第三節(jié)高階方程的降階和冪級數(shù)解法

第三節(jié)高階方程的降階和冪級數(shù)解法第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四一、可降階的一些方程類型方程不顯含自變量的方程，可引進變換把原方程降一階為階方程。齊線性方程：通過非零特解作變換進行降階。方程不顯含未知函數(shù)，或更一般地，設方程不含,即方程可降階為階方程。主要內(nèi)容二、二階線性方程的冪級數(shù)解法第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四(目的：變換之后的方程能夠求解。)一般形式的n階微分方程：特殊形式的n階微分方程：引入變換：降階后的微分方程：1、方程不顯含未知函數(shù)，或更一般地，設方程不含,即方程可降階為階方程。一、可降階的一些方程類型第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四【例1】求方程的解.分析：引進變換，改寫原方程，多次積分.第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四2、方程不顯含自變量t的方程，可引進變換把原方程降一階為n-1階方程。實質(zhì)：若令，并以它為新的未知函數(shù)，而視x為新的自變量，此時方程可降一階。事實上，有于是，有一、可降階的一些方程類型第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四【例2】求方程的解。討論：的情況．分析：引進變換，改寫原方程，求解，討論.討論：的情況．求解得,作變換有變量還原得到原方程的解。當，即時，有解：.第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四【例3】求數(shù)學擺的運動方程滿足初始條件：t=0時，的解。分析：引進變換，改寫原方程，求解，討論.有利用初始條件，有第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四結(jié)論：非線性的情形比線性的情形要復雜得多。是一個橢圓積分，不能用初等函數(shù)表示出來。是擺從最大正偏離角第一次到達所需時間。令有通過分析，只需討論擺在時間內(nèi)的情況即可。第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四3、齊線性方程分析：求n階齊線性方程（4.2）無普遍方法，這與常系數(shù)方程的求解有著很大的區(qū)別，但是通過分析知道，如果有一個非零特解，則利用變換，可將方程降低一階;如果知道k個線性無關(guān)的特解，則通過一系列同類項的變換，使方程降低k階，并得到n-k階方程，也是齊線性的。一、可降階的一些方程類型第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四引進變換，并引入新的未知函數(shù)便得到新的n-1階方程。設是方程（4.2）的k個線性無關(guān)的解。求解（4.67）,就知道它的k-1個線性無關(guān)的解。這種方法對于二階齊次線性微分方程尤其有效。如果知道它的一個非零解，則方程的求解問題解決了。（讓同學們先推導?。┩ㄟ^以上類似的變換，對方程（4.67）實施同樣的變換，可將（4.67）降為n-2階的方程，如此進行下去，可以將原方程（4.2）變?yōu)閚-k階方程。第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四設是二階齊線性方程的解。于是有通解為：第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例3已知是方程的解，試求方程的通解。解：1、公式法：已知特解求通解；2、直接推導法：熟悉根據(jù)特解求通解的過程。第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四二、冪級數(shù)解法二階變系數(shù)齊線性方程的求解問題歸結(jié)為尋求它的一個非零解，找非零解是一件很困難的事？而方程的系數(shù)是自變量的函數(shù)，不能再用代數(shù)方法去求解了。但是，從微積分學中知道，在滿足某些條件下，可以用冪級數(shù)來表示一個函數(shù)。因此，自然想到，用冪級數(shù)來表示微分方程的解。第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例5求方程的滿足初始條件y(0)=0的解。解：分析：設y可以表示成級數(shù)形式：為方程的解，這里是待定系數(shù)，由此有將

的表達式代入方程，并比較x的同次冪的系數(shù)，得到第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四及y(0)=0，就有,利用數(shù)學歸納法可以推得，一般地代入（4.71）得這就是所求的解。事實上，方程是一階線性的，容易求得它的通解而由條件y(0)=0,確定常數(shù)c=-1，即得方程的解為。第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例6求方程的滿足初始條件y(0)=0的解。解：以代入原方程并比較的同次冪的系數(shù)。并利用初始條件，有于是有此級數(shù)對任何都是發(fā)散的，故，所給問題沒有形如假設形式的級數(shù)解。第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成x的冪級數(shù)形式，它們或者因為級數(shù)的系數(shù)無法確定，或者因為所得級數(shù)不收斂。究竟方程應該滿足什么條件才能保證它的解可用冪級數(shù)來表示？級數(shù)的形式如何？其收斂區(qū)間如何？等等這些問題，在微分方程解析理論中有完滿的解答，在此不作介紹?？蓞㈤喨~彥謙翻譯的《高等數(shù)學教程》第三卷第三分冊第五章。這里只提一下Bessel方程和Bessel函數(shù)。第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四考慮二階齊線性方程及初始條件注：總可以假定，否則作變換定理10若方程(4.72)中系數(shù)和都能展成的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為，則方程（4.72）有形如的特解，收斂半徑也為。第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四定理11若方程（4.72）中系數(shù)和都具有這樣的性質(zhì)，即和能展成的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為，則方程（4.72）有形如的特解，收斂半徑也為。是一個待定常數(shù)。第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四4.3.3第二宇宙速度的計算問題

計算發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，即所謂第二宇宙速度。在這個速度下，物體將擺脫地球的引力，像地球一樣繞著太陽運行。第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四注意分析說明方程的來源和求解方法。通解為：實際上就是解一個二階微分方程（牛頓第二定律）。利用初始條件，當時，，有第二十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四因而有物體運動速度必須是正的，于是有對于任意r成立，只有所以，最小發(fā)射速度為而地