三角形的中位線

23.4中位線華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.經(jīng)歷三角形中位線的性質(zhì)定理形成過程.2.掌握三角形中位線的性質(zhì)定理，并能利用它解決簡單的問題.3.通過命題的教學(xué)了解常用的輔助線的作法，并能靈活運(yùn)用它們解題，進(jìn)一步訓(xùn)練說理的能力.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：三角形中位線的性質(zhì)定理.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：三角形中位線的性質(zhì)定理的應(yīng)用.在23.3節(jié)中，我們?cè)玫饺缦陆Y(jié)論：如圖所示，在△ABC

中，DE∥BC，則△ADE∽△ABC.新課導(dǎo)入ABCED在推理過程中，我們由DE∥BC推得

那么當(dāng)點(diǎn)D

是AB

的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E

也是AC

的中點(diǎn).ABCED現(xiàn)在換一個(gè)角度考慮，如果已知點(diǎn)D、E

分別是AB

與AC

的中點(diǎn)，那么是否可以推出DE∥BC？DE

與BC

之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？ABCED推進(jìn)新課如圖，在△ABC

中，點(diǎn)D、E

分別是AB

與AC

的中點(diǎn).根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：猜想ABCEDDE∥BC

，且在△ABC

中，∵點(diǎn)D、E

分別是AB

與AC

的中點(diǎn)，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC，∴DE∥BC

，且證明ABCEDABCEDFABCEDMN要證DE∥BC，可延長DE

到F，使EF=DE，于是本題就轉(zhuǎn)化為證明DF=BC，DE∥BC，故只要證明四邊形BCFD

為平行四邊形.思考：本題還有其他的解法嗎？我們把連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，并且有：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.概括求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.已知：如圖，在△ABC

中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.求證：AE、DF

互相平分.例1證明連結(jié)DE、EF.∵AD=DB，BE=EC，∴DE∥AC（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）.同理可得EF∥BA.∴四邊形ADEF

是平行四邊形.∴AE、DF

互相平分.如圖，在△ABC

中，D、E

分別是邊BC、AB

的中點(diǎn)，AD、CE

相交于點(diǎn)G.求證：例2證明連結(jié)ED.∵D、E分別是邊BC、AB

的中點(diǎn)，∴DE∥AC，（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半），∴△ACG∽△DEG，拓展如果在例2的圖中取AC

的中點(diǎn)F，假設(shè)BF

與AD

相交于點(diǎn)G′，如圖，那么我們同理可得即兩圖中的G

與G′是重合的，由此我們可以得出什么結(jié)論？于是，我們有以下結(jié)論：三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線的長是對(duì)應(yīng)中線長的.隨堂演練1.如圖，在□ABCD中，有E、F

分別是AD、BC上的點(diǎn)，且DE=CF，BE

和AF

的交點(diǎn)為M，CE

和DF

的交點(diǎn)為N.求證：MN∥AD，解：連結(jié)EF，證四邊形ABFE

和四邊形DCFE

均為平行四邊形，得FM=AM，F(xiàn)N=DN.∴MN∥AD，2.如圖，在四邊形ABCD

中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F

分別是AB、CD

的中點(diǎn)，且AC=BD.求證：OM=ON.解：取BC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，∵BG=CG，BE=AE，

EG∥AC∴∠ONM=∠GEF，同理

∠OMN=∠GFE，∵AC=BD，∴GE=GF，∴∠GEF=∠GFE，∴∠ONM=∠OMN，∴OM=ON.課堂小結(jié)1.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.2.三角形中位線定理的應(yīng)用.3.三角形重心的性質(zhì).課后作業(yè)1.從教材習(xí)題中選取，2.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題.