2023屆高中數(shù)學(xué)大題二輪復(fù)習(xí)第22講定點(diǎn)、定直線問(wèn)題-解析版

第22講定點(diǎn)、定直線問(wèn)題

圓錐曲線的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題就是曲線或直線過(guò)定點(diǎn)，或者動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其核心思

路就是消參，消參的手段主要用的有兩種：①等式代是消參(前面講過(guò)，就是找到兩個(gè)參數(shù)

之間的關(guān)系，帶是從而消掉一個(gè)參數(shù)).②參數(shù)無(wú)關(guān)性消參：和參數(shù)相關(guān)的因式為o時(shí)，和

參數(shù)的取值沒(méi)什么關(guān)系，比如y-2+炫(幻=0,只要因式g(x)=O,就和參數(shù)4沒(méi)什么關(guān)系

了，或者說(shuō)參數(shù)出不起作用.

直線過(guò)定點(diǎn)

直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題：題設(shè)為某直線恒過(guò)某個(gè)定點(diǎn).

目標(biāo)：建立出只含斜率一個(gè)參數(shù)的直線方程，形如>=%。-1)+2,則會(huì)恒過(guò)(1,2)這個(gè)

點(diǎn)，也就是當(dāng)x=l時(shí)，與斜率參數(shù)%沒(méi)有什么關(guān)系了，這個(gè)我把它稱之為參數(shù)無(wú)關(guān)性.

一般解題步驟：

(1)斜截式設(shè)直線方程：y=kx+m,此時(shí)引入了兩個(gè)參數(shù)，需要消掉一個(gè).

(2)找關(guān)系：找到A和機(jī)的關(guān)系：機(jī)=/(4),等式帶入消參，消掉

(3)參數(shù)無(wú)關(guān)找定點(diǎn)：找到和％沒(méi)有關(guān)系的點(diǎn).

【例1】若點(diǎn)A,8是拋物線=4y上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且。求

證：直線Afi恒過(guò)定點(diǎn).

【解析】證明由題意可知直線AB的斜率存在，設(shè)直線反方程：y=kx+b,

8(孫丹).

將直線AB的方程代入V=4y中，得*2_4辰-4〃=0.

.'.X[+w=4k,x^x--Ab,OAOB=xx+=xtx2+-1—=-=-4b+b2=-4=>/?=2,

2l216

...直線4?恒過(guò)定點(diǎn)(0,2).

【例2】過(guò)點(diǎn)(l，0卜乍相互垂直的兩條直線也，直線《與曲線C:y2=6x相交于A,3兩

點(diǎn)，直線4與曲線C:y2=6x相交于E,F兩點(diǎn),線段Afi,七廠的中點(diǎn)分別為,求證:

直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【解析】證明由題意可知，直線4的斜率均存在?

x-|

設(shè)直線《的方程為），=&,A（”J,B（x2,y2）.

y2=6x

聯(lián)立,與肖去y得4左2犬2一（12左2+24）犬+9%2=0

…卜一I

3公+6/6

%+々=——，y+%=4%+/—3x）=%.

???點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),

3r+6工、

M

2公，"'

同理，將人換成-■得3+6公

>5N,-3k,

~2-

k/

-+3k

業(yè)3k2+63+6k?

當(dāng)-------------,即時(shí),k,MNk

2k?23公+63+6-~k2-\"

2k22

3+6-

：.直線MN的方程為y+3&=X---------------

個(gè)-1I2

即y號(hào)x-|

直線MN恒過(guò)定點(diǎn)

|,也過(guò)點(diǎn)《9,o1,

當(dāng)&=±1時(shí)，直線MN的方程為x=

2

直線MM恒過(guò)定點(diǎn)（g,。].

3

【例】3MH,|為橢圓C:?+1~=l上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別

又交橢圓C于點(diǎn)A,8,求證：直線Afi過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

【解析】證明（1）當(dāng)直線A3的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=fcv+m,

=1'，消去y得（4公+3）X2+8kmx+4m2-12=0.

與橢圓C聯(lián)立3

y=kx-\-m

4=64/療_4（4公+3）（4加2-12）＞0.

一8km4小一12

設(shè)（（）則用+々=

AX],yJ,Bx2,y2,4〃+3'"e-4）+3?

：.MA-MB=(x}-l)(x2-l)+

/.+wt——HA:+7/n+—I=0.

313

解得〃？=一攵+一或"2=——k---.

2714

若加=-女+/貝iJ直線他的方程為y=Z(x-l)+|，過(guò)點(diǎn)V，不符題意.

若“=_4_3,則直線的方程為號(hào)過(guò)點(diǎn)仕，一

714,I7)14(714J

(2)當(dāng)直線A3的斜率不存在時(shí)，設(shè)A(x。,％)，8(%,-%),

聯(lián)立：,(%-])'+”《『為一

3x；+4y；=12

解得x()=；或々=1(舍).

此時(shí)直線A6也過(guò)點(diǎn)_意.

綜上，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)煉_高.

動(dòng)點(diǎn)在定直線上

動(dòng)點(diǎn)在定直線上：題設(shè)為某動(dòng)點(diǎn)P(%,%)在某定直線.

目標(biāo):需要消掉關(guān)于動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的所有參數(shù),從而建立一個(gè)無(wú)參的直線方程,

此時(shí)會(huì)分為三種情況：

(1)xa=a,即動(dòng)點(diǎn)恒過(guò)直線x=a.

(2)y0=b,即動(dòng)點(diǎn)恒過(guò)直線了=匕.

(3)%=)(x。)，即動(dòng)點(diǎn)恒過(guò)直線y=/(x).

22

【例1】如下圖所示，過(guò)點(diǎn)0-4,0)任作一動(dòng)直線/交橢圓C:二+匯=1于M,N兩點(diǎn)，記

43

MQ=AQN.若在線段MN上取一點(diǎn)R,使得MR=-/IRN,試判斷當(dāng)直線/運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R是

否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在，請(qǐng)求出該定直線.若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】由已知，直線的斜率必存在，

設(shè)其直線方程為y=%（x+4）,^（占,％）,N（x2,y2）.

《+￡=[

聯(lián)立《43-，消去y得G+以Bd+BZ^x+N*-iZi),

y=k(x+4)

-32k264k2-12

則△=144(1-4公)>0,先+9=

3+442'-3+叱?

由MQ=4QN得T-%=；l(W+4),=

設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（七,%）,則由=得/-3=-Z（x2-x0）.

x+4

Xj+-..........

解得X。=土二組=一組二lXyX2+4(%+x2)

—「+4G+x?)+8

x2+4

Be“/、c64A:2-12,-32k2-24

又2%馬+4(x,+x)=2x------z—+4x----=------

'-''13+4公3+4后723+4左2

一3才74

(x,+8=+從而%=7,

5-13+4公3+4二為

故點(diǎn)R在定直線x=-l上.

22

【例2】設(shè)動(dòng)直線/:y=fcr+m與橢圓C：?=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)尸，過(guò)橢圓C右

焦點(diǎn)耳作P耳的垂線與直線/交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)。在定直線上，求出定直線的方程.

【解析】證明:?直線/與橢圓相切,

y=kx+m

聯(lián)立y2—得(4公+3卜2+8^^+4m2—12=0.

彳十7一

A=64Z2m2-4(W-12)(4Z:2+3)=().

，4Jt2-/n2+3=0=>m2=4k2+3.

5上打工一4km4km4k.4K

：

切點(diǎn)坐標(biāo)xp=---------=-----r-=----,yp=kxp+m=--------+m

〃4公+3機(jī)2mm

即《丑」〕，

Imm)

3_

?k_-一3_4k+m

PL4k~4kmQF'~3'

--1+

m

FXQ方程為y.

4攵+〃？/八

聯(lián)立y=---(D

y=kx+tn

(44+m)(x—1)=3(kx+in)=4Ax+nix-4k—m=3kx+3m=(A+rn)x—4(%+m)，

解得x=4.

???Q在x=4這條定直線上.

【例3】如下圖所示，橢圓、+與=13>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)44,上、下頂點(diǎn)

a~3

分別為點(diǎn)片也，右焦點(diǎn)為點(diǎn)尸，同尸1=3，離心率為;.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)過(guò)點(diǎn)E(O,1)作不與y軸重合的直線/與橢圓交于點(diǎn)A/,N,直線對(duì)片與直線交

于點(diǎn)T,試討論點(diǎn)了是否在某條定直線上，若在，求出該直線方程.若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

_C_1

【解析】(1)由題意可得,a2,解得a=2,c=\:?b=\Ja2—c2=6，

同尸］=Q+C=3

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三十反=1.

43

(2)由題意可知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=h+l,設(shè)點(diǎn)”(公兇)，可(々，必).

聯(lián)立2!_]2，消去x并整理得("2+3)丁+8"一8=0,

△=64公+32(4公+3)=96(2/+1)>0,

由韋達(dá)定理得XI+9=---羋一，x,x2=----—.

易知點(diǎn)4(0,6),B式0,-揚(yáng),

直線MB,的斜率為&="避=幺33,

士玉

直線Mg的方程為y=%x+6,

直線NB1的斜率為匕=之上叵=3+Q+、■,

x2x2

直線NB2的方程為y=k2x-y/39

kxA4-(1—

由y_6=>，y+y[3=k2x可得匕2—=——x]_^=kxlx2+(1-43)x2,

y+>/3k2kx24-(1+V3)kxxx2+(1+^3)^

x2

其中3%+x2，

.y-C=%+/+(1-揚(yáng)々=.+(2一百)/_(2-揚(yáng)[(2+6)/+1]—2-石

y+6X[+/+(1+G)%(2+V3)Xj+x2(2+\^)Xj+x2

解得y=3.

因此，點(diǎn)7在定直線y=3上.

圓過(guò)定點(diǎn)

圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題：題設(shè)以線段45為直徑的圓，恒過(guò)定點(diǎn)。.

(1)向量為零法：利用4/>8。=0,整體代換消參之后求出D點(diǎn)坐標(biāo)的確定值.

(2)參數(shù)無(wú)關(guān)法：設(shè)出43的中點(diǎn)M,求出43長(zhǎng)度，令r=仝，建立出圓的方程,

2

形如f+%(y—3)2=4,利用參數(shù)無(wú)關(guān)性，可知圓恒過(guò)(±2,3).

方法一：向量為零法

o2

【例1】已知圓何：/+>2=*的切線/(直線/的斜率存在且不為零)與橢圓x上+丁=1相

32

交于兩點(diǎn).證明：以旗為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn).

【解析】證明???直線/的斜率存在且不為零，故設(shè)直線/的方程為丫=依+".

y=kx+m

聯(lián)立任消去y得(2爐+1)%2+4knix+2nr-2=0.

—+y

設(shè)B(x2,y2),則用+電=志鼻，2=誓j

2

必％=(3+m)(kx+⑼=k2xx+km(x、+x)+m2=—^；——

2]222k+1

.CHCR3nr—2k--2仆

..OAOB=xtx2+y,y2=―--①

?.?直線/和圓M相切，

圓心到直線/的距離d=，^L=逅，整理得〃=2(]+公).②

^/17F33、)

將②式代入①式得OAOB=0,顯然以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0(0,0).

【例2】過(guò)點(diǎn)尸(0,2)任作一直線下與曲線C:V=8y交于AB兩點(diǎn)，直線。4,03與直線

y=-2分別交于點(diǎn)〃,MO為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F.

【解析】證明設(shè)直線鉆的方程為y=H+2,

則直線％方程：y=±x,直線機(jī)方程：>=立》.

VZ/1/8L/O，8

聯(lián)立尸鏟，得川二2-21.同理得”理,-2

x

y=_2kiJ【W(wǎng)

=(-4)x(-4)+=16+”小

中2

-2得x2-8fct-16=0,

聯(lián)立

/.XjX2=—16,

G4口z16x1616x16

貝！jFM-FN=16H------=16H--------=0.

x{x2-16

因此，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸.

【例3】過(guò)點(diǎn)S（O,_g）且斜率為k的動(dòng)直線/交橢圓：5+丁=1于A8兩點(diǎn)，在y軸上是

否存在定點(diǎn)M,使以45為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出〃的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)

明理由.

【解析】設(shè)直線/:y=Ax-g,代入］+y2=i得Q標(biāo)+i*-扣一與=0.

設(shè)A（XQI），8（々,%），則X|+X2=3Q}+［［砧=9（2X1）?

若y軸上存在定點(diǎn)加（0,〃2）滿足題設(shè)，則M4=（4必-〃7）,M3=（工2，%-*

2

MA-MB=%|X2+（必一機(jī)）（丁2—機(jī)）=XjX2+y1y2+y2）+tn

=XIX2+（"l_；）一加（點(diǎn)I+京2—；）+62

=（公+1）芭/+'"）（&+&）+:"+竽+"

18（n?2-l）&2+（9/n2+6w-15）

9（2—+1）

如果M4MB=0成立，即18（蘇—1伙？+（9濟(jì)+6加一15）=0對(duì)無(wú)wR成立.

m2-1=0

，解得m

9wz2+6/H-15=0

二在y軸上存在定點(diǎn)M（O,1），使以他為直徑的圓恒過(guò)M點(diǎn).

方法二：參數(shù)無(wú)關(guān)法

【例1】若過(guò)尸（1,0）的直線與曲線C：y?=4x交于P,。兩點(diǎn)，直線。尸,0。與直線x=l分別

交于A8兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn).若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo).若不是，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【解析】設(shè)直線P。的方程為x=/ny+l,P（x，y）,Q（x”％），

聯(lián)立[y-=4x,整理得9_4機(jī)）一4=0,

[x=my+]

2

A=16m+16>0,y,+y2=4m,乂%=-4,

直線OP的方程為y=—x=—x.

xy

同理，直線。。的方程為y=±x.

必

令x=l得A，l,3,B\1,—,

IyjIyi)

設(shè)他的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為(H，為),

￡_4

則"=1,力=豈正&1=一2m，

2%必

，T(l,-2n?).

\AB\=--^~=~p=J(y+%f-4%,=d16m2+16.

圓的半徑為r=巫必跡.

2

以AB為直徑的圓的方程為(X—+(y+2m)2=4/n2+4.

展開(kāi)可得(x-l)2+/+4沖=4,

令y=0,可得(x-iy=4,【解析】得x=3或x=-l.

從而以相為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-1,0)和(3,0).

【例2】如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xO｝，中，橢圓C:上+凹=1的左頂點(diǎn)為A,過(guò)原