2024屆河南省平頂山市許昌市汝州市數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題含解析

2024屆河南省平頂山市，許昌市，汝州市數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.4C. D.2．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，有下列四個等式，甲：；乙：；丙：；?。海绻挥幸粋€等式不成立，則該等式為（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁3．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A.24 B.18C.12 D.64．已知命題，，則p的否定是（）A. B.C. D.5．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A. B.C. D.6．已知直線與直線垂直，則a＝（）A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣17．設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A. B.C. D.8．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P在截面上（含邊界），則線段的最小值等于（）A. B.C. D.9．橢圓的短軸長為（）A.8 B.2C.4 D.10．已知F1、F2是雙曲線E：(a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)P、Q．若，M為PQ的中點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，直線與C相交于M，N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），若M，，N，四點(diǎn)共圓，且直線傾斜角不小于，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.12．算盤是中國古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）．如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（）A.8 B.10C.15 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題p：若，則，那么命題p的否命題為______14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.15．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對分別打洞穿墻．大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半……”則小老鼠第三天穿城墻______尺；若城墻厚40尺，則至少在第________天相遇16．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解某校今年高一年級女生的身體素質(zhì)狀況，從該校高一年級女生中抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行“擲鉛球”的項(xiàng)目測試，成績低于5米為不合格，成績在5至7米（含5米不含7米）的為及格，成績在7米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學(xué)生的成績在9米到11米之間(1)求實(shí)數(shù)的值及參加“擲鉛球”項(xiàng)目測試的人數(shù)；(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生再進(jìn)行其它項(xiàng)目的測試，求所抽取的2名學(xué)生自不同組的概率18．（12分）為了謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)學(xué)生對中國共產(chǎn)黨的熱愛，某學(xué)校舉辦了一場黨史競賽活動，共有名學(xué)生參加了此次競賽活動．為了解本次競賽活動的成績，從中抽取了名學(xué)生的得分（得分均為整數(shù)，滿分為分）進(jìn)行統(tǒng)計，所有學(xué)生的得分都不低于分，將這名學(xué)生的得分進(jìn)行分組，第一組，第二組，第三組，第四組（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖（1）求圖中的值，估計此次競賽活動學(xué)生得分的中位數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計此次競賽活動得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學(xué)進(jìn)行獎勵，請估計在參賽的名學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎19．（12分）已知圓，直線的斜率為2，且過點(diǎn)（1）判斷與的位置關(guān)系；（2）若圓，求圓與圓的公共弦長20．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn)，且直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.21．（12分）設(shè)函數(shù)（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，求c的取值范圍22．（10分）已知函數(shù)的圖像在（為自然對數(shù)的底數(shù)）處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式在恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，可得最小值【題目詳解】，所以時，，遞減，時，，遞增，所以是在上的唯一極值點(diǎn)，極小值也是最小值．故選：D2、D【解題分析】分別假設(shè)甲、乙、丙、丁不成立，驗(yàn)證得到答案【題目詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，若甲不成立，則，由①，③可得，此時與②矛盾；A錯，若乙不成立，則，由①，③可得，此時；與②矛盾；B錯，若丙不成立，則，由①，③可得，此時；與②矛盾；C錯，若丁不成立，則，由①，③可得，此時；，D對，故選：D.3、C【解題分析】根據(jù)題意，結(jié)合計數(shù)原理中的分步計算，以及排列組合公式，即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意，要使組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個數(shù)字為個位數(shù)，有種可能，從1，3，5中選兩個數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個數(shù)為.故選：C.4、A【解題分析】直接根據(jù)全稱命題的否定寫出結(jié)論.【題目詳解】命題，為全稱命題，故p的否定是：.故選：A【題目點(diǎn)撥】全稱量詞命題的否定是特稱（存在）量詞命題，特稱（存在）量詞命題的否定是全稱量詞命題5、B【解題分析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，得極值，并求出端點(diǎn)處函數(shù)值比較后可得最小值【題目詳解】解：因?yàn)?，于是函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，得函數(shù)在區(qū)間上的最小值是故選：B6、D【解題分析】根據(jù)，得出關(guān)于的方程，即可求解實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】直線與直線垂直，所以，解得或.故選：D.7、A【解題分析】由周期函數(shù)得，再由奇函數(shù)的性質(zhì)通過得結(jié)論【題目詳解】∵函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，∴，而，又函數(shù)為奇函數(shù)，∴．故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．此類題型，求函數(shù)值時，一般先用周期性化自變量到已知區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，然后再由奇函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)值8、B【解題分析】根據(jù)體積法求得到平面的距離即可得【題目詳解】由題意的最小值就是到平面的距離正方體棱長為2，則，，設(shè)到平面的距離為，由得，解得故選：B9、C【解題分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，進(jìn)而得出短軸長.【題目詳解】由，可得，所以短軸長為.故選：C.10、D【解題分析】由題干條件得到，設(shè)出，利用雙曲線定義表達(dá)出其他邊長，得到方程，求出，從而得到，，利用勾股定理求出的關(guān)系，求出離心率.【題目詳解】因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，且，所以△為等腰三角形，即，因?yàn)?，設(shè)，則，由雙曲線定義可知：，所以，則，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故選：D11、B【解題分析】設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對稱性和圓的性質(zhì)得以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，則有以，再根據(jù)直線傾斜角不小于得，由橢圓的定義得，由此可求得橢圓離心率的范圍.【題目詳解】解：設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對稱性和M，，N，四點(diǎn)共圓得，四邊形必為一個矩形，即以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)橹本€傾斜角不小于，所以直線傾斜角不小于，所以，化簡得，，因?yàn)椋?，所以，，又，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：B.12、A【解題分析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動兩枚算珠的結(jié)果計算得解.【題目詳解】撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，由分類加法計數(shù)原理得共有8種方法，所以表示不同整數(shù)的個數(shù)為8.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、若，則【解題分析】直接利用否命題的定義，對原命題的條件與結(jié)論都否定即可得結(jié)果【題目詳解】因?yàn)槊}：若，則，所以否定條件與結(jié)論后，可得命題的否命題為若，則，故答案為若，則，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查命題的否命題，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14、【解題分析】根據(jù)向量坐標(biāo)意義及投影的定義得解.【題目詳解】因?yàn)橄蛄浚栽谳S上的投影向量為.故答案為:15、①.##0.25②.6【解題分析】由題意知小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即可算出小老鼠第三天穿城墻的厚度，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式，構(gòu)造等式，即可得解.【題目詳解】由題意知，小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴小老鼠第三天穿城墻的厚度為；大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴兩只老鼠第天打洞穿墻的厚度之和為，且數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，又城墻厚40尺，所以這兩只老鼠至少6天相遇.故答案為：；6.16、或##或【解題分析】根據(jù)向量平行時坐標(biāo)的關(guān)系和向量的模公式即可求解.【題目詳解】，且，設(shè)，，解得，或.故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0.05，40；（2）【解題分析】（1）因?yàn)橛深l率分布直方圖可得共五組的頻率和為1所以可得一個關(guān)于的等式，即可求出的值.再根據(jù)已知有4名學(xué)生的成績在9米到11米之間，可以求出本次參加“擲鉛球”項(xiàng)目測試的人數(shù).本小題要根據(jù)所給的圖表及直方圖作答，頻率的計算易漏乘以組距.（2）因?yàn)槿舸舜螠y試成績最好的共有4名同學(xué).成績最差的共有2名同學(xué).所以從6名同學(xué)中抽取2名同學(xué)共有15中情況，其中兩人在同組情況由8中.所以可以計算出所求的概率.試題解析：（Ⅰ）由題意可知解得所以此次測試總?cè)藬?shù)為答：此次參加“擲鉛球”的項(xiàng)目測試的人數(shù)為40人(Ⅱ)設(shè)從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生自不同組的事件為A：由已知，測試成績在有2人，記為；在有4人，記為.從這6人中隨機(jī)抽取2人有，共15種情況事件A包括共8種情況.所以答：隨機(jī)抽取的2名學(xué)生自不同組的概率為考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖.2.概率問題.3.列舉分類的思想.18、（1），中位數(shù)為；（2）得分的平均值為，估計有260名學(xué)生獲獎.【解題分析】(1)根據(jù)給定的頻率分布直方圖，利用各小矩形面積和為1計算得值；再由在中位數(shù)兩側(cè)所對小矩形面積相等即可計算得解.(2)由頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法求出得分平均值即可估計；再求出不低于平均分的頻率即可估計獲獎人數(shù).【小問1詳解】由頻率分布直方圖知：，解得，設(shè)此次競賽活動學(xué)生得分的中位數(shù)為，因數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率為0.4，落在內(nèi)的頻率為0.8，從而可得，由得：，所以，估計此次競賽活動學(xué)生得分的中位數(shù)為.【小問2詳解】由頻率分布直方圖及(1)知：數(shù)據(jù)落在，，，的頻率分別為，，此次競賽活動學(xué)生得分不低于82的頻率為，則，所以估計此次競賽活動得分的平均值為，在參賽的名學(xué)生中估計有260名學(xué)生獲獎.19、（1）與相切；（2）【解題分析】（1）求出圓C的圓心坐標(biāo)，半徑和直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）圓與圓的方程相減，可求出公共弦所在的直線方程，然后根據(jù)圓M的圓心到公共弦所在直線的距離及圓M的半徑即可求出公共弦長.【小問1詳解】由圓，可得，所以圓心為，半徑，直線的方程為，即因?yàn)閳A心到的距離為，所以與相切【小問2詳解】聯(lián)立方程可得，作差可得，即，即公共弦所在直線的方程為易知圓的半徑，圓心到直線的距離為，則公共弦長20、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)離心率的定義以及橢圓與拋物線焦點(diǎn)的關(guān)系，可以求出橢圓方程；（2）根據(jù)題意，可以利用鉛錘底水平高的方法求四邊形APBQ的面積，即是要利用韋達(dá)定理算出.【小問1詳解】由題意，即；拋物線，焦點(diǎn)為，故，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】由題意作圖如下：設(shè)AB直線的方程為：，并設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程：得：，∴……①，……②，；由于A，B兩點(diǎn)在直線PQ的兩邊（如上圖），所以，即，將①②帶入得：，解得；即由題意直線PQ的方程為，聯(lián)立方程解得，，∴；將線段PQ看做鉛錘底，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差看做水平高，得四邊形APBQ的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時取最大值，而，所以的最大值為.21、（1）（2）【解題分析】（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫切線方程；（2）由函數(shù)圖像可知，極