第八章矩陣特征值

第八章矩陣特征值第一頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四§2.冪法和反冪法.

一、冪法

求矩陣的按模最大的特征值與相應(yīng)的特征向量。它是通過(guò)迭代產(chǎn)生向量序列，由此計(jì)算特征值和特征向量。第二頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第六頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第七頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四兩種特殊情況第八頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第九頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四冪法小結(jié)第十頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、冪法的加速

因?yàn)閮绶ǖ氖諗克俣仁蔷€性的，而且依賴于比值，當(dāng)比值接近于1時(shí)，冪法收斂很慢。冪法加速有多種，介紹兩種。第十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四（三）、瑞利商加速定義：設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)于任一非零向量x，稱為對(duì)應(yīng)向量x的瑞利（Rayleigh)商。（P298）定理14：設(shè)為對(duì)稱矩陣，特征值得滿足對(duì)應(yīng)的特征向量滿足，應(yīng)用冪法計(jì)算A的主特征值，則規(guī)范化向量的瑞利商給出的較好近似（P307）第十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、反冪法

反冪法是計(jì)算矩陣按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相應(yīng)特征向量的最有效的方法。第十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四反冪法的一個(gè)應(yīng)用第二十頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.Jacobi方法第二十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、矩陣的旋轉(zhuǎn)變換（Givens變換）第二十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四也稱Givens變換。第二十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、Jacobi方法第二十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四§4.QR方法

一、基本QR方法60年代出現(xiàn)的QR算法是目前計(jì)算中小型矩陣的全部特征值與特征向量的最有效方法。理論依據(jù)：任一非奇異實(shí)矩陣都可分解成一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積，而且當(dāng)R的對(duì)角元符號(hào)取定時(shí)，分解是唯一的。與A相似k=1,2,…第三十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

可證，在一定條件下，基本QR方法產(chǎn)生的矩陣序列｛A(k)｝“基本”收斂于一個(gè)上三角陣（或分塊上三角陣）。即主對(duì)角線（或主對(duì)角線子塊）及其以下元素均收斂，主對(duì)角線（或主對(duì)角線子塊）以上元素可以不收斂。特別的，如果A是實(shí)對(duì)稱陣，則｛A(k)｝“基本”收斂于對(duì)角矩陣。因?yàn)樯先顷嚨闹鲗?duì)角元（或分塊上三角陣中，主對(duì)角線子塊的特征值）即為該矩陣的特征值，故當(dāng)k充分大時(shí)，A(k)的主對(duì)角元（或主對(duì)角線子塊的特征值）就可以作為A的特征值的近似?；镜腝R方法的主要運(yùn)算是對(duì)矩陣QR分解，分解的方法有多種。介紹一種Schmit正交化方法為例。第三十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解與矩陣乘法，計(jì)算量大，而且收斂速度慢。因此實(shí)際使用的QR方法是先用一系列相似變換將A化成擬上三角矩陣（稱為上Hessenberg矩陣），然后對(duì)此矩陣用基本QR方法。因?yàn)閿M上三角矩陣具有較多零元素，故可減少運(yùn)算量?；疉為相似的擬上三角陣的方法有多種。第四十頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、豪斯豪爾德(Householder)變換第四十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、化一般矩陣為擬上三角陣(P313)第四十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四四、擬上三角矩陣的QR分解第五十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十八頁(yè)，共六十二頁(yè)