2024屆江蘇省南通市海安市海安高級中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆江蘇省南通市海安市海安高級中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為（）A.2 B.C. D.2．已知集合，，則（）A. B.C. D.3．已知向量，，且與互相平行，則的值為（）A.-2 B.C. D.4．已知數(shù)列{}滿足，則（）A. B.C. D.5．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線（）的焦點F，且和y軸交于點A，若（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線方程為（）A. B.C. D.6．記為等差數(shù)列的前n項和，有下列四個等式，甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一個等式不成立，則該等式為（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁7．函數(shù)y＝x3＋x2－x＋1在區(qū)間[－2,1]上的最小值為()A. B.2C.－1 D.－48．圓與直線的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不能確定9．命題“存在，使得”為真命題的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.10．如果，那么下面一定成立的是（）A. B.C. D.11．已知公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.2512．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖將自然數(shù)，…按到箭頭所指方向排列，并依次在，…等處的位置拐彎．如圖作為第一次拐彎，則第33次拐彎的數(shù)是___________，超過2021的第一個拐彎數(shù)是____________14．直線被圓所截得的弦中，最短弦所在直線的一般方程是__________15．在等差數(shù)列中，，公差，則_________16．已知直線，圓，若直線與圓相交于兩點,則的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，是的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求點到面的距離.（3）求二面角的平面角的正切值.18．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前n項和，求.19．（12分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標原點，為橢圓的左頂點，動直線過線段的中點，且與橢圓相交于、兩點．已知當直線的傾斜角為時，（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點，且點總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由20．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，左焦點為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若是橢圓的右頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，求的面積.21．（12分）設(shè)曲線在點（1，0）處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）求證：；（3）當，求a的取值范圍.22．（10分）已知關(guān)于x的不等式，.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為R，求k的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】，得出到漸近線的距離為，由此可得的關(guān)系，從而求得離心率【題目詳解】因為，而，所以是等邊三角形，到直線的距離為，又，漸近線方程取，即，所以，化簡得故選：B2、B【解題分析】根據(jù)根式、分式的性質(zhì)求定義域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交運算求.【題目詳解】∵，，∴故選：B3、A【解題分析】應(yīng)用空間向量坐標的線性運算求、的坐標，根據(jù)空間向量平行有，即可求的值.【題目詳解】由題設(shè)，，，∵與互相平行，∴且，則，可得.故選：A4、B【解題分析】先將通項公式化簡然后用裂項相消法求解即可.【題目詳解】因為，.故選：B5、B【解題分析】根據(jù)拋物線的方程寫出焦點坐標，求出直線的方程、點的坐標，最后根據(jù)三角形面積公式進行求解即可.【題目詳解】拋物線的焦點的坐標為，所以直線的方程為：，令，解得，因此點的坐標為：，因為面積為4，所以有，即，，因此拋物線的方程為.故選：B.6、D【解題分析】分別假設(shè)甲、乙、丙、丁不成立，驗證得到答案【題目詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，若甲不成立，則，由①，③可得，此時與②矛盾；A錯，若乙不成立，則，由①，③可得，此時；與②矛盾；B錯，若丙不成立，則，由①，③可得，此時；與②矛盾；C錯，若丁不成立，則，由①，③可得，此時；，D對，故選：D.7、C【解題分析】詳解】，令，解得或；令，解得函數(shù)在上遞增，在遞減，在遞增，時，取極大值，極大值是時，函數(shù)取極小值，極小值是，而時，時，，故函數(shù)的最小值為，故選C.8、B【解題分析】用圓心到直線的距離與半徑的大小判斷【題目詳解】解：圓的圓心到直線的距離，等于圓的半徑，所以圓與直線相切，故選：B9、B【解題分析】“存在，使得”為真命題，可得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．再利用充要條件的判定方法即可得出.【題目詳解】解：因為“存在，使得”為真命題，所以，因此上述命題得個充分不必要條件是.故選：B.【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.10、C【解題分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及特例法和作差比較法，逐項計算，即可求解.【題目詳解】對于A中，當時，，所以不正確；對于B中，因為，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，對于C中，由，可得可得，所以，所以正確；對于D中，由，可得，則，所以，所以不正確.故選：C.11、B【解題分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)求得，從而可得出答案.【題目詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，則.故選：B.12、A【解題分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則求出z＝a＋bi形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【題目詳解】，z對應(yīng)的點在第一象限.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解題分析】根據(jù)題意得到拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，歸納得到當為奇數(shù)為；當為為偶數(shù)為，分別代入，即可求解.【題目詳解】解：由題意，拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，如下表：拐彎的序數(shù)012345678拐彎處的數(shù)1235710131721觀察拐彎處的數(shù)字的規(guī)律：第1個數(shù)；第3個數(shù)；第5個數(shù)；第7個數(shù)；，所以當為奇數(shù)為；同理可得：當為為偶數(shù)為；第33次拐彎的數(shù)是，當時，可得，當時，可得，所以超過2021第一個拐彎數(shù)是.故答案為：；.14、【解題分析】先求出直線所過的定點，當該定點為弦的中點時弦長最短，利用點斜式求出直線方程，整理成一般式即可.【題目詳解】即，令，解得即直線過定點圓的圓心為，半徑為，最短弦所在直線的方程為整理得最短弦所在直線的一般方程是故答案為：.15、15【解題分析】由等差數(shù)列通項公式直接可得.【題目詳解】.故答案為：1516、【解題分析】求出直線過的定點，當圓心和定點的連線垂直于直線時，取得最小值，結(jié)合即可求解.【題目詳解】由題意知，圓，圓心，半徑，直線，，，解得，故直線過定點，設(shè)圓心到直線的距離為，則，可知當距離最大時，有最小值，由圖可知，時，最大，此時，此時.故的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解題分析】（1）首先以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用向量求；（2）首先求平面的法向量，再利用公式求解；（3）求平面的法向量為，先求，再求二面角的正切值.【題目詳解】（1）以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系.則有、、、.，，所以異面直線與所成角的余弦為（2）設(shè)平面的法向量為，則知：；知取，又，點到面的距離所以點到面的距離為.（3）（2）中已求平面的法向量，設(shè)平面的法向量為∵；∴取..設(shè)二面角的平面角為，則.【題目點撥】本題考查空間直角坐標系求解空間角和點到平面的距離，重點考查計算能力，屬于中檔題型.18、（1）（2）【解題分析】（1）由題意可得數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，再由可求出，從而可求出通項公式，（2）由（1）可得，然后利用分組求和可求出【小問1詳解】因為數(shù)列滿足，所以數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，因為，所以，得，所以【小問2詳解】由（1）可得，所以19、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解題分析】（1）分析可知，，直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得的值，即可得出橢圓的標準方程；（2）設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因為，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點，則點，當直線的傾斜角為時，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：易知點，若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的兩個端點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，直線的斜率為，直線的方程為，故點，同理可得點，，，由題意可得，解得或.因此，存在滿足題設(shè)條件的直線，且直線的方程為或，點總在以線段為直徑的圓上.【題目點撥】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.20、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解題分析】（Ⅰ）由橢圓的定義求出的值，由求出，代入，得到橢圓的方程；（Ⅱ）由點斜式求出直線的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出的值，再算出的面積試題解析（Ⅰ）由橢圓的定義得：又，故，∴橢圓的方程為：.（Ⅱ）過的直線方程為，，聯(lián)立，設(shè)，則，∴的面積.點睛：本題主要考查了求橢圓的方程，直線與橢圓相交時弦長的計算等，屬于中檔題．在（Ⅱ）中，注意的面積的計算公式21、（1）（2）證明見解析（3）【解題分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，令x=1處的切線的斜率等1，結(jié)合，即可求得a和b的值；（2）利用（1）的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，求求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出最小值即可證明；（3）根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)，分類討論導(dǎo)數(shù)的值的情況，根據(jù)單調(diào)性，判斷函數(shù)的最小值情況，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知：，因為曲線在點（1，0）處的切線方程為，故，即；【小問2詳解】證明：由（1）知：，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值，也即最小值，最