2024學年黑龍江省哈爾濱市尚志中學高二數(shù)學第一學期期末檢測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024學年黑龍江省哈爾濱市尚志中學高二數(shù)學第一學期期末檢測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知p:,q:,那么p是q的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件2.若拋物線的準線方程是,則拋物線的標準方程是()A. B.C. D.3.若是真命題,是假命題,則A.是真命題 B.是假命題C.是真命題 D.是真命題4.已知橢圓的左、右焦點分別為、,點A是橢圓短軸的一個頂點,且,則橢圓的離心率()A. B.C. D.5.“圓”是中國文化的一個重要精神元素,在中式建筑中有著廣泛的運用,最具代表性的便是園林中的門洞.如圖,某園林中的圓弧形挪動高為2.5m,底面寬為1m,則該門洞的半徑為()A.1.2m B.1.3mC.1.4m D.1.5m6.命題“存在,使得”的否定為()A.存在, B.對任意,C.對任意, D.對任意,7.某口罩生產(chǎn)商為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量,從總體編號為001,002,003,…,499,500的500盒口罩中,利用下面的隨機數(shù)表選取10個樣本進行抽檢,選取方法是從下面的隨機數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開始由左向右讀取,則選出的第3個樣本的編號為()160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3258.設(shè)函數(shù)在上可導,則等于()A. B.C. D.以上都不對9.函數(shù)的最小值是()A.3 B.4C.5 D.610.在正方體中,,則()A. B.C. D.11.某商場開通三種平臺銷售商品,五一期間這三種平臺的數(shù)據(jù)如圖1所示.該商場為了解消費者對各平臺銷售方式的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取了6%的顧客進行滿意度調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如圖2所示.下列說法正確的是()A.樣本中對平臺一滿意的消費者人數(shù)約700B.總體中對平臺二滿意的消費者人數(shù)為18C.樣本中對平臺一和平臺二滿意的消費者總?cè)藬?shù)為60D.若樣本中對平臺三滿意消費者人數(shù)為120,則12.已知橢圓的左,右兩個焦點分別為,若橢圓C上存在一點A,滿足,則橢圓C的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,分別是橢圓和雙曲線的離心率,,是它們的公共焦點,M是它們的一個公共點,且,則的最大值為______14.在平面直角坐標系中,直線與的交點為,以為圓心作圓,圓上的點到軸的最小距離為(Ⅰ)求圓的標準方程;(Ⅱ)過點作圓的切線,求切線的方程15.曲線的長度為____________.16.如圖,正方形ABCD的邊長為8,取正方形ABCD各邊的中點E,F(xiàn),G,H,作第2個正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各邊的中點I,J,K,L,作第3個正方形IJKL.依此方法一直繼續(xù)下去.①從正方形ABCD開始,第7個正方形的邊長為___;②如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去,那么作到第n個正方形,這n個正方形的面積之和為___.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)若在單調(diào)遞增,求的取值范圍;(2)若,求證:.18.(12分)已知數(shù)列是首項為1,公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列.數(shù)列的前項的和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.19.(12分)設(shè)數(shù)列的前項和為,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)記,數(shù)列的前項和為,求不等式的解集.20.(12分)已知數(shù)列滿足,,數(shù)列前項和為.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)表示不超過的最大整數(shù),如,設(shè)的前項和為,令,求證:.21.(12分)如圖,直三棱柱中,,,是棱的中點,(1)求異面直線所成角的余弦值;(2)求二面角的余弦值22.(10分)已知橢圓的離心率為,短軸端點到焦點的距離為2(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)為橢圓上任意兩點,為坐標原點,且以為直徑的圓經(jīng)過原點,求證:原點到直線的距離為定值,并求出該定值

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】若p成立則q成立且若q成立不能得到p一定成立,p是q充分不必要條件.【題目詳解】因為>0,<1,所以若p:成立,一定成立,但q:成立,p:不一定成立,所以p是q的充分不必要條件.故選:C.2、D【解題分析】根據(jù)拋物線的準線方程,可直接得出拋物線的焦點,進而利用待定系數(shù)法求得拋物線的標準方程【題目詳解】準線方程為,則說明拋物線的焦點在軸的正半軸則其標準方程可設(shè)為:則準線方程為:解得:則拋物線的標準方程為:故選:D3、D【解題分析】因為是真命題,是假命題,所以是假命題,選項A錯誤,是真命題,選項B錯誤,是假命題,選項C錯誤,是真命題,選項D正確,故選D.考點:真值表的應用.4、D【解題分析】依題意,不妨設(shè)點A的坐標為,在中,由余弦定理得,再根據(jù)離心率公式計算即可.【題目詳解】設(shè)橢圓的焦距為,則橢圓的左焦點的坐標為,右焦點的坐標為,依題意,不妨設(shè)點A的坐標為,在中,由余弦定理得:,,,,解得.故選:D.【題目點撥】本題考查橢圓幾何性質(zhì),在中,利用余弦定理求得是關(guān)鍵,屬于中檔題.5、B【解題分析】設(shè)半徑為R,根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.【題目詳解】設(shè)半徑為R,,解得,化簡得.故選:B.6、D【解題分析】根據(jù)特稱命題否定的方法求解,改變量詞,否定結(jié)論.【題目詳解】由題意可知命題“存在,使得”的否定為“對任意,”.故選:D.7、A【解題分析】按隨機數(shù)表法逐個讀取數(shù)字即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)隨機數(shù)表法讀取的數(shù)字分別為:116,614(舍),908(舍),445,116(舍),573(舍),880(舍),590(舍),522(舍),741(舍),148,故選出的第3個樣本的編號為148.故選:A.8、C【解題分析】根據(jù)目標式,結(jié)合導數(shù)的定義即可得結(jié)果.【題目詳解】.故選:C9、D【解題分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用其單調(diào)性求最小值【題目詳解】由,得,因為,所以,所以在上單調(diào)遞增,所以,故選:D10、A【解題分析】根據(jù)空間向量基本定理,結(jié)合空間向量加法的幾何意義進行求解即可.【題目詳解】因為,而,所以有,故選:A11、C【解題分析】根據(jù)扇形圖和頻率分布直方圖判斷.【題目詳解】對于A:樣本中對平臺一滿意的人數(shù)為,故選項A錯誤;對于B:總體中對平臺二滿意的人數(shù)約為,故選項B錯誤;對于C:樣本中對平臺一和平臺二滿意的總?cè)藬?shù)為:,故選項C正確:對于D:對平臺三的滿意率為,所以,故選項D錯誤故選:C12、C【解題分析】根據(jù)題意可知當A為橢圓的上下頂點時,即可滿足橢圓C上存在一點A,使得,由此可得,解此不等式可得答案.【題目詳解】由橢圓的對稱性可知,當A為橢圓的上下頂點時,最大,故只需即可滿足題意,設(shè)O為坐標原點,則只需,即有,所以,解得,故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】利用橢圓、雙曲線的定義以及余弦定理找到的關(guān)系,然后利用三角換元求最值即可.【題目詳解】解析:設(shè)橢圓的長半軸為a,雙曲線的實半軸為,半焦距為c,設(shè),,,因為,所以由余弦定理可得,①在橢圓中,,①化簡為,即,②在雙曲線中,,①化簡為,即,③聯(lián)立②③得,,即,記,,,則,當且僅當,即,時取等號故答案為:.14、(Ⅰ);(Ⅱ)或【解題分析】(Ⅰ)求出點的坐標,設(shè)圓的半徑為,圓上的點到軸的最小距離為1求得的值,由此可得出圓的標準方程;(Ⅱ)對切線的斜率是否存在進行分類討論,當切線的斜率不存在時,可得切線方程為,驗證即可;當切線的斜率存在時,可設(shè)所求切線的方程為,利用圓心到切線的距離等于圓的半徑可求得的值,綜合可得出所求切線的方程.【題目詳解】(Ⅰ)聯(lián)立方程組,解得,即點設(shè)圓的半徑為,由于圓上的點到軸的最小距離為,則,所以,故圓的標準方程為;(Ⅱ)若切線的斜率不存在,則所求切線的方程為,圓心到直線的距離為,不合乎題意;若切線的斜率存在,可設(shè)切線的方程為,即,圓的圓心坐標為,半徑為,由題意可得,整理得,解得或故所求切線方程為或【題目點撥】本題考查圓的標準方程的求解,同時也考查了過圓外一點的圓的切線方程的求解,考查計算能力,屬于中等題.15、【解題分析】曲線的圖形是:以原點為圓心,以2為半徑的圓的左半圓,進而可求出結(jié)果.【題目詳解】解:由得,所以曲線()的圖形是:以原點為圓心,以2為半徑的圓的左半圓,∴曲線()的長度是,故答案為:.16、①.1②.【解題分析】根據(jù)題意,正方形邊長成等比數(shù)列,正方形的面積等于邊長的平方可得,然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的前n項和的公式即可求解.【題目詳解】設(shè)第n個正方形的邊長為,第n個正方形的面積為,則第n個正方形的對角線長為,所以第n+1個正方形的邊長為,,∴數(shù)列{}是首項為,公比為的等比數(shù)列,,∴,即第7個正方形的邊長為1;∴數(shù)列{}是首項為,公比為的等比數(shù)列,故答案為:1;.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析.【解題分析】(1)由函數(shù)在上單調(diào)遞增,則在上恒成立,由求解.(2)由(1)的結(jié)論,取,有,即在上恒成立,然后令,有求解.【題目詳解】(1)因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以在上恒成立,則有在上恒成立,即.令函數(shù),,所以時,,在上單調(diào)遞增,所以,所以有,即,因此.(2)由(1)可知當時,為增函數(shù),不妨取,則有在上單調(diào)遞增,所以,即有在上恒成立,令,則有,所以,所以,因此.【題目點撥】方法點睛:(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準確判定導數(shù)的符號,當f(x)含參數(shù)時,需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論.(2)若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減),求參數(shù)范圍問題,可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題,從而構(gòu)建不等式,要注意“=”是否可以取到18、(1),(2)【解題分析】(1)設(shè)數(shù)列公差為,由成等比數(shù)列求得,可得.利用求得;(2)利用錯位相減求和即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列公差為,由成等比數(shù)列有:,解得:,所以,數(shù)列,當即,,解得:,當時,有,所以,得:.又,所以數(shù)列為以為首項,公比為的等比數(shù)列,所以數(shù)列的通項公式為:.【小問2詳解】,,,得,,化簡得:.19、(1)(2)【解題分析】(1)利用與的關(guān)系求解即可;(2)首先利用裂項求和得到,從而得到,再解不等式即可.【小問1詳解】令,則,當時,,當時,也符合上式,即數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由(1)得,則,所以故可化為:,故,故不等式的解集為.20、(1),(2)證明見解析【解題分析】(1)利用累加法求通項公式,利用通項公式與前n項和公式的關(guān)系可求的通項公式;(2)求出并判斷其范圍,求出,利用裂項相消法求的前n項和即可證明.【小問1詳解】由題可知,當n≥2時,=當n=1時,也符合上式,∴;當時,,當n=1時,也符合上式,∴;【小問2詳解】由(1)知,∴,∵,;∵,,,,,∴設(shè)為數(shù)列的前n項和,則.21、(1)(2)【解題分析】(1)建立空間直角坐標系,求出相關(guān)各點坐標,求出,利用向量的夾角公式求得答案;(2)求出平面平面和平面的一個法向量,利用向量夾角公式求得答案.【小問1詳解】以為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,所以,所以直線所成角的余弦值為;【小問2詳解】設(shè)為平面的一個法向量,,則m?,同理,則,可取平面的一個法向量為,則,由圖可知二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.22、(1)(2)證明見解析,定值為【解題分析】(1)根據(jù)題意得到,,得到橢圓方程.(2)考慮直線斜率存在和不存在兩種情

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