黑龍江省哈爾濱市三中2024學年高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

黑龍江省哈爾濱市三中2024學年高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，命題“若，則或”的否命題是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則且D.若，則且2．雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A.1 B.2C. D.3．設，“命題”是“命題”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．在中，已知角A，B，C所對邊為a，b，c，，，，則（）A. B.C. D.15．正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.6．已知的周長等于10，，通過建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担旤c的軌跡方程可以是（）A. B.C. D.7．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》記有行程減等問題：三百七十八里關，初行健步不為難次日腳痛減一半，六朝才得到其關．要見每朝行里數(shù)，請公仔細算相還．意為：某人步行到378里的要塞去，第一天走路強壯有力，但把腳走痛了，次日因腳痛減少了一半，他所走的路程比第一天減少了一半，以后幾天走的路程都比前一天減少一半，走了六天才到達目的地．請仔細計算他每天各走多少路程?在這個問題中，第四天所走的路程為（）A.96 B.48C.24 D.128．某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測.右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是.A.90 B.75C.60 D.459．已知直線，，若，則實數(shù)（）A. B.C.1 D.210．直線l：的傾斜角為（）A. B.C. D.11．已知復數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則復數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.12．已知點為雙曲線的左頂點，點和點在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的常數(shù)項為_______.14．數(shù)列滿足，，則___________.15．設命題：，，則為______.16．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是的中點（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值18．（12分）設四邊形為矩形，點為平面外一點，且平面，若，.（1）求與平面所成角的大小；（2）在邊上是否存在一點，使得點到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若點是的中點，在內(nèi)確定一點，使的值最小，并求此時的值.19．（12分）{}是公差為1的等差數(shù)列，.正項數(shù)列{}的前n項和為，且.（1）求數(shù)列{}和數(shù)列}的通項公式；（2）在和之間插入1個數(shù)，使，，成等差數(shù)列，在和之間插入2個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列，…，在和之間插入n個數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.①記，求{}的通項公式；②求的值.20．（12分）已知點和圓.（1）求圓的圓心坐標和半徑；（2）設為圓上的點，求的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，點A（a，0），且|AF|＝1（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點P，Q，求∠PFQ的大小22．（10分）已知數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)否命題的定義直接可得.【題目詳解】根據(jù)否命題的定義可得命題“若，則或”的否命題是若，則且，故選：C.2、A【解題分析】分別求出雙曲線的焦點坐標和漸近線方程，利用點到直線的距離公式求出結(jié)果【題目詳解】雙曲線中，焦點坐標為漸近線方程為：∴雙曲線的焦點到漸近線的距離故選：A3、A【解題分析】根據(jù)充分、必要條件的概念理解，可得結(jié)果.【題目詳解】由，則或所以“”可推出“或”但“或”不能推出“”故命題是命題充分且不必要條件故選：A【題目點撥】本題主要考查充分、必要條件的概念理解，屬基礎題.4、B【解題分析】利用正弦定理求解.【題目詳解】在中，由正弦定理得，解得，故選：B.5、C【解題分析】建立合適的空間直角坐標系，求出和平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值即為與的夾角的余弦值的絕對值，利用夾角公式求出即可.【題目詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系.有圖知，由題得、、、.，，.設平面的一個法向量，則，，令，得，，.設直線與平面所成的角為，則.故選：C.【題目點撥】本題考查線面角的求解，利用向量法可簡化分析過程，直接用計算的方式解決問題，是基礎題.6、A【解題分析】根據(jù)橢圓的定義進行求解即可.【題目詳解】因為的周長等于10，，所以，因此點的軌跡是以為焦點的橢圓，且不在直線上，因此有，所以頂點的軌跡方程可以是，故選：A7、C【解題分析】每天所走的里程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設第一天走了里，利用等比數(shù)列基本量代換，直接求解.【題目詳解】由題意可知：每天所走的里程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列.第一天走了里，第4天走了.故選：C8、A【解題分析】樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.3，頻數(shù)為36，∴樣本總數(shù)為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)為120×0.75＝90.考點：頻率分布直方圖.9、D【解題分析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.【題目詳解】因為直線，，且，所以，故選：D.10、D【解題分析】先求得直線的斜率，由此求得傾斜角.【題目詳解】依題意，直線的斜率為，傾斜角的范圍為,則傾斜角為.故選：D.11、A【解題分析】由題目條件可得，即，然后利用復數(shù)的運算法則化簡.【題目詳解】因為，所以，則故復數(shù)的虛部為.故選：A.【題目點撥】本題考查復數(shù)的相關概念及復數(shù)的乘除運算，按照復數(shù)的運算法則化簡計算即可，較簡單.12、C【解題分析】設點在軸上方，由是等邊三角形得直線斜率.又直線過點，故方程為.代入雙曲線方程，得點的坐標為.同理可得，點的坐標為.故的面積為,選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解題分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為0，求出的值，從而可得展開式中的常數(shù)項【題目詳解】二項式展開式的通項公式為，令，得，所以展開式中的常數(shù)項為故答案為：1514、【解題分析】根據(jù)題中所給的遞推式得到數(shù)列具有周期性，進而得到結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題中遞推式知，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，因為故故答案為：15、，【解題分析】由全稱命題的否定即可得到答案【題目詳解】根據(jù)全稱命題的否定，可得為，【題目點撥】本題考查了含有量詞的命題否定，屬于基礎題16、【解題分析】先對函數(shù)求導判斷其單調(diào)性，然后利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值【題目詳解】解：由，得，當且僅當時取等號，即取等號，因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值0，故答案為：0三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）由菱形及線面垂直的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標系，設，結(jié)合已知確定相關點坐標，進而求面、面的法向量，結(jié)合已知二面角的余弦值求出參數(shù)t，再根據(jù)空間向量夾角的坐標表示求與平面所成角的正弦值【小問1詳解】由平面，平面，則，又是菱形，則，又，所以平面，平面所以E.【小問2詳解】分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標系，設，則，由（1）知：平面的法向量為，令面的法向量為，則，令，可得，因為二面角的余弦值為，則，可得，則，設與平面所成的角為，又，，所以.18、（1）（2）存在，距離為（3）位置答案見解析，【解題分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，然后由線面角的定義得到PC與平面PAD所成的角為，在中，由邊角關系求解即可.（2）假設BC邊上存在一點G滿足題設條件，不放設，則，再根據(jù)得，進而得答案.（3）延長CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過E作于E'，利用三點共線，兩線段和最小，得到，過H作于H'，連結(jié)HB，在中，求解HB即可.【小問1詳解】解：因為平面，平面，所以，又因為底面是矩形，所以，又平面，所以平面，故與平面所成的角為，因為，，所以故直線PC與平面PAD所成角的大小為；【小問2詳解】解：假設BC邊上存在一點G滿足題設條件，不妨設，則因為平面，到平面的距離為所以，即因為代入數(shù)據(jù)解得，即，故存在點G，當時，使得點D到平面PAG的距離為；【小問3詳解】解：延長CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過E作于E'，則，當且僅當三點共線時等號成立，故，過H作于H'，連結(jié)HB，在中，，，所以.19、（1），（2）①；②【解題分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式將展開化簡，求得首項，可得；根據(jù)遞推式，確定，再寫出，兩式相減可求得；（2）①根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，采用倒序相加法求得結(jié)果；②根據(jù)數(shù)列的通項的特征，采用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】設數(shù)列{}的公差為d，則d=1，由，即，可得，所以{}的通項公式為；由可知：當，得，當時，，兩式相減得；，即，所以{}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】①，兩式相加，得所以；②，，兩式相減得：，故.20、（1）圓心的坐標為，半徑；（2）【解題分析】（1）利用配方法化圓的一般方程為標準方程，可得圓心坐標與半徑；（2）由兩點間的距離公式求得，得到與，則的取值范圍可求【小問1詳解】解：由，得，圓心的坐標為，半徑；【小問2詳解】解：，，，，的取值范圍是21、（1）（2）∠PFQ＝90°【解題分析】（1）由題意得求出a，c，然后求解b，即可得到橢圓方程（2）當直線l的斜率不存在時，驗證，即∠PFQ＝90°．當直線l的斜率存在時，設l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達定理，結(jié)合直線MA的方程為．求出、．利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可【小問1詳解】由題意得解得a＝2，c＝1，從而，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F(xiàn)（1，0），則，，故，即∠PFQ＝90°當直線l的斜率存在時，設l：y＝k（x﹣1），其中k≠0聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0由題意，知Δ＞0恒成立，設M