2022-2023學年天津市武清區(qū)高二（下）月考數學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學年天津市武清區(qū)高二（下）月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題，共32.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知f(x)=ex+lnx+2，若x0是方程f(x)?f′(x)=e的一個解，則xA.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)2.已知函數f(x)=2x+1x，設f′(x)是函數f(x)的導函數，則f′(1)的值為(

)A.1 B.2 C.3 D.43.已知函數f(x)=e2x+1，則f′(0)=(

)A.0 B.e C.2e D.e4.直線l過點(?1,0)且與曲線y=ex相切，則直線l的傾斜角為(

)A.π4 B.3π4 C.π65.設a=3(3?ln3)e3，b=ln63，c=ln22，則A.b<a<c B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b6.一個矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，若記小正方形的邊長為x(cm)，小盒子的容積為V(cm3)，則A.當x=1時，V有極小值 B.當x=1時，V有極大值

C.當x=103時，V有極小值 D.當x=107.已知函數f(x)=ex+e?x，g(x)=sinxA.y=g(x)f(x)

B.y=f(x)?g(x)?14

C.8.已知函數f(x)=ex+alnx?xa?x(a>0)，(e為自然對數底數，e=2.71828…)，若f(x)≥0對?x∈(1,+∞)A.1e B.1 C.e D.二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）9.若函數f(x)=12x2+2f′(0)cosx+x，則f′(10.已知函數f(x)=e?x，則函數f(x)在x=1處的切線方程是______．11.若函數f(x)=13x3+(a?1)x2+x+1沒有極值，則實數12.若ex?(a?1)x?lnx?lna≥0，則實數a的最大值為

．13.已知函數f(x)=12x2?2ax?alnx在(1,2)上單調遞減，則a的取值范圍是14.已知定義在R上的函數f(x)的導函數為f′(x)，f(2)=1，若對任意x∈R，f′(x)+f(x)>0恒成立，則不等式f(x)<e2??的解集為

．三、解答題（本大題共4小題，共44.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.(本小題10.0分)

已知函數f(x)=ax?2x?3lnx，其中a為常數．

(1)當函數f(x)的圖象在點(23,f(23))處的切線的斜率為1時，求a的值；

16.(本小題10.0分)

已知函數f(x)=12ax2+lnx?(a+1)x．

(1)當a=?4時，求f(x)的單調區(qū)間與極值；

(2)當17.(本小題12.0分)

已知函數f(x)=ax3+bx+2在x=2處取得極值?14．

(1)求a，b的值；

(2)求曲線y=f(x)在點18.(本小題12.0分)

已知函數f(x)=12x2+2alnx?(a+2)x,a∈R．

(1)當a=1時，求函數f(x)的極值．

(2)是否存在實數a，對任意的m，n∈(0,+∞)，且m≠n，有f(m)?f(n)m?n答案和解析1.【答案】C

【解析】解：已知f(x)=ex+lnx+2，則f′(x)=ex+1x，x>0，

設g(x)=f(x)?f′(x)?e，

則g(x)=lnx?1x+2?e，

易得y=g(x)(0,+∞)上為增函數，

又g(2)<0而g(3)>0，則則x0可能存在的區(qū)間是(2,3)．

2.【答案】A

【解析】解：∵f(x)=2x+1x，

∴f′(x)=2?1x2，

∴f′(1)=2?1=1．

故選：A．3.【答案】C

【解析】解：f(x)=e2x+1，

則f′(x)=2e2x+1，

故f′(0)=2e．

故選：C．

先對f(x)求導，將x=0代入f′(x)4.【答案】A

【解析】解：因為y=ex，所以y′=ex，

設直線l與曲線的切點為(x0,ex0)，切線的斜率為k，

所以k=ex0，

所以切線的方程為：y?ex0=ex0(x?x0)，

因為直線l過點(?1,0)，

所以?ex0=ex0(?1?x0)5.【答案】C

【解析】解：因為a=3(3?ln3)e3=3?ln3e33=lne3?ln3e33=lne33e33，

b=ln63=12ln63=ln66，

c=ln22=2ln24=ln44，

所以令f(x)=lnxx，則a=f(e33)，b=f(6)，c=f(4)，

f′(x)=1x?x?lnxx2=1?lnx6.【答案】B

【解析】解：由題意可得：V(x)=(8?2x)(5?2x)x=4x3?26x2+40x，x∈(0,52)，

V′(x)=12x2?52x+40=4(3x?10)(x?1)，V′(1)=0，

x∈(0,1)時，V′(x)>0，此時函數V(x)單調遞增；x∈(1,52)時，V′(x)<0，此時函數V(x)單調遞減．

∴1是函數7.【答案】A

【解析】解：由題意可知函數是奇函數，排除B、D，

函數的定義域為R，排除C．

故選：A．

利用函數的定義域，以及函數的奇偶性判斷選項即可．

本題考查函數的圖形的判斷，函數的奇偶性以及函數的定義域，是判斷函數圖形的常用方法，是基礎題．

8.【答案】C

【解析】解：若f(x)≥0對?x∈(1,+∞)成立，則ex+alnx?xa?x≥0對?x∈(1,+∞)成立，

即lnxa?xa≥lnex?ex對?x∈(1,+∞)成立，

令m(t)=lnt?t(t>1)，則m′(t)=1t?1=1?tt<0，

所以m(t)在(1,+∞)上單調遞減，則xa≤ex，

所以alnx≤x對?x∈(1,+∞)成立，

所以a≤xlnx對?x∈(1,+∞)成立，

令t(x)=xlnx，x>1，

則t′(x)=lnx?1(lnx)2，

9.【答案】π6【解析】解：因為f′(x)=x?2f′(0)sinx+1，令x=0，則f′(0)=1，

所以f′(x)=x?2sinx+1，則f′(π6)=π6．

故答案為：π6．

求導后令x=0可得f′(0)=110.【答案】x+ey?2=0

【解析】解：∵函數f(x)=e?x，

∴f′(x)=?e?x，

∴f(1)=1e，f′(1)=?1e，

∴函數f(x)在x=1處的切線方程是：y?1e=(?1e)(x?1)，即x+ey?2=011.【答案】[0,2]

【解析】解：f′(x)=x2+2(a?1)x+1，

因為沒有極值，f′(x)≥0，

所以Δ=4(a?1)2?4≤0，

解得0≤a≤2．

故答案為：[0,2]12.【答案】e

【解析】解：因為ex?(a?1)x?lnx?lna≥0，x>0，a>0，

所以ex+x≥ax+lnax，即ex+x≥elnax+lnax，

令f(x)=ex+x(x>0)，

則f′(x)=ex+1>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增，

由f(x)≥f(lnax)，可得x≥lnax，x≥lnx+lna，則lna≤x?lnx恒成立，所以lna≤(x?lnx)min，

令g(x)=x?lnx,g′(x)=1?1x，令g′(x)=0，得x=1，

當x∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)單調遞減，在x∈(1,+∞)，g′(x)>0，g(x)單調遞增，

所以g(x)min=g(1)=1，所以lna≤1，解得0<a≤e，所以a的最大值為e．

故答案為：e13.【答案】[4【解析】解：f′(x)=x?2a?ax，

∴f′(x)≤0在x∈(1,2)上恒成立，

即x?2a?ax≤0，在x∈(1,2)上恒成立，

即x2?2ax?a≤0，

令g(x)=x2?2ax?a，則

g(1)≤0g(2)≤0即1?3a≤04?5a≤0解得a≥45．

故答案為[4514.【答案】(?∞,2)

【解析】解：構造?(x)=f(x)ex，

f(x)<e2?x?f(x)ex<e2??(x)<?(2)，

∵?′(x)=f′(x)ex+f(x)ex=[f′(x)+f(x)]ex>0，

∴?(x)在R上單調遞增，∴x<215.【答案】解：(1)函數f(x)的定義域為(0,+∞)，求導得f′(x)=a+2x2?3x，

因函數f(x)的圖象在點(23,f(23))處的切線的斜率為1，則f′(23)=1，解得a=1，

所以a的值是1．

(2)由(1)得f(x)=x?2x?3lnx，f′(x)=(x?1)(x?2)x2，

由f′(x)=0得x=2或x=1，

因x∈[32,3]，

則當32<x<2【解析】(1)根據給定條件，求出函數f(x)的導數，再利用導數的幾何意義計算作答．

(2)由(1)的結論，利用導數探討函數在[32,3]上的單調性，求出最小值作答．16.【答案】解：(1)當a=?4時，f(x)=12×(?4)x2+lnx?(?4+1)x=?2x2+lnx+3x，

f(x)的定義域為(0,+∞)，

f′(x)=?4x+1x+3=?4x2+3x+1x=?(4x+1)(x?1)x，

令f′(x)=0得x=1或x=?14(舍)，

所以在(0,1)上f′(x)>0，f(x)單調遞增，

在(1,+∞)上f′(x)<0，f(x)單調遞減，

所以f(x)極大值為f(1)=1，無極小值．

(2)證明：f′(x)=ax+1x?(a+1)=ax2?(a+1)x+1x=(ax?1)(x?1)x，

令f′(x)=0得x=1a或x=1，

因為a≥1，

所以0<1a≤1，

當1a=1，即a=1時，在(0,+∞)上f′(x)≤0，f(x)單調遞減，

x→0時，f(x)→+∞；x→+∞時，f(x)→?∞，

所以f(x)只有一個零點，

當0<1a<1，即a>1時，在(0,【解析】(1)當a=?4時，f(x)=?2x2+lnx+3x，x∈(0,+∞)，求導得f′(x)，分析f′(x)的符號，f(x)的單調性，極值，即可得出答案．

(2)f′(x)=ax+1x?(a+1)=(ax?1)(x?1)x，令f′(x)=0得x=1a或x=1，分兩種情況：當117.【答案】(1)解：由函數f(x)=ax3+bx+2，可得f′(x)=3ax2+b，

因為f(x)在x=2處取得極值?14，可得f′(2)=0f(2)=?14，即12a+b=08a+2b+2=?14，

整理得12a+b=04a+b=?8，解得a=1，b=?12，

經檢驗，當a=1，b=?12時，f′(x)=3x2?12=3(x+2)(x?2)，

令f′(x)>0，解得x<?2或x>2；令f′(x)<0，解得?2<x<2，

所以f(x)在(?∞,?2)單調遞增，(?2,2)單調遞減，(2,+∞)單調遞增，

所以f(x)在x=2處取得極值，且f(2)=?14符合題意，

所以a=1，b=?12．

(2)解：由(1)得，函數f(x)=x3?12x+2且f′(x)=3x2?12，

則f′(1)=?9【解析】(1)求得f′(x)=3ax2+b，根據題意得到f′(2)=0f(2)=?14，求得a=1，b=?12，驗證符合題意，即可求解；

(2)由(1)求得f′(1)=?9且f(1)=?918.【答案】解：(1)當a=1時，f(x)=12x2+2lnx?3x，x∈(0,+∞)，

f′(x)=x+2x?3=(x?1)(x?2)x，f′(1)=f′(2)=0，

x∈(0,1)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；x∈(1,2)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減；x∈(2,+∞)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增．

∴x=1時，函數f(x)取得極大值，f(1)=?52；

x=2時，函數f(x)取得極小值，f(2)=2ln2?92．

(2)假設存在實數a，對任意的m，n∈(0,+∞)，且m≠n，有f(m)?f(n)m?n>?a恒成立，

不妨假設m>n>0，上述不等式化為f(m)+am>f(n)+an，

令g(x)=f(x)+ax=12x2+2alnx?2x，x