第七講-定積分的近似計算

第七講-定積分的近似計算第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

問題背景和實驗目的定積分的近似計算

定積分計算的基本公式是牛頓－萊布尼茲公式。但當被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時，如何計算？這時就需要利用近似計算。特別是在許多實際應用中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達式，而是一條實驗記錄曲線，或一組離散的采樣值，此時只能用近似方法計算定積分。本實驗主要研究定積分的三種近似計算算法：矩形法、梯形法和拋物線法。同時介紹Matlab計算定積分的相關函數(shù)。第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

矩形法梯形法拋物線法

數(shù)值積分的常見算法主要內(nèi)容

Matlab求積分函數(shù)數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad、triplequad符號積分函數(shù)：int第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

矩形法

定積分的定義：定積分的近似計算第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四矩形法d

充分小

定積分的近似：

通常我們?nèi)∽簏c法右點法中點法

點可以任意選取，常見的取法有：

左端點，右端點和中點。第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四步長節(jié)點

右點法：

中點法：

左點法：左點法、右點法和中點法第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四解：矩形法舉例==>h=1/100=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100例：用不同的矩形法計算下面的定積分(取n=100)，

并比較這三種方法的相對誤差。

左點法：

右點法：

中點法：(i=0,1,2,...,100)第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

理論值：左點法相對誤差：誤差分析矩形法舉例右點法相對誤差：中點法相對誤差：不同的方法有不同的計算精度有沒有更好的近似計算定積分的方法

?第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四定積分幾何意義第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來近似整個曲邊梯形的面積：梯形法第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

如果我們n

等分區(qū)間[a,b]，即令：則==>梯形公式梯形法梯形公式與中點公式有什么區(qū)別

?第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四解：==>例：用梯形法計算下面定積分(取n=100)，

并計算相對誤差梯形法舉例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)==>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)

相對誤差：第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

2n

等分區(qū)間[a,b]，得該直線用拋物線代替，計算精度是否會更好？

計算每個節(jié)點上的函數(shù)值：拋物線法

在區(qū)間[x0,x2]上，用過以下三點的拋物線來近似原函數(shù)f(x)。第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

設過以上三點的拋物線方程為：則在區(qū)間[x0,x2]上，有y=

x2+x

+

=p1(x)

拋物線法第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

同理可得：

相加即得：拋物線法第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

整理后可得：或辛普森(Simpson)公式拋物線法公式拋物線法第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四==>例：用拋物線法計算下面定積分(取n=100)，

并計算相對誤差解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)

相對誤差：拋物線法第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

矩形法梯形法拋物線法

數(shù)值積分的常見算法Matlab函數(shù)

Matlab求積分函數(shù)數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad符號積分函數(shù)：int第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

矩形法總結(jié)

Matlab數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad

梯形法

拋物線法第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四梯形法：trapztrapz(x,y)

x

為分割點（節(jié)點）組成的向量，

y為被積函數(shù)在節(jié)點上的函數(shù)值組成的向量。

Matlab近似計算定積分的相關函數(shù)Matlab計算定積分函數(shù)介紹第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四前面的做法例：用梯形法計算下面定積分(取n=100)解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)>>

x=0:1/100:1;>>

y=1./(1+x.^2);>>

trapz(x,y)trapz函數(shù)trapz(x,1./(1+x.^2))trapz舉例第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四quad(f,a,b,tol)f=f(x)為被積函數(shù)，[a,b]為積分區(qū)間，tol

為計算精度將自變量看成是向量拋物線法：quad不用自己分割積分區(qū)間可以指定計算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函數(shù)運行的時間越長此處的函數(shù)

f是數(shù)值形式，應該使用數(shù)組運算，即

點運算：.*，./，.\，.^

注：拋物線法第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四解：>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-10)函數(shù)表達式一定要用單引號括起來！涉及的運算一定要用數(shù)組運算！例：用quad

計算定積分：quad舉例第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四拋物線法計算二重積分：dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)

tol

為計算精度，若不指定，則缺省精度為10-6

f可以是：

字符串；inline

定義的內(nèi)聯(lián)函數(shù)；函數(shù)句柄

[a,b]

是第一積分變量的積分區(qū)間，

[c,d]

是第二積分變量

的積分區(qū)間dblquad第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四>>

f=inline('4*x*y+3*y^2');>>

I=dblquad(f,-1,1,0,2)

f(x,y)

中關于第一自變量的運算是數(shù)組運算，

即把x

看成是向量，y

看成是標量。也可以全部采用數(shù)組運算例2：計算二重積分>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x^2'),-1,1,0,2)>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)X例1：計算二重積分dblquad舉例第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四例：計算二重積分>>

dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y

分別是第一和第二積分變量>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)被積函數(shù)f(x,y)

的另一種定義方法：匿名函數(shù)>>

dblquad(@(y,x)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)下面的命令運行結(jié)果和上面的一樣嗎？dblquad舉例第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四int(f,a,b)

計算

f

關于默認自變量

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]。int(f)

計算

f

關于默認自變量

的不定積分。int(f,v,a,b)

計算函數(shù)f

關于自變量v

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]int(f,v)

計算函數(shù)

f

關于自變量

v

的不定積分findsym(f,1)符號積分：

intint符號積分第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四>>

symsxy;>>

f=y*sin(x);>>

int(f,x)>>

int(f,y)>>

int(f)>>

int('a+b')ans=-y*cos(x)ans=1/2*y^2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b^2例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果int舉例第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四例：用int

函數(shù)計算定積分：解：>>

symsx;>>

f=1/(1+x^2);>>

int(f,x,0,1)>>

f=sym('1/(1+x^2)');>>

int(f,x,0,1)>>

int('1/(1+x^2)',x,0,1)或>>

int('1/(1+x^2)',0,1)或或int舉例第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四double(a)將a

轉(zhuǎn)化為雙精度型，若a

是字符，則取對應的ASCII碼>>

a=3;>>

double(a)>>

double('a')例：ans=3ans=97其它相關函數(shù)第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四>>

x=1:0.001:2;>>

y=exp(x.^(-2));>>

trapz(x,y)

梯形法：

拋物線法：>>

quad('exp(x.^(-2))',1,2,10e-10)

符號積分法：>>

syms

x>>

int('exp(x^(-2))',x,1,2)例1：用Matlab

函數(shù)近似計算積分數(shù)值實驗第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

拋物線法：>>

dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1)

符號積分法：>>

f=int('x+y^2','y',-1,1);>>

int(f,0,2)數(shù)值實驗例2：用Matlab

函數(shù)近似計算二重積分第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四拋物線法計算三重積分：triplequadtriplequad(f,a,b,c,d,e,f,tol)

tol

為計算精度，若不指定，則缺省精度為10-6

f可以是：

字符串；inline

定義的內(nèi)聯(lián)函數(shù)；函數(shù)句柄

[a,b]

是第一積分變量的積分區(qū)間，

[c,d]

是第二積分變量

的積分區(qū)間

[e,f]是第二積分變量的積分區(qū)間triplequad第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

f(x,y,z)

中關于前兩個自變量的運算是數(shù)組運算，

即把x，y看成是向量，z看成是標量。也可以全部采用數(shù)組運算例2：計算三重積分>>

triplequad(inline('4*x.*y+3*x.^2+z^2'),-1,1,0,2,0,1)>>

symsxyz>>int(int(int('4*x*y+3*x^2+z^2',x,-1,1),y,0,2),z,0,1)triplequad舉例第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四>>

triplequad(@(x,y,z)4*x.*y+3*x.^2+z^2,-1,1,0,2,0,1)指定x、y,

z

分別是第一、二、三積分變量>>

triplequad(inline('4*x.*y+3*x.^2+z^2'),-1,1,0,2,0,1)被積函數(shù)f(x,y,z)

的另一種定義方法：匿名函數(shù)triplequad舉例例2：計算三重積分第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四梯形數(shù)值積分命令trapz()clearx=0:pi/100:pi;y=sin(x);tr