高中物理第一章機(jī)械振動(dòng)3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像和公式講義教科版選修

3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像和公式第一章機(jī)械振動(dòng)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.知道所有簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像都是正弦(或余弦)曲線.2.會(huì)根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像找出物體振動(dòng)的周期和振幅，并能分析有關(guān)問(wèn)題.3.理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式，能從該表達(dá)式中獲取振幅、周期(頻率)、相位、初相等相關(guān)信息.內(nèi)容索引重點(diǎn)探究啟迪思維探究重點(diǎn)達(dá)標(biāo)檢測(cè)檢測(cè)評(píng)價(jià)達(dá)標(biāo)過(guò)關(guān)自主預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)新知夯實(shí)基礎(chǔ)自主預(yù)習(xí)一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像1.圖像的建立以橫軸表示做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)

，縱軸表示做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)平衡位置的

.2.圖像的特點(diǎn)：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像是一條

(或

)曲線.3.由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，可找出物體振動(dòng)的

和

.時(shí)間t

位移x

正弦余弦周期振幅二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式及相位簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式x＝

.(1)式中x表示振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的

；t表示振動(dòng)的

.(2)A表示

.(3)ω稱(chēng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圓頻率，它也表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振動(dòng)的快慢，與周期T及頻率f的關(guān)系：ω＝

＝

.所以表達(dá)式也可寫(xiě)成：(4)2πft＋φ代表簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位；其中φ是t＝

時(shí)的相位，稱(chēng)為初相位或初相.Asin(ωt＋φ)位移時(shí)間振幅2πf0[即學(xué)即用]1.一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移x與時(shí)間t的關(guān)系曲線如圖1所示，根據(jù)圖像，判斷下列說(shuō)法的正誤.(1)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的頻率是4Hz.()(2)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅是2cm.()(3)在t＝3s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度最大.()(4)在t＝4s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所受的合外力為零.()×√√×答案圖12.有一彈簧振子，振幅為0.8cm，周期為0.5s，初始時(shí)(t＝0)具有正的最大位移，則它的振動(dòng)方程是x＝

m.答案重點(diǎn)探究一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像[導(dǎo)學(xué)探究]1.甲、乙兩同學(xué)合作模擬彈簧振子的x－t圖像：如圖2所示，取一張白紙，在正中間畫(huà)一條直線OO′，將白紙平鋪在桌面上，甲同學(xué)用手使鉛筆尖從O點(diǎn)沿垂直于OO′方向振動(dòng)畫(huà)線，乙同學(xué)沿O′O方向水平向右勻速拖動(dòng)白紙.答案是一條垂直于OO′的直線.答案圖2(1)白紙不動(dòng)時(shí)，甲同學(xué)畫(huà)出的軌跡是怎樣的？答案垂直O(jiān)′O方向的軸為位置坐標(biāo)軸x(如果以平衡位置為出發(fā)點(diǎn)，也可以說(shuō)是位移坐標(biāo)軸)，沿OO′方向的軸為時(shí)間軸t.圖線上點(diǎn)的坐標(biāo)表示某時(shí)刻鉛筆尖的位移(以平衡位置為出發(fā)點(diǎn))或位置.(2)乙同學(xué)勻速向右慢慢拖動(dòng)白紙時(shí)，甲同學(xué)畫(huà)出的軌跡又是怎樣的？答案軌跡如圖所示，類(lèi)似于正弦曲線.答案(3)分析白紙慢慢拖動(dòng)時(shí)畫(huà)出的曲線，沿OO′與垂直O(jiān)O′方向分別建立坐標(biāo)軸，說(shuō)說(shuō)兩坐標(biāo)軸可表示什么物理量？圖線上點(diǎn)的坐標(biāo)表示什么物理意義？2.繪制簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的x－t圖像

如圖3所示，使漏斗在豎直平面內(nèi)做小角度擺動(dòng)，并垂直于擺動(dòng)平面勻速拉動(dòng)薄板，則細(xì)沙在薄板上形成曲線.若以漏斗的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿著振動(dòng)方向建立x軸，垂直于振動(dòng)方向建立t軸，則這些曲線就是漏斗的位移—時(shí)間圖像.為什么這些曲線能描述漏斗的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律？答案當(dāng)單擺(漏斗)擺動(dòng)時(shí)，薄板從左向右勻速運(yùn)動(dòng)，所以薄板運(yùn)動(dòng)的距離與時(shí)間成正比，因此可用薄板運(yùn)動(dòng)的距離代表時(shí)間軸，圖像上每一個(gè)點(diǎn)的位置反映了不同時(shí)刻擺球(漏斗)離開(kāi)平衡位置的位移，即位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.答案圖3[知識(shí)深化]1.對(duì)x－t圖像的理解x－t圖像上的x坐標(biāo)表示振子相對(duì)平衡位置的位移，也表示振子的位置坐標(biāo).它反映了振子位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，不是振子的運(yùn)動(dòng)軌跡.2.圖像的應(yīng)用(1)確定振動(dòng)物體在任一時(shí)刻的位移.如圖4所示，對(duì)應(yīng)t1、t2時(shí)刻的位移分別為x1＝7cm，x2＝－5cm.圖4(2)確定振動(dòng)的振幅.由圖可知，振動(dòng)的振幅是10cm.(3)確定振動(dòng)的周期和頻率.由圖可知，T＝0.2s，頻率(4)確定各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向.例如圖中的t1時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)正遠(yuǎn)離平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)；在t3時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)正向著平衡位置運(yùn)動(dòng).(5)比較各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)加速度的大小和方向.例如在圖中t1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位移x1為正，則加速度a1為負(fù)，t2時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位移x2為負(fù)，則加速度a2為正，又因?yàn)閨x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|.例1如圖5所示為某一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，則A.振動(dòng)的振幅為6mB.振動(dòng)的周期為6sC.t＝1.5s時(shí)和t＝2.5s時(shí)，振子的速度相同D.t＝2.5s時(shí)，振子的加速度正在減小，沿x軸的負(fù)方向√答案解析圖5解析

由題圖知，振子運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)＝4s；振幅是振子離開(kāi)平衡位置的最大距離，由題圖知，振幅A＝3cm，故A、B錯(cuò)誤；在t＝1.5s時(shí)和t＝2.5s時(shí)，據(jù)題圖可知，振子關(guān)于平衡位置對(duì)稱(chēng)，所以兩時(shí)刻速度大小相等，方向相同，沿x軸的負(fù)方向，故C正確；t＝2.5s時(shí)，振子正遠(yuǎn)離平衡位置，位移增大，其加速度增大，故D錯(cuò)誤.針對(duì)訓(xùn)練

如圖6甲所示，水平的光滑桿上有一彈簧振子，振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在a、b兩點(diǎn)之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(以向右為正方向)，其振動(dòng)圖像如圖乙所示.由振動(dòng)圖像可以得知A.振子的振動(dòng)周期等于t1B.在t＝0時(shí)刻，振子的位置在a點(diǎn)C.在t＝t1時(shí)刻，振子的速度為零D.從t1到t2，振子正從O點(diǎn)向b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)√答案解析圖6解析振子的振動(dòng)周期是振子完成一個(gè)周期性變化所用的時(shí)間，由題圖乙直接讀出其周期T＝2t1，故A錯(cuò)誤；由題圖乙知在t＝0時(shí)刻，振子的位移為零，正通過(guò)平衡位置，所以振子的位置在O點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；在t＝t1時(shí)刻，振子的位移為零，正通過(guò)平衡位置，速度最大，故C錯(cuò)誤；從t1到t2，振子的位移從0變化到正向最大，說(shuō)明振子正從O點(diǎn)向b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，故D正確.二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式及相位差[導(dǎo)學(xué)探究]1.將兩個(gè)相同的單擺向同一方向拉開(kāi)相同的角度，然后同時(shí)靜止釋放.兩個(gè)單擺的振動(dòng)有什么特點(diǎn)？它們的相位差是多大？答案它們同時(shí)到達(dá)同側(cè)的最大位移處，也同時(shí)到達(dá)平衡位置，它們總是“步調(diào)一致”，相位相同，相位差為0.答案2.將兩個(gè)擺長(zhǎng)相同的單擺向相反方向拉開(kāi)相同的角度，然后同時(shí)靜止釋放，觀察兩個(gè)單擺的振動(dòng)有什么特點(diǎn)？它們的相位差是多大？答案

它們各時(shí)刻的位移總是相反，相位差為π.答案3.圖7是彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的x－t圖像，它是一條正弦曲線，請(qǐng)根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)寫(xiě)出此圖像的函數(shù)表達(dá)式，并說(shuō)明各量的物理意義.答案圖7[知識(shí)深化]1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式的理解2.從表達(dá)式x＝Asin(ωt＋φ)體會(huì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性.當(dāng)Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ時(shí)，Δt＝

＝nT，振子位移相同，每經(jīng)過(guò)周期T完成一次全振動(dòng).例2

(多選)一彈簧振子A的位移x隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為x＝0.1sin2.5πt，位移x的單位為m，時(shí)間t的單位為s.則A.彈簧振子的振幅為0.2mB.彈簧振子的周期為1.25sC.在t＝0.2s時(shí)，振子的運(yùn)動(dòng)速度為零D.若另一彈簧振子B的位移x隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為x＝答案解析√√在t＝0.2s時(shí)，振子的位移最大，速度最小，為零，故C正確；方法點(diǎn)撥應(yīng)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式解決相關(guān)問(wèn)題，首先應(yīng)明確振幅A、周期T、頻率f的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中

然后把確定的物理量與所要解決的問(wèn)題相對(duì)應(yīng)，找到關(guān)系.例3如圖8所示，一彈簧振子在M、N間沿光滑水平桿做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為平衡位置，MN＝8cm.從小球經(jīng)過(guò)圖中N點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，到第一次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的時(shí)間為0.2s，則小球的振動(dòng)周期為

s，振動(dòng)方程為x＝

cm.答案解析圖80.8故T＝0.8s；達(dá)標(biāo)檢測(cè)A.質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的頻率是4Hz，振幅是2cmB.質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)1s通過(guò)的路程總是2cmC.0～3s內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程為6cmD.t＝2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的振幅為零12341.(簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像)一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移x與時(shí)間t的關(guān)系圖像如圖9所示，由圖可知√答案解析圖91234解析由題圖可以直接看出振幅為2cm，周期為4s，所以頻率為0.25Hz，所以A錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在1s即

周期內(nèi)通過(guò)的路程不一定等于一個(gè)振幅，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)閠＝0時(shí)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置處，0～3s為

質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程為3A＝6cm，所以C正確；振幅等于質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的最大距離，與質(zhì)點(diǎn)的位移有著本質(zhì)的區(qū)別，t＝2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移為零，但振幅仍為2cm，所以D錯(cuò)誤.A.兩彈簧振子完全相同B.振子的振動(dòng)頻率之比f(wàn)甲∶f乙＝1∶2C.振子甲速度為零時(shí)，振子乙速度最大D.兩彈簧振子所受回復(fù)力最大值之比F甲∶F乙＝2∶112342.(簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像)(多選)甲、乙兩彈簧振子的振動(dòng)圖像如圖10所示，則可知√√答案解析圖101234解析由振動(dòng)圖像讀出兩彈簧振子的振幅和周期不同，則兩彈簧振子一定不完全相同，故A錯(cuò)誤；兩彈簧振子振動(dòng)周期之比T甲∶T乙＝2∶1，頻率之比是f甲∶f乙＝1∶2，故B正確；由題圖看出，甲在最大位移處時(shí)，乙在平衡位置，即振子甲速度為零時(shí)，振子乙速度最大，故C正確；由振動(dòng)圖像讀出兩振子位移最大值之比x甲∶x乙＝2∶1，根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征F＝－kx，由于彈簧的勁度系數(shù)k可能不等，回復(fù)力最大值之比F甲∶F乙不一定等于2∶1，故D錯(cuò)誤.12343.(簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式)一個(gè)小球和輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)，按x1＝

的規(guī)律振動(dòng).(1)求該振動(dòng)的周期、頻率、振幅和初相；答案解析1234解析由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1(2)另一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式為

求它們的相位差.答案解析答案π1234解析由題圖知：A的振幅是0.5cm，周期是0.4s；B的振幅是0.2