廣東省廣州市華南師大附中2024屆數(shù)學高二上期末考試試題含解析

廣東省廣州市華南師大附中2024屆數(shù)學高二上期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某中學的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進行的天數(shù)為（）A.13 B.14C.15 D.162．在空間直角坐標系中，為直線的一個方向向量，為平面的一個法向量，且，則（）A. B.C. D.3．已知雙曲線的兩個頂點分別為A、B，點P為雙曲線上除A、B外任意一點，且點P與點A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.34．已知公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.255．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，若存在兩項，使得，則的最小值為（）A.4 B.C. D.96．方程表示的曲線為（）A.拋物線與一條直線 B.上半拋物線（除去頂點）與一條直線C.拋物線與一條射線 D.上半拋物線（除去頂點）與一條射線7．已知是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則等于（）A.2 B.4C.6 D.88．在等差數(shù)列中，，，則的值是（）A.130 B.260C.156 D.1689．在中，角、、所對的邊分別是、、.已知，，且滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.10．已知為原點，點，以為直徑的圓的方程為()A. B.C. D.11．曲線在處的切線如圖所示，則（）A. B.C. D.12．某公司有1000名員工，其中：高層管理人員為50名，屬于高收入者；中層管理人員為150名，屬于中等收入者；一般員工為800名，屬于低收入者．要對這個公司員工的收入情況進行調查，欲抽取100名員工，應當抽取的一般員工人數(shù)為（）A.100 B.15C.80 D.50二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個球表面積為，則該球的半徑為____________14．已知定點，，P是橢圓上的動點，則的的最小值為______.15．若，且，則的最小值是____________.16．如圖，已知AB，CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且，若該圓柱的底面圓直徑是其母線長的2倍，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1，已知矩形中，，E為上一點且.現(xiàn)將沿著折起，使點D到達點P的位置，且，得到的圖形如圖2.（1）證明為直角三角形；（2）設動點M在線段上，判斷直線與平面位置關系，并說明理由.18．（12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為，若，求直線的方程19．（12分）某電腦公司為調查旗下A品牌電腦的使用情況，隨機抽取200名用戶，根據(jù)不同年齡段（單位：歲）統(tǒng)計如下表：分組頻率/組距0.010.040.070.060.02（1）根據(jù)上表，試估計樣本的中位數(shù)、平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表，結果精確到0.1）；（2）按照年齡段從內的用戶中進行分層抽樣，抽取6人，再從中隨機選取2人贈送小禮品，求恰有1人在內的概率20．（12分）計算：（1）求函數(shù)（a，b為正常數(shù)）的導數(shù)（2）已知點P在曲線上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍21．（12分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，（1）若，求c的值；（2）求最大值22．（10分）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值（1）求實數(shù)、的值；（2）設，若不等式，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】由題意可得募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數(shù)列，設共募捐了天，然后建立關于的方程，求出即可【題目詳解】由題意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數(shù)列，根據(jù)題意，設共募捐了天，則，解得或（舍去），所以，故選：2、B【解題分析】由已知條件得出，結合空間向量數(shù)量積的坐標運算可求得實數(shù)的值.【題目詳解】因為，則，解得.故選：B.3、C【解題分析】根據(jù)題意設設，根據(jù)題意得到，進而求得離心率【題目詳解】根據(jù)題意得到設，因為，所以，所以，則故選：C.4、B【解題分析】設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)求得，從而可得出答案.【題目詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，則，所以，則.故選：B.5、C【解題分析】由求得，代入求得，利用基本不等式求出它的最小值【題目詳解】因為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，可得，即解得或（舍去）∵，，∴=當且僅當，即m=2,n=4時，等號成立故的最小值等于.故選：C【題目點撥】方法點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和基本不等式的應用，解題的關鍵是常量代換的技巧，所謂常量代換，就是把一個常數(shù)用代數(shù)式來代替，如，再把常數(shù)6代換成已知中的m+n,即.常量代換是基本不等式里常用的一個技巧，可以優(yōu)化解題，提高解題效率.6、B【解題分析】化簡得出或，由此可得出方程表示的曲線.【題目詳解】由可得或，所以，方程表示的曲線為上半拋物線（除去頂點）與一條直線，故選：B.7、D【解題分析】根據(jù)雙曲線定義寫出，兩邊平方代入焦點三角形的余弦定理中即可求解【題目詳解】雙曲線，，所以，根據(jù)雙曲線的對稱性，可假設在第一象限，設，則，所以，，在中，根據(jù)余弦定理：，即，解得：，所以故選：D8、A【解題分析】由等差數(shù)列的性質計算得到，進而利用求和公式，變形求出答案.【題目詳解】由題意得：，故故選：A9、D【解題分析】利用正弦定理邊角互化思想化簡得出，利用余弦定理化簡得出，結合，根據(jù)函數(shù)在上的單調性可求得的取值范圍.【題目詳解】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，則，由余弦定理得，，則，由于雙勾函數(shù)在上單調遞增，則，即，所以，.因此，的取值范圍為.故選：D.【題目點撥】本題考查三角形內角余弦值的取值范圍的求解，考查了余弦定理以及正弦定理邊角互化思想的應用，考查計算能力，屬于中等題.10、A【解題分析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標準方程即可求解﹒【題目詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓方程為﹒故選：A﹒11、C【解題分析】由圖可知切線斜率為，∴.故選：C.12、C【解題分析】按照比例關系，分層抽取.【題目詳解】由題意可知，所以應當抽取的一般員工人數(shù)為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設球的半徑為，代入球的表面積公式得答案【題目詳解】解：設球的半徑為，則，得，即或（舍去）故答案為：14、##【解題分析】根據(jù)橢圓的定義可知，化簡并結合基本不等式可求的的最小值.【題目詳解】由題可知：點，是橢圓的焦點，所以，所以，即，當且僅當時等號成立，即時等號成立.所以的最小值為，故答案為：.15、【解題分析】應用基本不等式“1”的代換求a+4b的最小值即可.【題目詳解】由，有，則，當且僅當，且，即時等號成立，∴最小值為.故答案為：16、.【解題分析】利用空間向量夾角公式進行求解即可.【題目詳解】取CD的中點O，以O為原點，以CD所在直線為x軸，以底面內過點O且與CD垂直的直線為y軸，以過點O且與底面垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設，則，，，，，，所以，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）答案不唯一，見解析【解題分析】（1）利用折疊前后的線段長度及勾股定理求證即可；（2）動點M滿足時和，但時兩種情況，利用線線平行或相交得到結論.【小問1詳解】在折疊前的圖中，如圖：，E為上一點且，則，折疊后，所以，又，所以，所以為直角三角形.小問2詳解】當動點M在線段上，滿足，同樣在線段上取，使得，則，當時，則，又且所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以此時平面；當時，此時，但，所以四邊形為梯形，所以與必然相交，所以與平面必然相交.綜上，當動點M滿足時，平面；當動點M滿足，但時，與平面相交.18、（1）（2）【解題分析】（1）由離心率公式以及橢圓的性質列出方程組得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達定理得出點坐標，最后由距離公式得出直線的方程【小問1詳解】由題意可得，得，，橢圓；【小問2詳解】設，，直線為由，得顯然，由韋達定理有：，則；所以，且，若，解得，所以19、（1）中位數(shù)為38.6，平均數(shù)為38.5歲；（2）.【解題分析】（1）由中位數(shù)分數(shù)據(jù)兩邊的頻率相等，列方程求中位數(shù)；根據(jù)各組數(shù)據(jù)的中點數(shù)乘以頻率即可得平均數(shù)；（2）由分層抽樣確定從中各抽4人、2人，列舉出隨機選取2人的所有組合，得到恰有1人在的組合數(shù)，即可求概率.【題目詳解】（1）中位數(shù)在中，設為，則，解得.平均數(shù)為歲.所以樣本的中位數(shù)約為38.6，平均數(shù)為38.5歲.（2）根據(jù)分層抽樣法，其中位于中的有4人，記為，，，；位于中的有2人，記為，.從6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，恰有1人在內的有，，，，，，，，共8種情況，∴恰有1人在內的概率為.【題目點撥】關鍵點點睛：由中位數(shù)的性質以及平均數(shù)與各組數(shù)據(jù)中點值、頻率的關系求中位數(shù)、平均數(shù)；根據(jù)分層抽樣確定各組選取人數(shù)，利用列舉法求概率.20、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)導數(shù)的運算法則，結合復合函數(shù)的求導法則，可得答案;（2）求出函數(shù)的導數(shù)，結合基本不等式求得導數(shù)的取值范圍，根據(jù)導數(shù)的幾何意義結合正切函數(shù)的單調性，求得答案.【小問1詳解】由題意得：；【小問2詳解】,由于，故，當且僅當時取等號，故，則P處的切線的斜率，由為曲線在點P處的切線的傾斜角可得，由于，故的取值范圍為：.21、（1）；（2）【解題分析】（1）利用等差數(shù)列以及三角形內角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，結合三角函數(shù)的最值求解即可【題目詳解】（1）由角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，得2B＝A＋C又，∴由正弦定理，得，即由余弦定理，得，即，解得（2）由正弦定理，得，∴，∴由，得所以當