江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)公道中學(xué)2024年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)公道中學(xué)2024年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某市要對兩千多名出租車司機(jī)的年齡進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出100名司機(jī)，已知抽到的司機(jī)年齡都在[20,45]歲之間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機(jī)的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個(gè)殘缺的頻率分布直方圖估計(jì)該市出租車司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是()A.31.6歲 B.32.6歲C.33.6歲 D.36.6歲2．某次生物實(shí)驗(yàn)6個(gè)小組的耗材質(zhì)量（單位：千克）分別為1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.653．設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為（）A. B.C. D.4．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則的解析式可能是（）A. B.C. D.5．已知點(diǎn)是橢圓上的任意點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的周長為（）A. B.C. D.6．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺7．在等比數(shù)列中，，，則（）A.2 B.4C.6 D.88．下圖稱為弦圖，是我國古代三國時(shí)期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立D.如果，那么9．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.210．某市2016年至2020年新能源汽車年銷量y（單位：百臺）與年份代號x的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代號x01234年銷量y1015m3035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，則表中m的值為（）A.22 B.20C.30 D.32.511．如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．已知點(diǎn)，若直線與線段沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下圖是個(gè)幾何體的展開圖，圖①是由個(gè)邊長為的正三角形組成；圖②是由四個(gè)邊長為的正三角形和一個(gè)邊長為的正方形組成；圖③是由個(gè)邊長為的正三角形組成；圖④是由個(gè)邊長為的正方形組成.若幾何體能夠穿過直徑為的圓，則該幾何體的展開圖可以是______（填所有正確結(jié)論的序號）.14．圓與圓的位置關(guān)系為______(填相交，相切或相離).15．已知等差數(shù)列的公差不為零，若，，成等比數(shù)列，則______.16．已知偶函數(shù)部分圖象如圖所示，且，則不等式的解集為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)滿足.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程.18．（12分）如圖1是一張長方形鐵片，，，，分別是，中點(diǎn)，，分別在邊，上，且，將它卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面圖2，使與重合，與重合.（1）求證：平面；（2）求幾何體的體積.19．（12分）等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（1）求通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）設(shè)橢圓：的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.21．（12分）已知等比數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）已知橢圓：，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，過作的外角的平分線的垂線，垂足為，且（1）求橢圓方程：（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率之和為0（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）①求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)：②求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】先根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為計(jì)算出數(shù)據(jù)位于的頻率，再利用頻率分布直方圖中求中位數(shù)的原則求出中位數(shù)【題目詳解】在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為，所以，數(shù)據(jù)位于的頻率為，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，所以，中位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)中位數(shù)為，則有，解得（歲），故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)和頻率分布直方圖中中位數(shù)的計(jì)算，計(jì)算時(shí)要充分利用頻率分布直方圖中中位數(shù)的計(jì)算原理來計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題2、D【解題分析】將已有數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)的定義確定該組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【題目詳解】由題設(shè)，將數(shù)據(jù)從小到大排序可得：，∴中位數(shù)為.故選：D.3、C【解題分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線為，求x、y軸上截距，進(jìn)而可得與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，利用導(dǎo)數(shù)研究在上的最值即可得結(jié)果.【題目詳解】由題設(shè)，，則，又，所以切線為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又，所以與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，即.故選：C4、C【解題分析】根據(jù)題意，求出每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而判斷答案.【題目詳解】對A，，為奇函數(shù)；對B，，為奇函數(shù)；對C，，為偶函數(shù)；對D，，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).故選：C.5、A【解題分析】設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為，連接，利用中位線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義可求得結(jié)果.【題目詳解】在橢圓中，，，，如圖，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，則的周長為，故選：A.6、A【解題分析】由題意可知，十二個(gè)節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出，即可求出，從而得到答案【題目詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A7、D【解題分析】由等比中項(xiàng)轉(zhuǎn)化得，可得，求解基本量，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即得解【題目詳解】設(shè)公比為，則由，得，即故，解得故選：D8、C【解題分析】設(shè)圖中直角三角形邊長分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關(guān)系，可得即可得答案.【題目詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的邊長分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個(gè)直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個(gè)直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以對任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故選：C9、D【解題分析】由，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【題目詳解】解：因，，所以，因?yàn)?，所以，即，解得，故選：D.10、B【解題分析】求出樣本中心的橫坐標(biāo)，代入回歸直線方程，求出樣本中心的縱坐標(biāo)，然后求解即可【題目詳解】因?yàn)?，代入回歸直線方程為，所以，，于是得，解得故選：B11、A【解題分析】利用平行線，將異面直線的夾角問題轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角問題，再解三角形.【題目詳解】取BC中點(diǎn)H，BH中點(diǎn)I，連接AI、FI、，因?yàn)镋為中點(diǎn)，在長方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以所以，又因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以，所以，則即為異面直線與所成角(或其補(bǔ)角).設(shè)AB=BC=4，則，則,，根據(jù)勾股定理：，，，所以是等腰三角形，所以.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.12、A【解題分析】分別求出，即可得到答案.【題目詳解】直線經(jīng)過定點(diǎn).因?yàn)?，所?所以要使直線與線段沒有公共點(diǎn)，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①【解題分析】根據(jù)幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進(jìn)而求其外接球半徑，并與比較大小，即可確定答案.【題目詳解】①由題設(shè)，幾何體為棱長為的正四面體，該正四面體可放入一個(gè)正方體中，且正方體的棱長為，該正四面體的外接球半徑為，滿足要求；②由題設(shè)，幾何體為棱長為的正四棱錐，如下圖所示：設(shè)，連接，則為、的中點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的正方形，則，所以，，所以，，所以，，，所以點(diǎn)為正四棱錐的外接球球心，且該球的半徑為，不滿足要求；③由題設(shè)，幾何體為棱長為的正八面體，該正八面體可由兩個(gè)共底面，且棱長均為的正四棱錐拼接而成，由②可知，該正八面體的外接球半徑為，不滿足要求；④由題設(shè)，幾何體為棱長為的正方體，其外接球半徑為，不滿足要求；故答案為：①.14、相交【解題分析】求兩圓圓心距，并與半徑之和、半徑之差的絕對值比較即可.【題目詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，∵，∴兩圓相交.故答案為：相交.15、0【解題分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，根據(jù)，，成等比數(shù)列，得到，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，整理得，因?yàn)?，所以，所?故答案為：0.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】由函數(shù)的圖象得出當(dāng)時(shí)，，再由函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象的性質(zhì)，即可得出答案.【題目詳解】是偶函數(shù)，且，所以，由圖象得當(dāng)時(shí)，.又函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】（1）由及兩點(diǎn)間距離公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要兩個(gè)根的的要舍去;（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，利用弦長公式求得，再利用幾何關(guān)系求得，代入，可解得c，從而得到橢圓的方程.【題目詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)?，所以，整理得，得（舍），或，所以；?）由（1）知，，可得橢圓方程為，直線的方程為，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組為，消去y并整理，得，解得：，，得方程組的解和,不妨設(shè)：，，所以，于是，圓心到直線的距離為，因?yàn)?，所以，整理得：，得（舍），或，所以橢圓方程為：.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率解題關(guān)鍵是找到關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系，第二問的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用距離公式建立等量關(guān)系，求出c是求出橢圓方程的關(guān)鍵.18、（1）證明見解析.（2）.【解題分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證；（2）作圓柱的母線，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，利用等體積法可求得，由幾何體的體積，可求得答案.【小問1詳解】證明：∵是直徑，∴，∵平面，平面，∴，∵平面，平面，，∴平面；【小問2詳解】如圖，作圓柱的母線，則，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，且①又依題知，，，為底面圓的四等分點(diǎn)，∴，且②由①②知四邊形為平行四邊形，得，且，∴，∵到面的距離為，∴，所以幾何體的體積.19、（1）；（2）.【解題分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件求，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法即可求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式；【小問2詳解】由（1）得：，所以，所以.20、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)直線被圓截得的弦長為，由解得，再由離心率結(jié)合求解。（2）設(shè)，則，得到直線：；直線：，聯(lián)立求得，再根據(jù)線斜率大于，求得，然后由求解.【題目詳解】（1）以線段為直徑的圓的圓心為：，半徑，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為，解得：，又橢圓離心率，∴，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，其中，，則，∴，，則直線為：；直線為：，由得：，∴，∴，∴，令，，則，∴，∵∴，∴，即.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓方程和幾何性質(zhì)以及直線與圓，橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）（2）【解題分析】（1）通過基本量列方程組可得；（2）由裂項(xiàng)相消法可解【小問1詳解】由題意得解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】由（1）知，則所以22、（1）；（2）①證明見解析，；②.【解題分析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及角平分線的性質(zhì)可得，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，以及即可求出的值，進(jìn)而可得橢圓的方程.（2）①設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，求得，，利用斜率之和等于得出關(guān)于的方程，解得即可得所過的定點(diǎn)，②由弦長公式求出，點(diǎn)到直線的距離公式求得高，由面積公式表示三角形的面