第三章數(shù)字特征

第三章數(shù)字特征第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四解：直接比較，難知兩射手技術的優(yōu)劣。故只能也只需找出更能集中、突出地描述兩射手技術水平的數(shù)字特征。讓我們先來研究概率論中刻劃平均值的數(shù)字特征。

例：甲乙兩人各射擊1000

次，射擊情況如表1

所示。試問甲乙二人誰的水平較高？表1甲525200501007550乙

40020024515500環(huán)數(shù)x

i1098765不難計算出兩射手命中目標的“平均環(huán)數(shù)”分別為從平均環(huán)數(shù)看，甲比乙水平高一點。頻率以頻率為權數(shù)的加權平均值第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四不難看出，由于頻率的隨機性，如果讓甲乙二人再各射擊1000次

同樣計算，結(jié)果一般不會相同。若令fi

表示頻率，則上述二式可表示為由概率的統(tǒng)計定義知道，在大量試驗下頻率fi概率pi

穩(wěn)定于從而穩(wěn)定于表2P(X1=x

i)0.5260.20.050.10.0740.05環(huán)數(shù)x

i1098765P(X2=x

i)0.3980.20.2450.15700

若甲、乙的命中環(huán)數(shù)X1,

X2的分布列如表2所示，概率以概率為權數(shù)的加權平均值數(shù)學期望則

第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第一節(jié)數(shù)學期望（均值）一離散型隨機變量的數(shù)學期望

定義：設離散型隨機變量X的概率函數(shù)為

P

(X=x

i

)=pii=1,2,…若級數(shù)絕對收斂，則稱為隨機變量X的數(shù)學期望簡稱期望或均值。記作EX

，即EX=如果級數(shù)不絕對收斂，則稱隨機變量X的數(shù)學期望不存在

數(shù)學期望的直觀含義：平均值

第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第2題：離散型隨機變量X的概率函數(shù)為問X是否有數(shù)學期望?解:級數(shù)發(fā)散,所以X沒有數(shù)學期望.相關知識:p-級數(shù):p>1時級數(shù)收斂,p≤1時級數(shù)發(fā)散.第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例：一批產(chǎn)品中有一、二、三、四等品、廢品5種,相應的概率分別為0.7、0.1、0.1、0.06、0.04，若其產(chǎn)值分別為6元、5.4元、5元、4元、0元。產(chǎn)值X是一個隨機變量，其分布如表3求：產(chǎn)品的平均產(chǎn)值。第5題：設離散型隨機變量X的概率函數(shù)為解：EX=60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04=5.48(元)解：0.040.060.10.10.7P0455.46X表3求：EX

第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四記為設連續(xù)型隨機變量X

的概率密度為，若積分絕對收斂，則稱積分為X的數(shù)學期望。例：計算在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的隨機變量X的數(shù)學期望解：依題意二連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例：設隨機變量X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求X的數(shù)學期望則解：指數(shù)分布的密度函數(shù)為這表明指數(shù)分布的數(shù)學期望為

。例：設

X~N(,2)，求

X

的數(shù)學期望。解：這表明正態(tài)分布的數(shù)學期望為。第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四定理3.1：設Y

=g(X)，g(x)

是連續(xù)函數(shù)，那么(2)若X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為

f(x)，(1)若X為離散型隨機變量，其概率函數(shù)為求EY

時，可以不求Y=g(X)

的分布，而直接利用X

的分布。三隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四

解：例：設隨機變量X的分布列為求：EX2，E(2X-1)。P

1/81/43/81/4X

-1023例：求：EY

解：第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四定理3.2若(X,Y)是二維隨機變量，Z=g(X

,Y

)(1)若(X,Y)為二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布為(2)若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)且第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四解：設(X,Y)的聯(lián)合密度為例：求：

EXY設(X,Y)的聯(lián)合概率分布為例：求：

E(X+Y)XY

1

2

1

2

3

0.1

0.30.150.2

00.25

解：(1+1)0.1+(1+2)0.2+(1+3)0+(2+1)0.3+(2+2)0.15+(2+3)0.25=3.55第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)1：常量的期望就是這個常量本身,即E(c)=c.推論：E(EX)=EX性質(zhì)2：隨機變量X與常量c之和的數(shù)學期望等于X的期望與這個常量c的和E(X+c)=EX+c

四數(shù)學期望的性質(zhì)性質(zhì)3：常量c與隨機變量X的乘積的期望等于c與X的期望的乘積，E(cX

)=cEX

第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)4：隨機變量的線性函數(shù)的數(shù)學期望等于這個隨機變量期望

的同一線性函數(shù)，即E(kX

+c)=kEX+c證：

E(kX

+c)=E(kX)+c=kEX

+c性質(zhì)5：兩個隨機變量之和（差）的數(shù)學期望等于這兩個隨機變量數(shù)學期望的和（差）

E(X

Y)=EXEY第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四推論：對任意常數(shù)ci(i=1,2,…,n)、常數(shù)b及隨機變量X

i(i=1,2,…,n)特別地，n個隨機變量的算術平均數(shù)仍是一個隨機變量，其期望值等于這n個隨機變量期望的算術平均數(shù)。性質(zhì)6：兩個相互獨立隨機變量乘積的數(shù)學期望等于它們數(shù)學期望的乘積,即E(XY)=EX?EY第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四解：

EX=90.3+100.5+110.2=9.9EY

2

=620.4+720.6=43.8

例：兩相互獨立的隨機變量X,Y

的分布如下面兩表所示。0.20.50.3P11109X0.60.4P76Y求：E(X+Y

)、E(XY

)和EY2且因X與Y

相互獨立，所以E(XY)=EXE

Y=9.96.6=65.34則E(X+Y)=EX+EY=9.9+6.6=16.5EY

=60.4+70.6=6.6設(X,Y)的聯(lián)合概率分布為例：求：

E(X+Y)XY

1

2

1

2

3

0.1

0.30.150.2

00.25

解：

0.250.350.4P321Y

0.70.3P21X

EX

=10.3+20.7=1.7

EY

=10.4+20.35+30.25=1.85

E(X+Y)=EX+EY=1.7+1.85=3.55第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二節(jié)方差解：甲、乙兩塊手表，日走時誤差分別為隨機變量X1,

X2（單位：秒），其概率函數(shù)分別如表1、表2所示。試比較兩塊手表的優(yōu)劣？例：P0.10.80.1X1

-101表1P0.20.60.2X2

-101表2從平均值意義上看，兩塊手表質(zhì)量相同。從離散程度意義上看，甲表質(zhì)量優(yōu)于乙表。方差第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四

一方差的定義隨機變量X的方差記作DX

或VarX，即方差的定義：

標準差的定義：

稱為X的標準差（均方差）DX

=E(X

-EX

)2

隨機變量的方差是非負數(shù)，即DX

0，粗略地講，當X

的可能取值密集在它的期望值

EX附近時，方差較小，反之方差則較大。因此方差的大小可以表示隨機變量分布的離散程度。第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四

二方差的計算公式方差的計算公式：證：

DX

=E(X

-EX

)2=E{X

2-2XEX+(EX

)2}=EX

2-E(2X

EX)+E[(EX

)2]=EX

2-2?EX

?(EX)+(EX)2=EX

2-(EX

)2如果X是連續(xù)型隨機變量，并且有密度函數(shù)f

(x)，則如果X是離散型隨機變量，并且P{X

=xk}=pk

(k=1,2,…)，則DX

=E(X

-EX

)2第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四甲、乙兩塊手表，日走時誤差分別為隨機變量X1,

X2,其概率函數(shù)分別如表1、表2所示。試比較兩塊手表的優(yōu)劣？例：P0.10.80.1X1

-101表1P0.20.60.2X2

-101表2解：第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例：計算在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的隨機變量X

的方差解：依題意例：

2x0<x<1已知X~f

(x)=求：DX0其他解：第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四

因

DX=EX

2

-(EX

)2=

0.15ax2+bx+c0<x<1

例：X

的密度函數(shù)是f(x)=

0其他

已知EX

=0.5，DX=0.15

求系數(shù)：a,b,c解：

所以

EX

2=DX+(EX

)2=

0.15+0.25=0.4第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四三方差的性質(zhì)性質(zhì)1：常量的方差等于零。即：設c為常數(shù)，則Dc=0證:D(c)=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0性質(zhì)2：

隨機變量與常量之和的方差就等于隨機變量的方差本身即：D(X+c)=DX

證：D(X+c)=E{X+c-E(X+c)}2=E{X+c-EX-c)2=E(X-EX)2=DX

性質(zhì)3：常量與隨機變量乘積的方差，等于常量的平方與隨機變量方差的乘積。即：D(cX)=c2DX證：D(cX)=E{cX

-E(cX

)}2=E{cX-cEX

}2=E{c(X-EX)}2

=E{c

2(X

-EX)2}=c2DX性質(zhì)4：設k,b為常數(shù)，則：D(kX+b)=k2DX第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)5：兩個獨立隨機變量和(差)的方差，等于這兩個隨機變量

方差的和。即：D(X

Y)=DX

+DY證：D(X

Y)=E{（X

Y）-E(X

Y

)}2=E{(X

-EX)(Y

-EY

)}2 =E{(X

-EX

)2+(Y-EY

)22(X

-EX

)(Y-EY)} =DX

+DY

2E(XY-X

EY-Y

EX+EX

EY

)=E(X

-EX

)2+E(Y-EY

)22E{(X

-EX

)(Y-EY)}=DX

+DY

2（EXY-EX

EY-EY

EX+EX

EY

)=DX

+DY

2（EXY-EXEY）=DX

+DY

性質(zhì)

5可以推廣到任意有限個隨機變量的情況

即，若X1,X2,…,X

n相互獨立，則有

D(X1+X2+…+X

n)=DX1+DX

2+...+DX

nD(a1X1+a2X2+…+anX

n+b)=a12DX1+a22DX2+...+an2DX

n=DX

+DY

2(EXEY-EXEY）第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)6：隨機變量X的方差為DX=0的充要條件是P(X=EX)=1定義：隨機變量X的標準化隨機變量第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四

第五節(jié)協(xié)方差相關系數(shù)一協(xié)方差1協(xié)方差的定義定義:對于二維隨機變量(X,Y),稱E[(X-EX)(Y-EY)]為X與Y的協(xié)方差記做Cov(X,Y),即

Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]注：X與Y的協(xié)方差是反映X與Y之間相關關系的一個特征數(shù)2協(xié)方差的計算協(xié)方差的計算公式證：Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]

Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=E(XY-YEX-XEY+EXEY)=E(XY)-E(YEX)-E(XEY)+E(EXEY)=E(XY)-EXEY由協(xié)方差的計算公式知（1）若X與Y獨立，則

Cov(X,Y)=0（2）對X與Y有D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y)第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例：設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布如下表所示，求Cov(X,Y),并判斷X,Y是否獨立.XY-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8X-101Y-101P3/82/83/8P3/82/83/8解：可求出(X,Y)關于X,Y的邊緣分布：

EX

=(-1)3/8+02/8+13/8=0EY=0

Cov(X,Y)=E(XY)-EX

EY=0雖然Cov(X,Y)=0，但P(X

=0,Y

=0)P(X=0)P(Y

=0)X,Y不獨立

X與Y獨立Cov(X,Y)=0第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四解：由聯(lián)合密度可求出(X,Y)關于X,Y

的邊緣密度函數(shù)分別為：例：設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為：

x+y0x1,0y1

f(x,y)=0其他求：Cov(X,Y)。

x+1/20x1

fX(x)=

0其他

y+1/20y1

fY(y)=

0其他第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)4：Cov(X1+X2

,Y)=Cov(X

1,Y)+Cov(X2,Y)

性質(zhì)1：

Cov(X,Y)=Cov(Y,X）

協(xié)方差性質(zhì)2：Cov(X,c)=0

性質(zhì)3：Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)Cov(X,Y)=E[(X–EX)(Y-EY)]3協(xié)方差的性質(zhì)

Cov(X,Y1+Y2)=Cov(X,Y1)+Cov(X,Y2)

Cov(X,X)=DX

第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四定義：對于二維隨機向量(X,Y)

，如果DX

>0，DY

>0，則稱為X,Y

的線性相關系數(shù)，簡稱相關系數(shù)，記作

X,Y或XY

或

。即：

二相關系數(shù)第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例：設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布如下表所示，求

X,Y

X

Y

-101100.20.120.30.40解：可求出X,Y的邊緣分布：X

12Y-101P0.30.7P0.30.60.1

EX=10.3+20.7=1.7EY

=-0.2

Cov(X,Y)=E(XY)-EX

EY=-0.5-1.7(-0.2)=-0.16第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四解：例：設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為：

x+y0x1,0y1

f(x,y)=0其他求：X,Y

x+1/20x1

fX(x)=

0其他

y+1/20y1

fY(y)=

0其他第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四2相關系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：

x,Y=

Y,X

ax,aY=

X,Y

性質(zhì)2：|

|1性質(zhì)3：||=

1的充要條件是X與Y以概率1存在線性關系。即存在常數(shù)a,b

使得P(Y=aX+b)=1||=

1稱X

與Y

完全線性相關=

1完全正相關=-1完全負相關||<

1X與Y

之間線性相關的程度隨著||的減少而減弱

=

0稱X

與Y

不相關或零相關相關系數(shù)

是刻劃隨機變量X,Y之間線性關系強弱的特征數(shù)

注:

由于=

0等價于Cov(X,Y)=0,所以判斷X,Y是否相關,

只需判斷Cov(X,Y)是否為0第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四注：X

與Y獨立，則X

與Y

不相關（=

0）。但