如果與其中一個(gè)平行，則它與另一個(gè)也平行；如果與其中一個(gè)相交，則它與另一個(gè)也相交，并且交線平行．練習(xí)

在描述箭頭的括號處填上適當(dāng)?shù)脑~．（）（判定）線線平行線面平行面面平行（性質(zhì)）（）（）練習(xí)

在描述箭頭的括號處填上適當(dāng)?shù)脑~．解析：通過前面的學(xué)習(xí)，我們完成了立體幾何中直線、平面之間平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．（性質(zhì)）（判定）線線平行線面平行面面平行（性質(zhì)）（性質(zhì)）（判定）練習(xí)

判斷下列命題是否正確，若正確，則說明理由；若錯(cuò)誤，則舉出反例．（1）已知平面α，β和直線m，n，若m?α，n?α，m//β，n//β，則α//β．（2）若一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面β，則α//β．（3）平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行．練習(xí)

判斷下列命題是否正確，若正確，則說明理由；若錯(cuò)誤，則舉出反例．（1）已知平面α，β和直線m，n，若m?α，n?α，

m//β，n//β，則α//β．解析：（1）錯(cuò)誤．如果m//n，α與β不一定平行．

可以舉出一個(gè)反例，如圖所示，此時(shí)α與β相交．αmlβn練習(xí)

判斷下列命題是否正確，若正確，則說明理由；若錯(cuò)誤，則舉出反例．（2）若一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面β，則α//β．解析：（2）正確．在一個(gè)平面內(nèi)兩條不平行的直線就是兩條相交直線，由面面平行的判定定理可知，α//β．練習(xí)

判斷下列命題是否正確，若正確，則說明理由；若錯(cuò)誤，則舉出反例．（3）平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行．解析：（3）錯(cuò)誤．平行于同一條直線的兩個(gè)平面不一定平行．可以舉出一個(gè)反例，如圖所示m//α，m//β，此時(shí)α與β相交．αβm練習(xí)

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)．求證：平面AMN//平面DBEF．分析：容易證明MN//EF，NA//EB，由此可得MN，NA都平行于平面DBEF，從而平面AMN//平面DBEF．CC1D1BAB1A1MNFED證明：連結(jié)B1D1，EN．∵C1F=FD1，C1E=EB1，∴EF//B1D1．

同理MN//B1D1．∴MN//EF．∵M(jìn)N平面DBEF，EF?平面DBEF，∴MN//平面DBEF．CC1D1BAB1A1MNFED∵A1N=ND1，B1E=EC1，

∴NE//A1B1且NE=A1B1．又A1B1//AB且A1B1=AB，∴NE//AB且NE=AB．∴四邊形ABEN為平行四邊形．∴AN//BE．又