余角和補(bǔ)角“衡水賽”一等獎

人教版七年級數(shù)學(xué)上冊第4章幾何圖形初步4.3.3余角和補(bǔ)角

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解余角、補(bǔ)角的概念，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，并能利用余角、補(bǔ)角的知識解決相關(guān)問題.2.了解方位角的概念，并能用方位角知識解決一些簡單的實(shí)際問題.對于三角板，我們已經(jīng)很熟悉了，我們來回顧一下三角板各個角的度數(shù)45°45°90°60°30°90°復(fù)習(xí)回顧在一副三角尺中，每塊都有一個角是90o，而其他兩個角的和是90o(30o+60o=90o，45o+45o=90o).一般地，如下圖，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角(簡稱為兩個角互余)，即其中一個角是另一個角的余角.一、余角和補(bǔ)角的概念12如圖：∠1與∠2互為余角，也可以說∠1是∠2的余角，或者∠2是∠1的余角.余角是成對出現(xiàn)的，所以不能說某個角是余角。合作探究圖中給出的各角，哪些互為余角？15o24o66o75o46.2o43.8o當(dāng)堂鞏固類似地，如下圖，如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角，即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角.

補(bǔ)角是成對出現(xiàn)的，所以不能說某個角是補(bǔ)角.如圖：∠3與∠4互為補(bǔ)角，也可以說∠3是∠4的補(bǔ)角，或者∠4是∠3的補(bǔ)角。43合作探究1.圖中給出的各角，哪些互為補(bǔ)角？10o30o60o80o100o120o150o170o當(dāng)堂鞏固2.圖中給出的各角中，哪些互為余角？哪些互為補(bǔ)角？10°30°60°80°100°120°150°170°⑧①②③④⑤⑥⑦解：互余的角有：①與④，②與③互補(bǔ)的角有：①與⑧，②與⑦，③與⑥，④與⑤.當(dāng)堂鞏固3.填表：

n°0<n<9050°45°150°45°135°130°40°60°30o90°-n°180o-n°∠1的度數(shù)∠1的余角∠1的補(bǔ)角當(dāng)堂鞏固4.已知3組數(shù)，①對A組的每一個角，在B組中找出它的補(bǔ)角，并用線連接.②B組中有哪些角的余角在C組中，分別找出并用線連接.55°145°100°55°80°170°35°15°125°10°10°115°35°105°75°A

CB當(dāng)堂鞏固例1：若一個角的補(bǔ)角等于它的余角的4倍，求這個角的度數(shù).解：設(shè)這個角為x°，則它的補(bǔ)角是(180－x)°，余角是(90－x)°.根據(jù)題意，得180－x=4(90－x).

解得x=60.答：這個角的度數(shù)是60°典例分析1.一個角是70°39′，求它的余角和補(bǔ)角。3.一個角是鈍角，它的一半是什么角？它的余角呢？補(bǔ)角呢？2.一個角的補(bǔ)角是它的3倍，這個角是多少度？解：余角：90°-70°39′=19°21′

補(bǔ)角：180°-70°39′=109°21′解：180°-x=3x∴x=45°解：它的一半是銳角；因?yàn)殁g角大于90°，所以它沒有余角；補(bǔ)角是銳角.當(dāng)堂鞏固4.已知∠A與∠B互余，且∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，求∠B的度數(shù).解：設(shè)∠B的度數(shù)為x°，則∠A的度數(shù)為(3x+30)°.

根據(jù)題意得：x+(3x+30)=90.解得x=15.故∠B的度數(shù)為15°.當(dāng)堂鞏固例2：如圖，已知O為AD上一點(diǎn)，∠AOC與∠AOB互補(bǔ)，OM，ON分別為∠AOC，∠AOB的平分線，若∠MON=40°，試求∠AOC與∠AOB的度數(shù)．O

DA

B

C

N

M

解：設(shè)∠AOB=x，因?yàn)椤螦OC與∠AOB互補(bǔ)，則∠AOC=180°-x．因?yàn)镺M，ON分別為∠AOC，∠AOB的平分線，典例分析O

DA

B

C

N

M

所以解得x=50°，則180°-x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°.所以∠AOM=，∠AOM=.∠α∠α的余角∠α的補(bǔ)角5°32°45°77°62°23′x°(0＜x＜90)27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°(90－x)°(180－x)°觀察可得結(jié)論：銳角的補(bǔ)角比它的余角大_____.90°思考∠1與∠2，∠3都互為補(bǔ)角，∠2與∠3的大小有什么關(guān)系？二、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)思考：12同角(等角)的補(bǔ)角相等.結(jié)論：3∠2=180°－∠1∠3=180°－∠1同角(等角)的余角相等.類似地，可以得到：=合作探究例3：如圖，點(diǎn)A，O，B在同一直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，圖中哪些角互為余角？解：因?yàn)辄c(diǎn)A，O，B在同一直線上，所以∠AOC和∠BOC互為補(bǔ)角.O

A

B

C

D

E

典例分析O

A

B

C

D

E

所以∠COD和∠COE互為余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互為余角.又因?yàn)樯渚€OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE

=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;（2）OE是∠BOC的平分線嗎？請說明理由．∠COE、∠BOEO

A

B

C

D

E

∠COE、∠BOE解：OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∴∠COD+∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．變式訓(xùn)練

如圖，已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，則與∠AOC互余的角有__________________.∠BOC和∠AODO

A

B

C

D

當(dāng)堂鞏固東西北南O正東：正南：正西：正北：西北方向：西南方向：東北方向：東南方向：

射線OAABCD45°EGFH45°八大方位：45°45°射線OB射線OC射線OD射線OE射線OF射線OH射線OG三、方位角合作探究45°

如圖，說出下列方位(1)射線OA表示的方向?yàn)?/p>

.(2)射線OB表示的方向?yàn)?/p>

.

(3)射線OC表示的方向?yàn)?/p>

.

(4)射線OD表示的方向?yàn)?/p>

.北東西南CABD北偏東40°北偏西65°南偏西45°(西南)南偏東20°40°65°70°O20°合作探究例4：如圖，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上.同時(shí)，在它北偏東40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B，貨輪C和海島D.仿照表示燈塔方位的方法畫出表示客輪B，貨輪C和海島D方向的射線.東南西北60°●B40°10°45°C●●A●DO●有時(shí)以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動的方向，如“北偏東30°”“南偏東25°”.表示方向的角（方位角）在航行、測繪等工作中經(jīng)常用到.典例分析畫法：1.以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，表示正北方的射線為角的一邊，畫40°的角，使它的另一邊OB落在東與北之間.射線OB的方向就是北偏東40°，即客輪B所在的方向.2.同理畫出射線OC、射線OD.射線OC、射線OD即為所求.東南西北60°●B40°10°45°C●●A●DO●典例分析1.一個角的余角是它的2倍，這個角的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°A2.下列說法正確的是（）A．一個角的補(bǔ)角一定大于它本身B．一個角的余角一定小于它本身C．一個鈍角減去一個銳角的差一定是一個銳角D．一個角的余角一定小于其補(bǔ)角D隨堂練習(xí)3.已知∠A與∠B互余，∠B與∠C互補(bǔ)，若∠A=60°，則∠C的度數(shù)是_______.150°4.∠1與∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x－8)°，則∠1=

，∠2=

.62°28°隨堂練習(xí)5.如圖，已知∠ACB=∠CDB=90°.(1)圖中有哪幾對互余的角？(2)圖中哪幾對角是相等的角(直角除外)？為什么？答案：∠A+∠B=90°∠A+∠2=90°∠1+∠B=90°∠1+∠2=90°答案：∠B=∠2∠A=∠1(同角的余角相等)(同角的余角相等)ACD12B隨堂練習(xí)60°30°6.垃圾打撈船A和B都停駐在湖邊觀測湖面，從A船發(fā)現(xiàn)它的北偏東60°方向有白色漂浮物，同時(shí)，從B船也發(fā)現(xiàn)該白色漂浮物在它的北偏西30°方向.(1)試在圖中確定白色漂浮物C的位置；AB北北C隨堂練習(xí)60°北A.南偏東30°B.南偏西30°C.南偏東60°D.南偏西60°(2)點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東60°的方向上，那么點(diǎn)A在點(diǎn)C的______方向上.

60°30°AB北北CD隨堂練習(xí)1.（2021?上海11/25）70°的余角是

．【分析】根據(jù)余角的定義即可求解．【解答】解：根據(jù)定義一個角是70°，則它的余角度數(shù)是90°-70°=20°，故答案為20°．【點(diǎn)評】本題主要考查了余角的概念，掌握互為余角的兩個角的和為90度是解決此題關(guān)鍵．感受中考2.（3分）（2020?陜西2/25）若∠A=23°，則∠A余角的大小是（）A．57° B．67°C．77° D．157°【分析】根據(jù)∠A的余角是90°-∠A，代入求出即可．【解答】解：∵∠A=23°，∴∠A的余角是9