2023屆高中數(shù)學大題二輪復習第11講求值問題一-解析版

第11講求值問題（1）

在立體幾何中，通常會涉及求角度和距離的問題.對于求角度問題,如果學過空間向量可

以快速地解決這類問題，這里講的求角度問題是按照一般的方法求解的，不涉及空間向量，所

以可以把它作為一個思維拓展來學習.

求體積

求體積時我們需要找合理的高和底面,帶入體積公式，當然有時候我們無法直接求解,需要進

行一些轉(zhuǎn)換，通常有四種解法:直接轉(zhuǎn)化法、頂點轉(zhuǎn)移法、割補法和同底縮放法.具體看下面

例題,要在解題過程中慢慢總結(jié)出自己的方法.

方法一:直接轉(zhuǎn)化法

直接轉(zhuǎn)化法:證明或者找到一組線面垂直關(guān)系，選擇線面垂直的線作為高h，線面垂直的面作

為底S，帶入錐體體積公式求解.

［例1］如下圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面A8C。為正方形，平面平面

ABCD,PALPD,PA=PD=1,點E為AD的中點.

⑴求證:PEJ?平面ABCD.

（2）求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】（1）證明24=p。=1,七為4。的中點,

.-.PE±AD,

■平面J_平面ABCD,

平面ESc平面ABCD=AD,

r.PE_L平面ABCD.

（2）PA±PD,PA^PD^\,

AD=y/2,PE=—.

2

^P-ABCD=*?

【例2】如下圖所示，在三棱錐V-ABC中，平面立鉆，平面A6C,aL48為等邊三角形,

AC，BC且AC=8C=&,點。，點M分別為A&L4的中點.

（1）求證:平面MOC，平面VA3.

（2）求三棱錐V-ABC的體積.

【解析】（1）證明：AC=5C,O為A3的中點,

:.OC1AB.

「平面必犯，平面ABC,

平面WLBc平面A5C=AB,

OCu平面ABC,

.?.OC_L平面OCu平面MOC,

平面MOC_L平面%8.

（2）AC1.8C§.AC=3C=0,

點.。為AB的中點，

OC-1,AB=2,SVAB=gx2x6—乖!.

又?OC_L平面以8,

X

^V-ABC~^C-VAB=。。*S.VAB=

【例31如右圖所示，在四棱錐P-ABCD的底面四邊形ABCD中，

AD//BC,AD^BC,AD=CD,ADLDC，在，PAD中，PA=PD,ZAPD=60,平面

B4Z）J_平面PCD.

⑴證明：平面P4D

（2）若AB=4,Q為線段的中點，求三棱錐。-PCD的體積.

【解析】（1）證明如右圖所示，取PO的中點0,連接A0.

在.皿）中,PA=PD,/APO=60，則皿＞為等邊三角形.

，點。為PO的中點,，A0A.PD.

■：平面R4O_L平面PC。,平面PWc平面PCD=PD,AOu平面PAD,

.?.AO1■平面PCD

8u平面PCD,:.CDYAO.

CD±AD,AOr^AD=A,

：.CD1平面尸4）.在四邊形ABCD中，A。//8C且AO=BC,四邊形ABC。為平行四

邊形.

AB//CD.ABPAD.

(2)由⑴題知,四邊形ABC。為平行四邊形.

AD=CD,AD±CD,

：.四邊形ABC0為正方形,:.AD=AB=4.

是邊長4為等邊三角形.

AO1.平面PCD,A到平面PC。的距離d=AO=>JAD2-OD2=2拒.

AB//CD,AB<z平面PCD,

CDu平面PCD,ABII平面PCD.

A,B兩點到平面PCD的距離相等，均為d.

又?。為線段形的中點,二。到平面

PCD的距離〃一.一百.

2

由(1)題知,平面P4O,

?■.VQ_PCD=；XSpCDxh=^x^x4x4xy/3=^y-

方法二:頂點轉(zhuǎn)移法

頂點轉(zhuǎn)移法：

第一步:找線面平行或面面平行.在求錐體體積時，找到與底面平行的直線或者平面，該直線或

者平面包含著頂點.

第二步:頂點轉(zhuǎn)移.利用線面平行或者面面平行距離相等的性質(zhì)實現(xiàn)頂點轉(zhuǎn)移,從而得到可直

接求解的高線.

第三步:帶入體積公式.求出底面積，求出高線，代入體積公式,即可求出錐體體積.

［例1］如下圖所示，在六面體中，四邊形A8C0是邊長為4的正方形,

EFHBC,EF=2,CE=DE,CE±,平面CDE±平面A8C。.求三棱錐B-ADF的體

積.

【解析】瓦'//3。,5。＜=平面43。。,族0平面488,

:.￡7?//平面488.

.?.點F到平面A3CD的距離等于點E到平面ABCD的距離.

..V/j-ADF=^F-ABD=^E-ABD?

如下圖所示，取C。的中點。，連接E。.

CE=DE,CELDE,

平面J?平面ABC。,

.?.￡O_L平面ABCD.

棱錐E—43。的高E。=2.

SABD=5乂4*4=8,

I?[6

%-ABO=§xSABDxEO=-x8x2=—.

方法三:割補法

割補法:若所求幾何體的體積不容易直接求解出來，就通過切割組合的方式，先分別求出

標準幾何體體積,然后再通過組合切割的方式求解.

【例1】如下圖所示,四棱錐P—ABCD中底面438,43,4),聞3//。。,點

E,點尸分別為PC,OC的中點,24=DC=243=2AD=2.求三棱錐P—的體積.

【解析】點E為PC的中點，匕＞_"歐=2腺一.。?又Vp_BDE=Vp_BDC~yE-BDC，

Vp-BDE=%-BDC,

xx

SBDC=_12=1,

Vp_BDC=§SBDC,4P-T，

Vp_BDE=

【例2】如下圖所示，已知四邊形ABCD和ABEG均為平行四邊形，點E在平面ABC。內(nèi)

的射影恰好為點A，以3￡＞為直徑的圓經(jīng)過點A,C,AG的中點為點尸,CD的中點為點尸，且

AD=AB=AE=2.

(i)求證:平面EFPJ*平面BCE.

(2)求幾何體4)G-BCE的體積。

【解析】（1）證明，點E在平面A3CO內(nèi)的射影恰好為點平面4BCD.

又????!￡（=平面A3EG,

平面ABC。，平面A8EG.

又?:以8。為直徑的圓經(jīng)過點點.A，點C,AD=AB,:.ABC。為正方形.

,/平面ABCDc平面ABEG=AB,

BCJ_平面ABEG.

EEu平面ABEG,BC工EF,

又：AB=AE=GE,

71

：.NABE=NAEB=2.

4

jr

???AG的中點為AAEF=-,

4

n

'：NAEF+NAEB=-,:.EFLBE.

2

BEu平面BCE,BCu平面BCE,

BCcBE=B,:.EF±平面BCE.

?；EFu平面EFP,

，平又平面3CE.

（2）連接DE（圖略），由（1）題知，

AE平面ABCD,：.AEJ.AD.

又：AB±AD,AEoAD^A,

二ABJ_平面ADE.

又,?,A3//GE,

.?.6后_1_平面4）上.

?,匕DG-8CE=^G-ADE+^E-ABCD=§*

GExSMDE+—xAExSMBCO=3x2x

—x2x2+—x2x2x2=4.

23

/.幾何體ADG-BCE的體積為不

【例31如下圖所示，四棱錐S-ABCD的側(cè)面SAO是正三角形，AB//CD,且

AB1AD,AB=2CD=4,點E是S8的中點.

⑴求證:CE//平面%O.

（2）若平面SAD±平面ABCD,H.SB=4應，求多面體S-ACE的體積.

【解析】（1）證明：如下圖所示，取SA的中點尸，連接Er.

E是SB的中點，，所//AB,且AB=2E尸.

s

又AB//CD,AB=2CD,

:.EF//DC,EF=DC,

即四邊形EEDC是平行四邊形.

：.EC//FD.

又一EC仁平面EDU平面1s4。，