廣西壯族自治區(qū)柳州市柳州高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

廣西壯族自治區(qū)柳州市柳州高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，公比為，則（）A. B.C. D.3．音樂(lè)與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國(guó)春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過(guò)一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“微”，“微”經(jīng)過(guò)一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“商”……依此規(guī)律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個(gè)音階.據(jù)此可推得（）A.“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列B.“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數(shù)列C.“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列D.“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數(shù)列4．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是（）A.2 B.8C.16 D.325．若圓與圓有且僅有一條公切線，則（）A.－23 B.－3C.－12 D.－136．命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，7．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有俸糧三百零五石，令五等官（正一品、從一品、正二品、從二品、正三品）依品遞差十三石分之，問(wèn)，各若干？”其大意是，現(xiàn)有俸糧石，分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員，依照品級(jí)遞減石分這些俸糧，問(wèn)，每個(gè)人各分得多少俸糧？在這個(gè)問(wèn)題中，正三品分得俸糧是（）A.石 B.石C.石 D.石8．已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn),F是拋物線的焦點(diǎn),則點(diǎn)M到F的距離等于()A.6 B.5C.4 D.29．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A.函數(shù)有極大值和極小值B.函數(shù)有極大值和極小值C.函數(shù)有極大值和極小值D.函數(shù)有極大值和極小值10．若點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．現(xiàn)從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊(duì)”，用表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則（）A. B.C. D.12．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上的一點(diǎn)，與橢圓交于.若△的內(nèi)切圓與線段在其中點(diǎn)處相切，與切于，則橢圓的離心率為_(kāi)______14．已知等比數(shù)列中，則q＝___15．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則___________.16．已知三個(gè)數(shù)2，，6成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線方程為（1）若直線的傾斜角為，求的值；（2）若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程18．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）在（1）的條件下，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.20．（12分）在所有棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求證:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱，上，，.（1）求點(diǎn)到直線的距離（2）求平面與平面夾角的余弦值.22．（10分）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面平面，E為的中點(diǎn)（1）若，證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】由曲線方程直接求離心率即可.【題目詳解】由題設(shè)，，，∴離心率.故選：C.2、D【解題分析】根據(jù)求解即可.【題目詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，所以.故選：D3、C【解題分析】根據(jù)文化知識(shí)，分別求出相對(duì)應(yīng)的頻率，即可判斷出結(jié)果【題目詳解】設(shè)“宮”的頻率為a，由題意經(jīng)過(guò)一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經(jīng)過(guò)一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經(jīng)過(guò)一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經(jīng)過(guò)一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數(shù)列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列，且公比為，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的定義，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題4、D【解題分析】根據(jù)給定條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接計(jì)算作答.【題目詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是.故選：D5、A【解題分析】根據(jù)兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內(nèi)切，從而可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閳A，圓心為，半徑為；圓可化為，圓心為，半徑，又圓與圓有且僅有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，因此，即，解得.故選：A.6、D【解題分析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【題目詳解】由全稱量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：D.7、D【解題分析】令位官員(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)所分得的俸糧數(shù)是公差為數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求，進(jìn)而求出正三品即可.【題目詳解】正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員所分得的俸糧數(shù)記為數(shù)列，由題意，是以為公差的等差數(shù)列，且，解得.故正三品分得俸糧數(shù)量為（石）.故選：D.8、B【解題分析】先求出,再利用焦半徑公式即可獲解.【題目詳解】由題意，,解得所以故選：B.9、D【解題分析】則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減10、C【解題分析】根據(jù)給定條件求出即可計(jì)算橢圓的離心率.【題目詳解】因點(diǎn)在橢圓，則，解得，而橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以橢圓離心率.故選：C11、A【解題分析】先求出抽到的兩名醫(yī)生性別相同的事件的概率，再求抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生事件的概率，然后代入條件概率公式即可【題目詳解】解：由已知得,，則，故選：A【題目點(diǎn)撥】此題考查條件概率問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題12、A【解題分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槊}p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】利用橢圓及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得、，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)得的大小，在△中應(yīng)用余弦定理得到a、c的齊次式，即可求離心率.【題目詳解】由題意知：由內(nèi)切圓的性質(zhì)得：,由橢圓的性質(zhì),而,∴,∴由內(nèi)切圓的性質(zhì)得：再由橢圓的性質(zhì),得：,由此，△為等邊三角形,可得,在△中，由余弦定理得：，解得，則,故答案為：.14、3【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案.【題目詳解】等比數(shù)列中，故，，所以，故答案為：315、2【解題分析】由兩點(diǎn)間的斜率公式及直線斜率的定義即可求解.【題目詳解】解：因?yàn)檫^(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，所以，解得，故答案為：2.16、【解題分析】由題意可得，從而可求出的值【題目詳解】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)2，，6成等比數(shù)列，所以，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）面積的最小值為，此時(shí)直線的方程為.【解題分析】（1）由直線的斜率和傾斜角的關(guān)系可求得的值；（2）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求出的取值范圍，求出的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得面積的最小值，利用等號(hào)成立的條件可求得的值，即可得出直線的方程.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得.【小問(wèn)2詳解】解：在直線的方程中，令可得，即點(diǎn)，令可得，即點(diǎn)，由已知可得，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線的方程為，即.18、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）.【解題分析】（1）利用與的關(guān)系求數(shù)列的遞推關(guān)系，即得證明結(jié)論，并根據(jù)等比數(shù)列求通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求出，再分和，求.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，與已知式作差得，即，又，∴，∴，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以（2）由（1）知，∴，若，，若，，∴.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是第二問(wèn)弄清楚數(shù)列與的前項(xiàng)和的關(guān)系，在分段求數(shù)列的前項(xiàng)和.19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結(jié)論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【題目詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，則有在上恒成立，即.令函數(shù)，，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，不妨取，則有在上單調(diào)遞增，所以，即有在上恒成立，令，則有，所以，所以，因此.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】（1）通過(guò)計(jì)算·=0來(lái)證得AB1⊥BC.（2）通過(guò)證明A1C⊥AC1、A1C⊥AC1來(lái)證得A1C⊥平面AB1C1.【題目詳解】證明：（1）易知<>=120°，=+，則·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.所以AB1⊥BC.（2）易知四邊形AA1C1C為菱形，所以A1C⊥AC1.因?yàn)椤?(-)·(-)=(-)·(--)=·-·-·-·+·+·=·-·-·+·=2×2×-4-2×2×+4=0，所以AB1⊥A1C，又AC1∩AB1=A，所以A1C⊥平面AB1C1.21、（1）；（2）.【解題分析】（1）由直棱柱的性質(zhì)及勾股定理求出△各邊長(zhǎng)，應(yīng)用余弦定理求，進(jìn)而可得其正弦值，再求邊上的高即可.（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出兩個(gè)平面的法向量，然后可算出答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，由題設(shè)，，，，由直棱柱性質(zhì)及，在中，在中，在中，在中，所以在△中，，則，所以到直線的距離.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系易知：，，，則，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】（1）取的中點(diǎn)F，連接．先證明，，即證平面，原題即得證；（2）分別取的中點(diǎn)G，H，連接，證明為直線與平面所成的角，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，，在中，，即得解.【小問(wèn)1詳解】解：取的中點(diǎn)F，連接因?yàn)?，則為正三角形，所以因?yàn)槠矫嫫矫妫瑒t平面因?yàn)槠?/p>