數(shù)學課件第二章212函數(shù)模型的應用

函數(shù)模型的應用第二章函數(shù)考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術語的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中

的廣泛應用.第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練

內(nèi)容索引落實主干知識第一部分1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與

平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與

平行隨n值的變化而各有不同y軸x軸2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝

＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大.(

)(2)某商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若九折出售，則每件還能獲利.(

)(3)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增長速度.(

)(4)在選擇函數(shù)模型解決實際問題時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.(

)××√×1.當x越來越大時，下列函數(shù)中增長速度最快的是A.y＝5x B.y＝log5xC.y＝x5 D.y＝5x√結合函數(shù)的性質(zhì)可知，幾種函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)的增長速度最快.2.在某個物理實驗中，測量得到變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：則對x，y最適合的函數(shù)模型是A.y＝2x B.y＝x2－1C.y＝2x－2 D.y＝log2xx0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00√根據(jù)x＝，y＝－，代入計算，可以排除A；根據(jù)x＝，y＝，代入計算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意，故選D.x0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.003.某超市的某種商品的日利潤y(單位：元)與該商品的當日售價x(單位：元)之間的關系為y＝

＋12x－210，那么該商品的日利潤最大時，當日售價為________元.150探究核心題型第二部分例1

(1)(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中，正確的是A.首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物

發(fā)揮治療作用B.每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于

2小時，一定會產(chǎn)生藥物中毒C.每間隔小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D.首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程√√√從圖象中可以看出，首次服用該藥物1單位約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時后的血藥濃度達到最大值，由圖象可知，當兩次服藥間隔小于2小時時，一定會產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥小時時，血藥濃度等于最低有效濃度，此時再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；第一次服用該藥物1單位4小時后與第2次服用該藥物1單位1小時后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會發(fā)生藥物中毒，D錯誤.(2)根據(jù)一組試驗數(shù)據(jù)畫出的散點圖如圖所示.現(xiàn)有如下5個函數(shù)模型：①y＝x－；②y＝2x－；③y＝2x－x＋6；④y＝log2x；⑤y＝

＋1.84.請從中選擇一個函數(shù)模型，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應選______.(填序號)④由圖可知上述點大體分布在函數(shù)y＝log2x的圖象上，故選擇y＝log2x可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律.判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選擇函數(shù)圖象.(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.思維升華跟蹤訓練1

如圖，點P在邊長為1的正方形ABCD的邊上運動，M是CD的中點，則當P沿A－B－C－M運動時，點P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y的函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是下圖中的√由函數(shù)可知，有三段直線，又當點P在BC上時是減函數(shù)，故選A.例2

(1)(2021·全國甲卷)青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5＋lgV.已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(

≈1.259)

題型二已知函數(shù)模型的實際問題√(2)(2022·莆田質(zhì)檢)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關系為P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常數(shù).如果2h后還剩下90%的污染物，5h后還剩下30%的污染物，那么8h后還剩下_____%的污染物.10設初始污染物數(shù)量為P′，兩式相除得e3k＝3.已知函數(shù)模型解決實際問題的關鍵(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.跟蹤訓練2

(1)(多選)(2023·德州模擬)在流行病學中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù).假設某種傳染病的基本傳染數(shù)為R0，1個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N個人中有V個人接種過疫苗

，那么1個感染者傳染人數(shù)為

(N－V).已知某種傳染病在某地的基本傳染數(shù)R0＝4，為了使1個感染者傳染人數(shù)不超過1，則該地疫苗的接種率不可能為A.45%

B.55%

C.65%

D.75%√√√(2)牛頓曾經(jīng)提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t為時間，單位：分鐘，θ0為環(huán)境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度)，假設一杯開水溫度θ1＝100℃，環(huán)境溫度θ0＝20℃，常數(shù)k＝，大約經(jīng)過________分鐘水溫降為40℃(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7)

√例3

智能輔助駕駛已開始得到初步應用，其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與障礙物之間的距離，并結合車速轉化為所需時間，當此距離等于報警距離時就開始報警，等于危險距離時就自動剎車.若將報警時間劃分為4段，分別為準備時間t0與人的反應時間t1，系統(tǒng)反應時間t2，制動時間t3，相應的距離分別為d0，d1，d2，d3，如圖所示.當車速為v(米/秒)，且0<v≤時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表給出的數(shù)據(jù)(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，且1≤k≤2).題型三構造函數(shù)模型的實際問題階段準備人的反應系統(tǒng)反應制動時間t0t1＝0.8秒t2＝0.2秒t3距離d0＝10米d1d2(1)請寫出報警距離d(米)與車速v(米/秒)之間的函數(shù)關系式，并求當k＝2時，當汽車達到報警距離時，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間；階段準備人的反應系統(tǒng)反應制動時間t0t1＝0.8秒t2＝0.2秒t3距離d0＝10米d1d2即以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間為2秒.(2)若要求汽車在k＝1的路面上行駛時報警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應限制在多少以下(單位：米/秒)?階段準備人的反應系統(tǒng)反應制動時間t0t1＝0.8秒t2＝0.2秒t3距離d0＝10米d1d2即v2＋20v－800<0，－40<v<20，又0<v≤，故0<v<20，所以汽車的行駛速度應限制在20米/秒以下.構建函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)建模：抽象出實際問題的數(shù)學模型；(2)推理、演算：對數(shù)學模型進行邏輯推理或數(shù)學運算，得到問題在數(shù)學意義上的解；(3)評價、解釋：對求得的數(shù)學結果進行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解.跟蹤訓練3

(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預定區(qū)域安全著陸.嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示).現(xiàn)將石片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為100m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取≈－，≈－0.105)

√設石片第n次“打水漂”時的速率為vn，則vn＝100×n－1.由100×n－1<60，得n－1，則(n－，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.(2)網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內(nèi)成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年1月起開展網(wǎng)絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x(單位：萬件)與投入實體店體驗安裝的費用t(單位：萬元)之間滿足函數(shù)關系式x＝3－

.已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件的進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司的最大月利潤是________萬元.則最大月利潤為萬元.課時精練第三部分基礎保分練1.有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關系的函數(shù)模型是A.y＝2x＋1－1

B.y＝x3

C.y＝2log2x

D.y＝x2－1√將各點(x，y)分別代入各函數(shù)可知，最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關系的函數(shù)模型是y＝x2－1.1234567891011121314√12345678910111213141234567891011121314中途回家取證件，因此中間有零點，排除A，B，第二次離開家速度更大，直線的斜率更大，故只有C滿足題意.12345678910111213143.農(nóng)業(yè)農(nóng)村部發(fā)布2022年農(nóng)區(qū)蝗蟲防控技術方案.為了做好蝗蟲防控工作，完善應急預案演練，專家假設蝗蟲的日增長率為6%，最初有N0只，則能達到最初的1200倍大約經(jīng)過(參考數(shù)據(jù)：≈0.0583，ln1200≈7.0901)天天天天√由題意可知，蝗蟲最初有N0只且日增長率為6%.設經(jīng)過n天后蝗蟲數(shù)量達到原來的1200倍，∴n＝1200，∵n∈N*，∴大約經(jīng)過122天能達到最初的1200倍.12345678910111213144.“喊泉”是一種地下水的毛細現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強m與標準聲調(diào)m0

之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作L(貝爾)，即L＝

，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度y(分貝)與噴出的泉水高度x(米)滿足關系式y(tǒng)＝2x，現(xiàn)知A同學大喝一聲激起的涌泉最高高度為70米，若A同學大喝一聲的聲強大約相當于100個B同學同時大喝一聲的聲強，則B同學大喝一聲激起的涌泉最高高度約為米

米

米

米√12345678910111213141234567891011121314設B同學的聲強為m，噴出的泉水高度為x，則A同學的聲強為100m，噴出的泉水高度為70，相減得2＝14－x?x＝12?x＝60.12345678910111213145.大氣壓強p＝

，它的單位是“帕斯卡”(Pa,1Pa＝1N/m2)，大氣壓強p(Pa)隨海拔高度h(m)的變化規(guī)律是p＝p0e－kh(k＝0.000126m－1)，p0是海平面大氣壓強.已知在某高山A1，A2兩處測得的大氣壓強分別為p1，p2，

，那么A1，A2兩處的海拔高度的差約為(參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.099)A.660m B.2340mC.6600m D.8722m√1234567891011121314設A1，A2兩處的海拔高度分別為h1，h2，∴A1，A2兩處的海拔高度的差約為8722m.6.(多選)目前部分城市處于垃圾的包圍之中，且城市垃圾中的快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾正在逐年攀升，有關數(shù)據(jù)顯示，某城市從2018年到2021年產(chǎn)生的包裝垃圾量如下表：1234567891011121314年份x2018201920202021包裝垃圾生產(chǎn)量y(萬噸)46913.5(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)則以下說法正確的是A.選擇模型①，函數(shù)模型解析式為y＝4×

，近似反映該城市近幾年包裝

垃圾生產(chǎn)量y(萬噸)與年份x的函數(shù)關系B.選擇模型②，函數(shù)模型解析式為y＝

＋4，近似反映該城市近

幾年包裝垃圾生產(chǎn)量y(萬噸)與年份x的函數(shù)關系C.若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2023年開始，該城市的包裝

垃圾將超過40萬噸D.若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2024年開始，該城市的包裝

垃圾將超過40萬噸√年份x2018201920202021包裝垃圾生產(chǎn)量y(萬噸)46913.5√12345678910111213141234567891011121314年份x2018201920202021包裝垃圾生產(chǎn)量y(萬噸)46913.5顯然A正確，B錯誤；年份x2018201920202021包裝垃圾生產(chǎn)量y(萬噸)46913.5∴x－2018>10，12345678910111213141234567891011121314年份x2018201920202021包裝垃圾生產(chǎn)量y(萬噸)46913.5∴x>2023.6786，即從2024年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸，故C錯誤，D正確.4621234567891011121314∴該學生在高考中可能取得的總分約為400＋62＝462.123456789101112131412345678910111213148.里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅.假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的__________倍.6100001234567891011121314M＝lg1000－＝3－(－3)＝6.即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10000倍.12345678910111213149.“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點.研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù).當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4<x≤20時，v是x的一次函數(shù)，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年.(1)當0<x≤20時，求v關于x的函數(shù)解析式；由題意得當，0<x≤4時，v＝2；當4<x≤20時，設v＝ax＋b(a≠0)，顯然v＝ax＋b在(4,20]內(nèi)單調(diào)遞減，12345678910111213141234567891011121314(2)當養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值.設年生長量為f(x)千克/立方米，當0<x≤4時，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；12345678910111213141234567891011121314所以當0<x≤20時，f(x)的最大值為12.5.即當養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為千克/立方米.10.(2023·保定模擬)某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮(其覆蓋面積為k)，這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為24m2，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為36m2，鳳眼蓮的覆蓋面積y(單位：m2)與月份x(單位：月)的關系有兩個函數(shù)模型y＝kax(k>0，a>1)與y＝

＋k(p>0，k>0)可供選擇.(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；12345678910111213141234567891011121314由題設可知，兩個函數(shù)y＝kax(k>0，a>1)，y＝

＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均為增函數(shù)，隨著x的增大，函數(shù)y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越來越快，而函數(shù)y＝

＋k(p>0，k>0)的值增加得越來越慢，由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數(shù)模型y＝kax(k>0，a>1)滿足要求.12345678910111213141234567891011121314(2)求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份.(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)12345678910111213141234567891011121314因此，鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是6月份.綜合提升練11.生物體死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量P會按確定的比率衰減(稱為衰減率)，P與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關系式為P＝(其中a為常數(shù))，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.若2021年某遺址文物出土時碳14的殘余量約占原始含量的75%，則可推斷該文物屬于參考數(shù)據(jù)：log2≈－參考時間軸：A.宋

B.唐

C.漢

D.戰(zhàn)國√123456789101112131412345678910111213141234567891011121314解得t≈5730×＝2292，由2021－2292＝－271得，對應時期為戰(zhàn)國，所以可推斷該文物屬于戰(zhàn)國.12.醫(yī)學家們?yōu)榱私沂舅幬镌谌梭w內(nèi)吸收、排出的規(guī)律，常借助恒速靜脈滴注一室模型來進行描述.在該模型中，人體內(nèi)藥物含量x(單位：mg)與給藥時間t(單位：h)近似滿足函數(shù)關系式lnkx＝lnk0＋ln(1－e－kt)，其中k0，k分別稱為給藥速率和藥物消除速率(單位：mg/h).經(jīng)測試發(fā)現(xiàn)，對于某種藥物，給藥時間12h后，人體內(nèi)的藥物含量為

，則該藥物的消除速度k的值約為(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693)A.0.1055 B.0.1065C.0.1165 D.0.1155√12345678910111213141234567891011121314解得k≈0.1155.拓展沖刺練13.(多選)(2023·濟南模擬)甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一方向運動，它們的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關于時間x(x≥0)的函數(shù)關系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，則下列結