2021年湖南省岳陽(yáng)市縣甘田中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021年湖南省岳陽(yáng)市縣甘田中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.雙曲線的漸近線于圓相切，且該雙曲線過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（

）A.3 B.4C.6 D.8參考答案：D【分析】的漸近線與圓相切等價(jià)于圓心到漸近線的距離等于半徑，推出的方程，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上，求解，然后求解雙曲線的虛軸長(zhǎng)．【詳解】雙曲線的一條漸近線．圓的圓心，半徑．漸近線與圓相切，，即，①該雙曲線過(guò)點(diǎn)，，②解①②可得，，雙曲線，該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為8．故選：．【點(diǎn)睛】熟練掌握雙曲線的漸近線方程、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、離心率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，是中檔題．2.為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像A.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

B.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

D.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位參考答案：A因?yàn)?，所以為了得到函?shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，選B.3.若的大小關(guān)系（

）A.

B. C. D.與x的取值有關(guān)參考答案：D略4.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1+a7+a13=π，則tan（a2+a12）的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和誘導(dǎo)公式即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a1+a13=a2+a12=2a7，∵a1+a7+a13=π，∴3a7=π，解得．則tan（a2+a12）==﹣．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．5.若向量=（2,3），=（4,7），則=A．（-2,-4）

B．(3,4)

C．(6,10)

D．(-6,-10)參考答案：A

．故選A．6.若,則“關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根”是“(其中表示虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的

(

).充分非必要條件.

.必要非充分條件..充要條件.

.既非充分又非必要條件.參考答案：B7.已知函數(shù)滿足，當(dāng)，，若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D8.設(shè)為定義在Ｒ上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A．－２

B．２C．－９８D．９８參考答案：A略9.函數(shù)的最大值與最小值之和為（

）

A.

B.0

C.－1

D.參考答案：A略10.復(fù)數(shù)z滿足，則A.2i

B.2

C.i

D.1參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，則曲線C1上的點(diǎn)與曲線C2上的點(diǎn)的最近距離為

．參考答案：﹣1考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．專題：選作題；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離為d，再把d減去半徑，即為所求．解答： 解：由于曲線C1、C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，則它們的直角坐標(biāo)方程分別為x2+（y﹣1）2=1，x+y+1=0．曲線C1上表示一個(gè)半徑為1的圓，圓心為（0，1），曲線C2表示一條直線，圓心到直線的距離為d==，故曲線C1上的點(diǎn)與曲線C2上的點(diǎn)的最近距離為﹣1，故答案為：﹣1．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第_______象限．參考答案：三【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】復(fù)數(shù)＝，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.在第三象限.故答案為：三【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.13.已知，則的最大值為

.參考答案：14.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面交棱AA1于點(diǎn)F．給出下列命題：①存在點(diǎn)E，使得//平面；②對(duì)于任意的點(diǎn)E，平面平面；③存在點(diǎn)E，使得平面；④對(duì)于任意的點(diǎn)E，四棱錐的體積均不變.其中正確命題的序號(hào)是______．.參考答案：①②④15.已知是函數(shù)圖像上的點(diǎn)，是雙曲線在第四象限這一分支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，使其與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與軸、軸分別交于點(diǎn)，另一條直線與軸、軸分別交于點(diǎn)。則（1）為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形的面積為

（2）四邊形面積的最小值為

參考答案：（1）12

（2）4816.

外接圓的半徑為1，圓心為O，且，，則的值是______.參考答案：317.如圖已知圓中兩條弦與相交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且若與圓相切，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________

參考答案：本題考查了平面幾何知識(shí)中的圓的切線、割線的性質(zhì)，考查了相交弦定理、切割線定理.，難度中等。

設(shè)，則,,由相交弦定理得,即，則，得，,,由切割線定理得,解得.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．（1）求證：AF∥平面PCE；（2）求三棱錐C－BEP的體積．參考答案：（1）證明：取PC的中點(diǎn)G，連接GF，因?yàn)镕為PD的中點(diǎn)，所以，GF∥CD且又E為AB的中點(diǎn)，ABCD是正方形，所以，AE∥CD且故AE∥GF且所以，AEGF是平行四邊形，故AF∥EG，而平面，平面，所以，AF∥平面.（2）因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以，PA是三棱錐P-EBC的高，PA⊥AD，PA＝2，∠PDA=450，所以，AD=2，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，所以，EB=1，故的面積為1，故.故三棱錐C－BEP的體積為.19.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．參考答案：（1）由題設(shè)知，，

由，得．……3分解得．所以橢圓的方程為．…………4分（2）方法1：設(shè)圓的圓心為，則

………………6分

……Ks5u……………7分．………………8分從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值．………………9分因?yàn)槭菣E圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)，…………………10分所以，即．…………11分因?yàn)辄c(diǎn)，所以．……………12分因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值12．……………13分所以的最大值為11．………………………14分方法2：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以

………………6分所以……………7分

．…………………9分因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即．………10分因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即．…………………11分所以．……………12分因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．………………14分

方法3：①若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，………………6分由，解得．………7分因?yàn)槭菣E圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以，即．…………8分所以，

……………………9分所以．

……………………10分因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值11．…………11分②若直線的斜率不存在，此時(shí)的方程為，由，解得或．不妨設(shè)，，．…………………Ks5u…12分因?yàn)槭菣E圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以，即．所以，．所以．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值11．…………13分綜上可知，的最大值為11．………………14分20.(本小題滿分10分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ.(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ＜2π)．參考答案：(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0.由解得或所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，.21.在中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，，求及的面積。

參考答案：22.（本小題滿分12分）某市四所中學(xué)報(bào)名參加某高校今年自主招生的學(xué)生人數(shù)如下表所示：中學(xué)人數(shù)

為了了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報(bào)名參加考試的四所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取50名參加問(wèn)卷調(diào)查.（1）問(wèn)四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？（2）從參加問(wèn)卷調(diào)查的名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)的概率；（3）在參加問(wèn)卷調(diào)查的名學(xué)生中，從來(lái)自兩所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，用表示抽得中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和期望.]參考答案：（1）由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加該高校今年自主招生的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名，

抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為.

∴應(yīng)從四所中學(xué)抽取的學(xué)生人數(shù)分別為.

……