初中數(shù)學(xué)中考中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何證明與計算(共20張)

第二輪中考題型突破專題四

幾何證明與計算【題型1】三角形全等【例1】（2018·瀘州市）如圖，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.求證：∠F＝∠C.思路點撥：欲證明∠F＝∠C，只要證明△ABC≌△DEF（SSS）即可.證明：∵DA＝BE，∴DE＝AB.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C＝∠F.【題型1】三角形全等【即時鞏固1】（2018·衡陽市）如圖，已知線段AC，BD

相交于點E，AE＝DE，BE＝CE.（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）當(dāng)AB＝5時，求CD的長.（1）證明：在△AEB和△DEC中，

∴△AEB≌△DEC（SAS）.（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴AB＝CD.∵AB＝5，∴CD＝5.【題型2】解直角三角形【例2】（2018·煙臺市）汽車超速行駛是交通安全的重大隱患，為了有效降低交通事故的發(fā)生，許多道路在事故易發(fā)路段設(shè)置了區(qū)間測速，如圖，學(xué)校附近有一條筆直的公路l，其間設(shè)有區(qū)間測速，所有車輛限速40千米/小時，數(shù)學(xué)實踐活動小組設(shè)計了如下活動：在l上確定A，B兩點，并在AB路段進(jìn)行區(qū)間測速.在l外取一點P，作PC⊥l，垂足為點C.測得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°.上午9時測得一汽車從點A到點B用時6秒，請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明該車是否超速.（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【題型2】解直角三角形思路點撥：先求得AC＝PC·tan∠APC＝87，BC＝PC·tan∠BPC＝21，據(jù)此得出AB＝AC－BC＝87－21＝66，從而求得該車通過AB段的車速，比較大小即可得.解：在Rt△APC中，AC＝PC·tan∠APC＝30·tan71°≈30×2.90＝87，在Rt△BPC中，BC＝PC·tan∠BPC＝30·tan35°≈30×0.70＝21，則AB＝AC－BC＝87－21＝66，∴該汽車的實際速度為＝11（m/s）.又∵40km/h≈11.1m/s，∴該車沒有超速.【題型2】解直角三角形【即時鞏固2】（2018·白銀市）隨著中國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高，中國高鐵正迅速崛起.高鐵大大縮短了時空距離，改變了人們的出行方式.如圖，A，B兩地被大山阻隔，由A地到B地需要繞行C地，若打通穿山隧道，建成A，B兩地的直達(dá)高鐵，可以縮短從A地到B地的路程.已知：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短多少公里？（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4）【題型2】解直角三角形解：過點C作CD⊥AB于點D.在Rt△ADC和Rt△BCD中，

∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640，∴CD＝320，AD＝.∴BD＝CD＝320，BC＝.∴AC＋BC＝640＋≈1088.∴AB＝AD＋BD＝

＋320≈864.∴1088－864＝224（公里）.答：隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程

將約縮短224公里.【題型3】三角形相似【例3】（2016·大慶市）如圖，在菱形ABCD中，G是BD上一點，連接CG并延長交BA的延長線于點F，交AD于點E.求證：（1）AG＝CG；

（2）AG2＝GE·GF.思路點撥：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到∠EAG＝∠DCG，等量代換得到∠EAG＝∠F，求得△AEG∽△FAG，即可得到結(jié)論.【題型3】三角形相似證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB.在△ADG與△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS）.∴AG＝CG.(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD.∴∠F＝∠DCG.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠FGA，∴△AEG∽△FAG.∴，即AG2＝GE·GF.【題型3】三角形相似【即時鞏固3】（2018·江西?。┤鐖D，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分線，BD交AC于點E，求AE的長.

解：∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD.∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD.∴∠D＝∠CBD.∴BC＝CD.∵BC＝4，∴CD＝4.∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE.∴∴∴AE＝2CE.∵AC＝6＝AE＋CE，∴AE＝4.【題型4】四邊形的性質(zhì)與判定【例4】如果一個三角形和一個菱形滿足條件：三角形的一個角與菱形的一個角重合，且菱形的這個角的對角頂點在三角形的這個角的對邊上，則稱這個菱形為該三角形的“親密菱形”.如圖2，在△ABC中，以點A為圓心，以任意長為半徑作弧，交AB，AC于點M，N，再分別以M，N為圓心，以大于

MN的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線AP，交BC于點F，過點F作FD//AC，F(xiàn)E//AB.(1)求證：四邊形AEFD是△ABC的“親密菱形”；(2)當(dāng)AB＝6，AC＝12，∠BAC＝45°時，求菱形AEFD的面積.【題型4】四邊形的性質(zhì)與判定思路點撥：（1）根據(jù)尺規(guī)作圖可知AF平分∠BAC，再根據(jù)DF//AC，可得AD＝DF，再由兩組對邊分別平行可得四邊形AEFD是平行四邊形，從而可得平行四邊形AEFD是菱形，根據(jù)“親密菱形”的定義即可證；（2）設(shè)菱形的邊長為a，即DF＝AD＝a，則BD＝6－a，可證得△BDF∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得a＝4，過D作DG⊥AC，垂足為G，在Rt△ADG中，DG＝

，從而可求得面積.（1）證明：由尺規(guī)作圖可知AF平分∠BAC，

∴∠DAF＝∠EAF.∵DF//AC，∴∠DFA＝∠EAF.∴∠DAF＝∠DFA.∴AD＝DF.∵FD//AC，F(xiàn)E//AB，∴四邊形AEFD是平行四邊形.∴平行四邊形AEFD是菱形.∵∠BAC與∠DAE重合，點F點BC上，

∴菱形AEFD是△ABC的“親密菱形”.【題型4】四邊形的性質(zhì)與判定（2）解：設(shè)菱形的邊長為a，即DF＝AD＝a，

則BD＝6－a.∵DF//AC，∴△BDF∽△BAC.∴BD∶BA＝DF∶AC，即（6－a）∶6＝a∶12，

∴a＝4.過D作DG⊥AC，垂足為G.在Rt△ADG中，∠DAG＝45°，∴DG∴S菱形AEFD＝AE·DG＝

，

即四邊形AEFD的面積為.【題型4】四邊形的性質(zhì)與判定【即時鞏固4】（2018·南寧市）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE＝DF.(1)求證：?ABCD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝6，求?ABCD的面積.【題型4】四邊形的性質(zhì)與判定(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD（ASA）.∴AB＝AD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.(2)解：連接BD交AC于點O.∵四邊形ABCD是菱形，AC＝6，

∴AC⊥BD，AO＝OC＝∵AB＝5，AO＝3，

∴∴BD＝2BO＝8.∴S平行四邊形ABCD＝×AC×BD＝24.【題型5】圓的切線判定與圓的有關(guān)計算【例5】如圖，PA與⊙O相切于點A，過點A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O于點B.連接PB，AO，并延長AO交⊙O于點D，與PB的延長線交于點E.(1)求證：PB是⊙O的切線；(2)若OC＝3，AC＝4，求sin∠E的值.思路點撥：（1）要證明是圓的切線，須證明過切點的半徑垂直，所以連接OB，證明OB⊥PE即可；（2）要求sin∠E，首先應(yīng)找出直角三角形，然后利用三角函數(shù)求解即可.而sin∠E可放在Rt△EBO中，再利用相似三角形的性質(zhì)求出DE的長即可解決問題.【題型5】圓的切線判定與圓的有關(guān)計算證明：連接OB.∵PO⊥AB，易證△AOC≌△BOC(HL)∴AC＝BC，∴PA＝PB.

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌△PBO（SSS）.∴∠OBP＝∠OAP＝90°.∵OB是⊙O的半徑.∴PB是⊙O的切線；(2)解：連接BD，則BD∥PO，且BD＝2OC＝6.在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4，

∴AO＝5，AD＝10.∵PB是⊙O的切線，

∴∠DBE＋∠OBD＝90°.∵AD是⊙O的直徑，

∴∠OBA＋∠OBD＝90°.∴∠OBA＝∠DBE.∵∠OAB

＝∠OBA，∴∠OAB＝∠DBE.∵∠E＝∠E，∴△BDE∽△ABE.∴即